Poutre simplement soutenue | C'est un aperçu complet

Contenu

  • Qu'est-ce que Simply-supported-Beam?
  • C'est un diagramme de corps libre.
  • Conditions aux limites et formule associée.
  • Moment de flexion pour le chargement concentré.
  • Moment de flexion pour un chargement uniformément réparti.
  • C'est l'équation de déviation et de déviation avec l'exemple.
  • C'est la déflexion comme f (x) pour le chargement distribué [Chargement triangulaire].
  • Diverses charges induisant une contrainte de flexion.

Qu'est-ce que le faisceau simplement pris en charge?

Définition de faisceau simplement prise en charge

Une poutre simplement supportée est une poutre, avec une extrémité normalement articulée, et l'autre extrémité a un support de rouleau. Ainsi, en raison du support articulé, la restriction du déplacement en (x, y) sera et en raison du support du rouleau sera empêchée le déplacement d'extrémité dans la direction y et sera libre de se déplacer parallèlement à l'axe de la poutre.

Diagramme de corps sans poutre simplement supporté.

Le diagramme de corps libre pour la poutre est donné ci-dessous, avec une charge ponctuelle agissant à une distance «p» de l'extrémité gauche de la poutre.

Diagramme de corps gratuit de poutre simplement supportée
Diagramme de corps gratuit pour SSB

Conditions aux limites et formule des poutres simplement prises en charge

Évaluation des forces de réaction agissant sur la poutre en utilisant des conditions d'équilibre 

\ somme F_x = 0, \; \ somme F_y = 0, \; \ somme M_A = 0

Pour l'équilibre vertical,

\ somme F_y = 0 -------> R_A + R_B-W = 0

R_A + R_B = W

Wp-R_BL = 0

Prendre Moment autour de A est égal à 0 avec des notations standard.

\\ R_B = \ frac {Wp} {L}

De l'équation ci-dessus,

R_A + \ frac {Wp} {L} = W

R_A = \ frac {Wq} {L}

Soit XX l'intersection à 'a' distance de x du point final noté A.

En considérant la convention de signe standard, nous pouvons calculer la force de cisaillement au point A comme décrit dans la figure.

Force de cisaillement en A,

V_A = R_A = \ frac {Wq} {L}

La force de cisaillement dans la région XX est

V_x = R_A-W

V_x = \ frac {Wq} {L} -W

V_x = \ frac {W (qL)} {L}

V_x = \ frac {-Wp} {L}

La force de cisaillement en B est 

V_B = \ frac {-Wp} {L}

Cela prouve que la force de cisaillement reste constante entre les points d'application des charges ponctuelles.

En appliquant les règles standard du moment de flexion, le moment de flexion dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de l'extrémité gauche de la poutre est considéré comme + ve et le moment de flexion dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est considéré comme respectivement -ve.

  • BM au point A = 0.
  • BM au point C = -RA p ………………………… [puisque le moment est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, le moment de flexion est négatif]
  • BM au point C est comme suit

B.M_C = \ frac {-Wpq} {L} ......................... Maximum \; flexion \; moment

  • BM au point B = 0.
Diagramme de la force de cisaillement et du moment de flexion

Moment de flexion de la poutre simplement pris en charge pour un chargement uniformément réparti en fonction de x.

Vous trouverez ci-dessous une poutre simplement supportée avec une charge uniformément répartie appliquée sur toute la portée,

SSB avec UDL

La région XX est une région à une distance x de A.

La charge équivalente résultante agissant sur la poutre en raison du cas de chargement uniforme peut être élaborée par

F = L * f

F = fL

Charge ponctuelle équivalente fL agissant à mi-portée. c'est-à-dire à L / 2

Évaluation des forces de réaction agissant sur la poutre en utilisant des conditions d'équilibre 

\ somme F_x = 0, \; \ somme F_y = 0, \; \ somme M_A = 0

Pour l'équilibre vertical,

\ somme F_y = 0 \\ R_A + R_B = fL

en prenant les conventions de signe standard, nous pouvons écrire

\\ fL * \ frac {L} {2} -R_BL = 0 \\\\ R_B = \ frac {fL} {2}

De l'équation ci-dessus,

R_A + \ frac {fL} {2} = fL \\ R_A = \ frac {fL} {2}

Conformément à la convention de signe standard, la force de cisaillement en A sera.

V_A = R_A = \ frac {fL} {2}

Force de cisaillement en C

V_C = R_A- \ frac {fL} {2}

V_C = \ frac {fL} {2} - \ frac {fL} {2} = 0

La force de cisaillement dans la région XX est

V_x = R_A-fx \\\\ V_x = \ frac {fL} {2} -fx \\\\ V_x = \ frac {f [L-2x]} {2}

Force de cisaillement en B

V_B = \ frac {-fL} {2}

Pour le diagramme des moments de flexion, nous pouvons trouver cela en prenant la notation standard.

  • BM au point A = 0.
  • BM au point X est

B.M_x = M_A - \ frac {fx ^ 2} {2} = [- \ frac {fx ^ 2} {2}]

  • BM au point B = 0.

Ainsi, le moment de flexion peut être écrit comme suit

B.M_x = [- \ frac {fx ^ 2} {2}]

Cas I: pour poutre simplement supportée avec une charge concentrée F agissant au centre de la poutre

Vous trouverez ci-dessous un diagramme de corps libre pour une poutre en acier simplement supportée portant une charge concentrée (F) = 90 kN agissant au point C. Calculez maintenant la pente au point A et la flèche maximale. si I = 922 centimère4, E = 210 GigaPascal, L = 10 mètres.

Solutions:

Le FBD Un exemple est donné ci-dessous,

Diagramme de corps libre pour SSB avec charge ponctuelle concentrée

La pente à la fin de la poutre est,

\ frac {dy} {dx} = \ frac {FL ^ 2} {16EI}

\\\frac{dy}{dx}=\frac{90*10^3*10^2}{16*210*10^9*922*10^{-8}} \\\\\frac{dy}{dx}=0.29

Pour une poutre en acier simplement supportée portant une charge concentrée au centre, la déflexion maximale est,

y_ {max} = \ frac {FL ^ 3} {48EI}

y_{max}=\frac{90*10^3*10^3}{48*210*10^9*922*10^{-8} }

y_ {max} = 1.01 \; m

Cas II: pour poutre simplement supportée ayant une charge à une distance `` a '' du support A.

Pour ce cas, charge agissante (F) = 90 kN au point C. Calculez ensuite la pente aux points A et B et la flèche maximale, si I = 922 cm4, E = 210 GigaPascal, L = 10 mètres, a = 7 mètres, b = 3 mètres.

Alors,

La pente à l'extrémité support A de la poutre,

\ theta_1 = \ frac {Fb (L ^ 2-b ^ 2)} {6LEI}

\theta_1=\frac{90*10^3*3*(10^2-3^2)}{6*10*210*10^9*922*10^{-8}}

\ theta_1 = 0.211 \; radian

Pente au support d'extrémité B de la poutre,

\ theta_2 = \ frac {Fab (2L-b)} {6LEI}

\theta_2=\frac{90*10^3*3*7*(10*^2-3)}{6*10*210*10^9*922*10^{-8}}

\ theta_2 = 0.276 \; rad

L'équation donne la déflexion maximale,

y_{max}=\frac{Fb(3L^2-4b^2)}{48EI }

y_{max}=\frac{90*10^3*3*(3*10^2-4*3^2)}{48*210*10^9*922*10^{-8}}

y_ {max} = 0.766 \; m

Tableau des pentes et des déformations pour les cas de charge standard:

Pente et déflexion dans une poutre simplement soutenue avec un chargement uniformément réparti maisons

Soit poids W1 agissant à une distance a de la fin A et W2 agissant à une distance b de l'extrémité A.

au jugement, Moment de flexion L'équation pour la poutre ci-dessus peut être donnée par

EI\frac{d^2y}{dx^2}=R_Ax-\frac{wx^2}{2}-W_1(x-a)-W_2(x-b))

L'UDL appliquée sur la poutre complète ne nécessite aucun traitement spécial associé aux brackets de Macaulay ou aux termes de Macaulay. Gardez à l'esprit que les termes de Macaulay sont intégrés par rapport à eux-mêmes. Pour le cas ci-dessus (xa), s'il est négatif, il doit être ignoré. La substitution des conditions finales donnera les valeurs d'intégration des constantes de manière conventionnelle et donc les pentes et la valeur de déflexion requises.

Dans ce cas, l'UDL commence au point B, l'équation du moment de flexion est modifiée et le terme de charge uniformément réparti devient les termes de parenthèse de Macaulay.

L'équation du moment de flexion pour le cas ci-dessus est donnée ci-dessous.

EI\frac{d^2y}{dx^2}=R_Ax-\frac{w(x-a)^2}{2}-W_1(x-a)-W_2(x-b)

Intégrer nous obtenons,

EI\frac{dy}{dx}=R_A\frac{x^2}{2}-\frac{w(x-a)^3}{6}-W_1\frac{(x-a)^2}{2}-W_2\frac{(x-b)^2}{2}+A

EI\frac{dy}{dx}=R_A\frac{x^3}{6}-\frac{w(x-a)^4}{24}-W_1\frac{(x-a)^3}{2}-W_2\frac{(x-b)^3}{6}+Ax+B

Déviation de la poutre simplement prise en charge en fonction de x pour le chargement réparti [Chargement triangulaire]

Vous trouverez ci-dessous la poutre simplement supportée de la travée L soumise à un chargement triangulaire et dérivée de l'équation de la pente et du moment de flexion en utilisant la méthodologie de double intégration est la suivante.

Pour le chargement symétrique, chaque réaction de support supporte la moitié de la charge totale et la réaction au support est wL / 4 et en considérant le moment au point qui est à une distance x du support A est calculé comme.

M=\frac{wL}{4}x-\frac{wx^2}{L}\frac{x}{3}=\frac{w}{12L}(3L^2x-4x^3)

Utilisation du diffn-équation de la courbe.

\frac{d^2y}{dx^2}=M=\frac{w}{12L}(3L^2x-4x^3).

par le double intégrant on peut trouver comme.

EI\frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1.................[1].

EIy=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^3}{2}-\frac{x^5}{5})+C_1x+C_2.................[2].

mettre x = 0, y = 0 dans l'équation [2],

C_2 = 0

Pour un chargement symétrique, la pente à 0.5 L est nulle

 Ainsi, pente = 0 à x = L / 2,

0=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2*L^2}{2}-L^4)+C_1

C_1 = \ frac {-5wL ^ 3} {192}

Substituer les valeurs constantes de C2 et C1 on a,

EI\frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)-\frac{5wL^3}{192}

EIy=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^3}{2}-\frac{x^5}{5})-\frac{5wL^3}{192}x

La déflexion la plus élevée se trouve au centre du faisceau. c'est-à-dire à L / 2.

EIy=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2L^3}{2*8}-\frac{L^5}{5*32})-\frac{5wL^3}{192}\frac{L}{2}

EIy_ {max} = - \ frac {wL ^ 4} {120}

Évaluation de la pente à L = 7 m et de la déflexion à partir des données données: je = 922 cm4 , E = 220 GPa, L = 10 m, l = 15 Nm

D'après les équations ci-dessus: à x = 7 m,

EI\frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)-\frac{5wL^3}{192}

220*10^9*922*10^{-8}*\frac{dy}{dx}=\frac{15}{12*10}(\frac{3*10^2*7^2}{2}-7^4)-\frac{5*15*10^3}{192}

\ frac {dy} {dx} = 1.124 * 10 ^ {- 4} \; radians

utilisant l'équation [4]

EIy_ {max} = - \ frac {wL ^ 4} {120}

220*10^9*922*10^{-8}*y_{max}=\frac{15*10^4}{120}

y_ {max} = - 6.16 * 10 ^ {- 4} \; m

Le signe négatif représente la déviation vers le bas.

Poutre simplement supportée soumise à diverses charges induisant une contrainte de flexion.

Vous trouverez ci-dessous un exemple d'une poutre en acier simplement supportée portant une charge ponctuelle et les supports de cette poutre sont supportés par des goupilles à une extrémité, et une autre est un support à rouleaux. Cette poutre a le matériau donné suivant et les données de chargement

la charge indiquée sur la figure ci-dessous a F = 80 kN. L = 10 m, E = 210 GPa, I = 972 cm4, d = 80 mm

Évaluation des forces de réaction agissant sur la poutre en utilisant des conditions d'équilibre 

\ somme F_x = 0, \; \ somme F_y = 0, \; \ somme M_A = 0

Pour l'équilibre vertical,

\ somme F_y = 0 \\ R_A + R_B-80000 = 0 \\ R_A + R_B = 80000

En prenant le moment sur A, le moment dans le sens des aiguilles d'une montre + ve, et le moment dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est pris comme -ve, nous pouvons calculer comme.

80000 * 4-R_B * 10 = 0

R_B = 32000 \; N

Mettre la valeur de RB dans l'équation [1].

R_A + 32000 = 80000

R_A = 48000 XNUMX \; N

Soit XX la section d'intéressant à la distance de x du point final A, donc la force de cisaillement en A sera.

V_A = R_A = 48000 XNUMX \; N

La force de cisaillement dans la région XX est

V_x = R_A-F

V_x = \ frac {Fb} {L} -F

V_x = \ frac {F (bL)} {L}

V_x = \ frac {F (bL)} {L}

V_x = \ frac {-Fa} {L} = \ frac {-80000 * 4} {10} = - 32000 \; N

La force de cisaillement en B est 

V_B = \ frac {-Fa} {L} = - 32000 XNUMX \; N

Cela prouve que la force de cisaillement reste constante entre les points d'application des charges ponctuelles.

L'application des règles standard du moment de flexion, moment de flexion dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de l'extrémité gauche de la poutre est considérée comme positive. Le moment de flexion dans le sens anti-horaire est considéré comme négatif.

  • Moment de flexion à A = 0
  • Moment de flexion à C = -RA a ………………………… [puisque le moment est dans le sens anti-horaire, le moment de flexion est négatif]
  • Le moment de flexion en C est

B.M_{max}=-80000*4*\frac{6}{10}=-192000\;Nm

  • Moment de flexion à B = 0

L'équation d'Euler-Bernoulli pour le moment de flexion est donnée par

\ frac {M} {I} = \ frac {\ sigma} {y} = \ frac {E} {R}

M = BM appliqué sur la section transversale de la poutre.

I = 2ème moment d'inertie.

σ = induite par la contrainte de flexion.

y = distance normale entre l'axe neutre de la poutre et l'élément souhaité.

E = module de Young en MPa

R = rayon de courbure en mm

Ainsi, la contrainte de flexion dans la poutre

\ sigma_b = \ frac {M_ {max} y} {I}

\sigma_b=\frac{-192000*80/2*10^{-3}}{972*10^{-8}}

\ sigma_b = -790.12 \; MPa

Pour connaître la déviation de la poutre et Poutre en porte-à-faux autre article cliquez ci-dessous.

À propos de Hakimuddin Bawangaonwala

Je suis Hakimuddin Bawangaonwala, un ingénieur en conception mécanique avec une expertise en conception et développement mécanique. J'ai terminé M. Tech en ingénierie de conception et j'ai 2.5 ans d'expérience en recherche. Jusqu'à maintenant publié Deux documents de recherche sur le tournage dur et l'analyse par éléments finis des appareils de traitement thermique. Mon domaine d'intérêt est la conception de machines, la résistance des matériaux, le transfert de chaleur, l'ingénierie thermique, etc. En dehors de la recherche.
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