L'article traite de la relation entre le couple et le moment cinétique du corps en rotation et de ses problèmes résolus.
Le couple et le moment cinétique sont respectivement l'analogue de rotation de la force et du moment linéaire. Le couple net sur le corps en rotation produit son taux de variation du moment cinétique autour de l'axe de rotation selon les lois de Newton. Si le couple est absent, alors son moment cinétique est conservé.
Considérons un corps rigide où une tangentielle forcer travaille sur la masse ponctuelle m à la distance r de son axe de rotation.
Quand un force nette fonctionne sur le corps qui est fixé à un axe, son élan (mv) varie et il commence à bouger. Puisqu'une force est appliquée loin de son axe de rotation, la moment angulaire (L) est construit à partir de le produit de la élan linéaire (P) sur le corps et distance perpendiculaire (r) de l'axe de rotation.
La grandeur du moment cinétique est,
θ
est l'angle entre r et P.
Si des particules internes sont à l'origine du corps ou
sont antiparallèles 180o ou parallèle 0o l'un à l'autre, la quantité de mouvement linéaire
et le moment cinétique
devenir nul.
En savoir plus sur le couple et la vitesse
Relation entre le couple et le moment angulaire
En raison de la force appliquée à distance, un couple est généré sur le corps afin qu'il puisse tourner autour de son axe. C'est ainsi qu'un couple définit le mouvement de rotation sur le corps.
Comme la formule du moment cinétique, le couple est également équivalent à la force appliquée à distance.
L'amplitude du couple est,
T = rFsinθ
L'angle entre r et F est nul. c'est-à-dire = sin90o = 1
sinθ=sin90o = 1
Alors,
T=rF1………………..(4)
Les lois du mouvement de Newton dit, F = ma
T=r(ma)…………(5)
Notez que le corps est accéléré signifie que les mouvements du corps changent; donc son élan.
T=rm*dv/dt
T=d/dt*rmv
T=d/dt*rp
De l'équation (2),
La relation entre le couple et moment angulaire équivaut à la force et à la quantité de mouvement linéaire décrites par les lois du mouvement de Newton. L'équation (*) est la formule de la loi du mouvement de Newton en mouvement de rotation. C'est ainsi que le couple et le moment cinétique nous permettent de transformer l'état du mouvement de rotation.
(crédit: shutterstock)
Quel est le couple agissant sur la toupie qui fait passer son élan de 30 kgm/s à 50 kgm/s en 5 secondes ?
Donné:
L1 = 30 kgm/s
L2 = 50 kgm/s
t1 = 0 s
t2 = 5 s
Trouver:
T =?
Formule:
T = dL/dt
Solution:
Le couple agissant sur le dessus est calculé comme suit,
T = dL/dt
T=L2-L1/t2-t1
Substituer toutes les valeurs,
T=50-30/5-0
T=20/4
T = 5
Le couple agissant sur le dessus est de 5 Nm.
Un corps en rotation ayant un rayon de 1.5 m se déplace à une vitesse de 50 kgm/s. Calculez le couple agissant sur le corps pendant 5 secondes qui modifie son élan à 100 kgm/s.
Donné:
r = 1.5 m
P1 = 50 kgm/s
t2 = 2 s
t1 = 0 s
P2 = 100 kgm/s
Trouver: =?
T =?
Laits en poudre:
L = rx P
T = dL/dt
Solution:
Le moment cinétique du corps avant le couple induit est,
L1 = rx P1
L1 = 1.5 x 50
L1 = 75kgm2/ Sec
Le moment cinétique du corps après le couple induit est,
L2 = rx P2
L2 = 1.5 x 100
L2 = 150kgm2/ Sec
La couple agissant sur la rotation corps est calculé comme,
T = dL/dt
π=L2-L1/t2-t1
Substituer toutes les valeurs,
π=150-75/2-0
=75/2
π=37.5
Le couple agissant sur le corps est de 37.5 Nm.
Trouver le couple à partir du moment angulaire
Le couple est trouvé par différenciation du moment cinétique.
Différencier l'équation (1),
Le terme
est la vitesse linéaire
\ du corps.
La vitesse et la quantité de mouvement sont dans la direction exacte. Donc, = vpsin0o = 0
Le terme est selon Les lois de Newton.
Formule de couple et de moment angulaire
Le terme est le couple agissant sur le corps qui modifie le moment cinétique L.
La position vecteur r et force F perpendiculaire l'un à l'autre.
Remplacer l'équation ci-dessus par l'équation (%),
mLa relation entre linéaire accélération a et angulaire accélération α est, a = rα
La couple fournit l'accélération angulaire requise au corps rigide pour accomplir le mouvement de rotation. La direction de τ et α le long de l'axe de rotation. S'ils sont dans la même direction, le corps accélérera angulairement. Mais s'ils sont dans la direction opposée, le corps va décélérer.
(crédit: shutterstock)
Le terme monsieur2 est appelé »moment d'inertie' (I) qui décrit la tendance du corps à s'opposer à l'accélération angulaire.
À partir de l'équation (*), (7) et (8), la formule du couple et du moment cinétique est,
(crédit: shutterstock)
L'équation ci-dessus montre que le couple travaillant sur le corps selon le produit du moment d'inertie et accélération angulaire modifie son moment cinétique.
S'il n'y a pas de couple travaillant sur le corps. c'est à dire
est également nul. Cela signifie que le moment cinétique du corps ne varie pas ou reste constant. C'est ainsi que le moment angulaire est conservé.
En savoir plus sur le couple et la vitesse angulaire
Quel est le couple agissant à 0.5 m sur un disque ayant une masse de 5 kg qui accélère à 10 rad/s2?
Donné:
r = 0.5 m
m = 5 kg
α= 10 rads/s2
Trouver: τ = ?
Laits en poudre: τ =Iα
Solution:
Le couple agissant sur un disque est calculé comme suit,
τ= Iα
Mais le moment d'inertie est I =mr2
τ = monsieur2α
Substituer toutes les valeurs,
Le couple agissant sur le disque est de 12.5 Nm.
Une force de 50N est appliquée à une distance de 2m sur le corps rigide de 5kg qui accélère angulairement à 5 rad/s2. Calculer le couple agissant sur le corps.
Donné:
F = 50N
r = 2 m
m = 5 kg
Trouver: τ = ?
Laits en poudre:
Solution:
Le couple sur le corps rigide est calculé comme suit,
Mais je = monsieur2
Substituer toutes les valeurs,
Le couple agissant sur le corps rigide est de 100 Nm.
Couple et moment angulaire pour un système de particules
Supposons que le système S contienne la particule j de masse mj et vitesse vj.
De l'équation (1) Le moment cinétique de la particule j est donné par,
Par conséquent, le moment cinétique total du système en rotation est,
De l'équation (*), la variation du moment cinétique du système est,
Le terme
agir sur le système.
Selon l'équation (%),
Dans un système fermé, le couple net est la somme des couples internes et externes sur les particules individuelles dans le système.
Mais tout Forces internes dans le corps sont nuls.
De l'équation ci-dessus, nous comprenons que, lorsqu'un couple externe agit sur le corps, son moment cinétique total change.
En savoir plus sur Momentum of System
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