Probabilite conditionnelle
Conditionnel théorie des probabilités sortir du concept de prise de risque énorme. il y a de nos jours de nombreux problèmes qui découlent du jeu de hasard, comme lancer des pièces de monnaie, lancer des dés et jouer aux cartes.
La théorie des probabilités conditionnelles est appliquée dans de nombreux domaines différents et la flexibilité de Probabilite conditionnelle fournit des outils pour presque autant de besoins différents. théorie des probabilités et échantillons liés à l'étude de la probabilité de survenue d'événements.
Considérons que X et Y sont tous deux deux événements d'une expérience fortuite. Ensuite, la probabilité des événements de X dans le cas où Y s'est déjà produit avec P (Y) ≠ 0, est connue sous le nom de probabilité conditionnelle et est notée P (X / Y).
Par conséquent, P (X / Y) = La probabilité que X se produise, à condition que Y soit déjà arrivé
P(X ⋂ Oui)/P( Oui ) = n(X ⋂ Oui)/n (Oui )
De même, P (Y / X) = La probabilité d'occurrence de Y, car X s'est déjà produit.
P(X ⋂ Oui)/P( X ) = n(X ⋂ Oui)/n (Oui )
En bref, dans certains cas, P (X / Y) est utilisé pour spécifier la probabilité d'occurrence de X lorsque Y se produit. De même, P (Y / X) est utilisé pour spécifier la probabilité que Y se produise pendant que X se produit.
Qu'est-ce que le théorème de multiplication sur la probabilité?
Si X et Y sont tous deux des événements autonomes (indépendants) d'une expérience arbitraire, alors
P(X ⋂ Y) = P( X ). P( X/Y ), si P ( X ) ≠ 0
P(X ⋂ Y) = P( Y ). P( Y/X ), si P ( Y ) ≠ 0
Qu'est-ce que les théorèmes de multiplication pour les événements indépendants?
If X et Y sont tous deux des événements autonomes (indépendants) liés à une expérience arbitraire, alors P (X ∩ Y) = P (X).
c'est à dire, la probabilité d'occurrence simultanée de deux événements indépendants est égale à la multiplication de leurs probabilités. En utilisant le théorème de multiplication, on a P (X ∩ Y) = P (Y) .P (Y / X)
Comme X et Y sont des événements indépendants, donc P (Y / X) = P (Y)
Implique, P (X ∩ Y) = P (X) .P (Y)
Alors que les événements sont mutuellement exclusifs:
Si X et Y sont des événements mutuellement exclusifs, alors ⇒ n(X ∩ Y)= 0 , P(X ∩ Y) = 0
P (XUY) = P (X) + P (Y)
Pour trois événements X, Y, Z qui s'excluent mutuellement,
P (X ∩ Y) = P (Y ∩ Z) = P (Z ∩ X) = P (X ∩ Y ∩ Z) = 0
P (X ⋃ Y ⋃ Z) = P(X) + P(Y) + P(Z)
Alors que les événements sont indépendants:
Si X et Y sont des événements sans contrainte (ou indépendants), alors
P(X ∩ Y) = P(X).P(Y)
P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X). P(Y)
Soit X et Y deux événements liés à une expérience arbitraire (ou aléatoire), alors
Si Y⊂ X, alors
(b) P(Y) ≤ P(X)
De même si X⊂ Y, alors
(b) P(X) ≤ P(Y)
La probabilité d'occurrence de ni X ni Y est
Mise en situation : Si à partir d'un paquet de cartes, une seule carte est choisie. Quelle est la possibilité que ce soit un chat ou un roi?
Solution:
P (A) = P (une carte pique) = 13/52
P (B) = P (une carte roi) = 4/52
P (carte pique ou roi) = P (A ou B)
= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)
= P (A) + P (B) -P (A) P (B)
=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}
= 4 / 13
Mise en situation : Quelqu'un est connu pour atteindre la cible avec 3 chances sur 4, tandis qu'une autre personne est connue pour atteindre la cible avec 2 chances sur 3. Découvrez s'il est probable que la cible soit touchée lorsque les deux personnes essaient.
Solution:
probabilité que la cible atteigne la première personne = P (A) = 3/4
probabilité que la cible soit touchée par la deuxième personne = P (B) = 2/3
Les deux événements ne sont pas mutuellement exclusifs, puisque les deux personnes ont atteint la même cible = P (A ou B)
= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)
= P (A) + P (B) -P (A) P (B)
=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}
= 11 / 12
Mise en situation : If A et B existe-t-il deux événements tels que P(A)=0.4 , P(A+B)=0.7 et P(AB)=0.2 alors P(B) ?
Solution: Puisque nous avons P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB)
=> 0.7 = 0.4 + P (B) -0.2
=> P (B) = 0.5
Mise en situation : Une carte est sélectionnée de manière arbitraire à partir d'un paquet de cartes. Quelle est la possibilité que la carte soit une carte de couleur rouge ou une reine.
Solution: La probabilité requise est
P (Rouge + Reine) -P (Rouge ⋂ Reine)
= P (Rouge) + P (Reine) -P (Rouge ⋂ Reine)
=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13
Mise en situation : Si la probabilité que X échoue au test est de 0.3 et que la probabilité de Y est de 0.2, trouver la probabilité que X ou Y échouent au test?
Solution: Ici P(X)=0.3 , P(Y)=0.2
Maintenant P(X ∪ Y)= P(X) +P(Y) -P(X ⋂ Y)
Puisque ce sont des événements indépendants, donc
P (X ⋂ Y) = P (X). P (Y)
La probabilité requise est donc de 0.3 + 0.2 -0.06 = 0.44
Mise en situation : Les chances d'échouer en physique sont de 20% et les chances d'échouer en mathématiques sont de 10%. Quelles sont les possibilités d'échouer dans au moins un sujet?
Solution: Soit P(A) =20/100=1/5, P(B) =10/100=1/10
Puisque les événements sont indépendants et qu'il faut trouver
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) -P (A). P (B)
=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50
Ainsi, le risque d'échec dans un sujet est de (14/50) X 100 = 28%
Mise en situation : Les probabilités de résoudre une question par trois étudiants sont respectivement de 1/2,1, 4/1 et 6/XNUMX. Quelle sera la chance possible de répondre à la question ?
Solution:
(i) Cette question peut également être résolue par un étudiant
(ii) Cette question peut être répondue par deux étudiants simultanément.
(iii) Cette question peut être répondue par trois étudiants tous ensemble.
P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) - [P (A) .P (B) + P (B) .P (C) + P (C). P (A)] + [P (A) .P (B) .P (C)]
=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48
Mise en situation : Une variable aléatoire X a la distribution de probabilité
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| P(X) | 0.15 | 0.23 | 0.12 | 0.10 | 0.20 | 0.08 | 0.07 | 0.05 |
Pour les événements E ={X est un nombre premier} et F={X<4}, trouvez la probabilité de P(E ∪ F) .
Solution:
E = {X est un nombre premier}
P (E) = P (2) + P (3) + P (5) + P (7) = 0.62
F ={X < 4}, P(F) =P(1)+P(2)+P(3)=0.50
et P(E ⋂ F) = P(2)+ P(3) =0.35
P (E ∪ F) = P (E) + P (F) - P (E ⋂ F)
= 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77
Mise en situation : Trois pièces sont lancées. Si l’une d’elles apparaît face, alors quelle serait la chance que les trois pièces apparaissent face ?
Solution: Considérer E est l'événement où les trois pièces apparaissent queue et F est l'événement où une pièce apparaît en queue.
F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
et E = {TTT}
Probabilité requise = P (E / F) = P (E ⋂F) / P (E) = 1/7
Probabilité totale et règle de Baye
La loi de la probabilité totale:
Pour l'espace d'échantillons S et n événements mutuellement exclusifs et exhaustifs E1 E2 … .En lié à une expérience aléatoire. Si X est un événement spécifique qui se produit avec les événements E1 ou E2 ou ou En, puis
La règle de Baye:
Considérer S être un espace échantillon et E1, E2,… ..En be n événements incongrus (ou mutuellement exclusifs) tels que
et P(Ei) > 0 pour i = 1,2,…,n
On peut penser à Eiest comme les facteurs menant au résultat de l 'une expérience. Les probabilités P(Ei), i = 1, 2,… .., n sont appelées probabilités antérieures (ou antérieures). Si l'évaluation aboutit à un résultat de l'événement X, où P(X)> 0. Ensuite, nous devons percevoir la possibilité que l'événement perçu X soit dû à la cause Ei, c'est-à-dire que nous recherchons la probabilité conditionnelle P (Ei/X) . Ces probabilités sont appelées probabilités postérieures, données par la règle de Baye comme suit :
Mise en situation : Il y a 3 boîtes qui contiennent 2 billes bleues et 3 vertes; 4 billes bleues et 1 billes vertes et 3 billes bleues et 7 billes vertes respectivement. Une bille est tirée au hasard dans l'une des cases et se révèle être une boule verte. Alors quelle est la probabilité qu'il ait été tiré de la boîte contenant le plus de billes vertes.
Solution: Considérez les événements suivants:
A -> le marbre dessiné est vert;
E1 -> La case 1 est choisie;
E2 La case 2 est choisie
E3 La case 3 est choisie.
P (E1) = P (E2) = P (E3) = 1/3, p (A / E1) = 3/5
Ensuite
P (A / E2)=1/5, P(A/E3) = 7/10
Probabilité requise = P (E3/UNE)
P (E3)P(A/E3)/P(E1)P(A/E1)+P(E2)P(A/E2)+P(E3)P(A/E3) = 7/15
Mise en situation : Lors d'un test d'entrée, il y a des questions à choix multiples. Il y a quatre réponses correctes probables à chaque question, parmi lesquelles celle qui est correcte. La probabilité qu'un élève perçoive la bonne réponse à une question particulière est de 90 %. S'il obtient la bonne réponse à une question particulière, quelle est alors la probabilité probable qu'il ait prédit.
Solution: Nous définissons les événements suivants:
A1 : Il connaît la réponse.
A2 : Il pourrait ne pas connaître la réponse.
E : Il connaît la bonne réponse.
PENNSYLVANIE1) =9/10, P(UNE2) =1-9/10=1/10, P(E/A1) = 1,
POIS2) = 1/4
Donc la probabilité attendue
Mise en situation : Sac Seau A contient 4 billes jaunes et 3 noires et seau B contient 4 billes noires et 3 jaunes. Un seau est pris au hasard et un marbre est tiré et noté qu'il est jaune. Quelle est la probabilité qu'il vienne Bucket B.
Solution: Il est basé sur le théorème de Baye.
Probabilité du godet sélectionné A , P(A)=1/2
Probabilité du godet sélectionné B , P (B) = 1/2
Probabilité de marbre jaune prélevé dans le seau A =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7
Probabilité de marbre jaune prélevé dans le seau B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14
Probabilité totale d'avoir des billes jaunes = (2/7)+(3/14)=1/2
Probabilité de fait que les billes jaunes soient tirées de Bucket B
P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7
Conclusion:
Dans cet article, nous discutons principalement de la Probabilite conditionnelle et théorème de Bayes avec les exemples parmi ceux-ci, la conséquence directe et dépendante de l'essai dont nous discutons jusqu'à présent dans les articles consécutifs, nous relions la probabilité à la variable aléatoire et certains termes familiers liés à la théorie des probabilités dont nous discuterons, si vous voulez en savoir plus, passez par:
Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum et Wpage ikipedia.
Pour une étude plus approfondie, veuillez consulter notre page de mathématiques.
Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
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