Cinématique robotique - 2 solutions importantes | Cinématique avancée | Cinématique inverse

Cinématique du robot

Source de l'image: Bras robotique Puma - GPN-2000-001817

Le sujet de discussion: la cinématique robotique et ses solutions importantes

Cinématique et dynamique du robot

Qu'est-ce que la cinématique robotique?

L'étude de l'écoulement des chaînes cinématiques à plusieurs degrés de liberté qui composent la configuration des systèmes robotiques s'appelle la cinématique robotique. Les relations du robot sont modélisées comme des corps rigides, et ses articulations sont censées fournir une rotation ou une translation pure, en raison de sa dépendance à la géométrie. Afin de planifier et de surveiller les mouvements et de calculer les forces et les couples de l'actionneur, Robot Kinematics étudie la relation entre les dimensions et la connectivité des chaînes cinématiques et la direction, la vitesse et l'accélération de chaque connexion dans le système robotique.

Il peut être mieux compris et démontré en utilisant manipulateurs robotiques en raison de leur utilisation répandue et répandue dans l'industrie manufacturière. Les manipulateurs robotiques sont moins complexes que les robots mobiles car ils exécutent des tâches dans un environnement contrôlé et prévisible. Puisqu'ils voyagent dans trois dimensions spatiales et trois dimensions de rotation, ils sont plus complexes que les robots mobiles.

Les deux problèmes fondamentaux des manipulateurs sont traités à l'aide d'un modèle planaire généralisé d'un bras robotique. La cinématique avant consiste à déterminer l'emplacement de l'effecteur d'extrémité du bras après une série de rotations articulaires. La cinématique inverse explore quelles rotations d'articulation peuvent porter l'effecteur d'extrémité à une position donnée. Les cadres de coordonnées sont utilisés pour exécuter des calculs cinématiques. Chaque articulation du manipulateur est connectée à une plaque et le mouvement est décrit comme des rotations et des traductions d'un cadre à l'autre.

Qu'est-ce que Robot Dynamics?

Dans le cadre de Robot Dynamics, la relation entre les propriétés de masse et d'inertie, la rotation et les forces et couples associés est étudiée.

Cet article se concentre principalement sur la cinématique robotique et ses différentes solutions, en ce qui concerne un manipulateur robotique à deux liens.

Espace de configuration

La cinématique robotique nécessite de définir la structure d'un robot par un ensemble de liaisons, qui sont principalement des corps rigides, et des articulations les reliant et contraignant leur mouvement relatif, telles que des articulations de rotation ou de translation. La configuration du robot constitue la liste des coordonnées articulaires. Ceci est vrai pour tous les mécanismes à base fixe, série ou ramifiés. La configuration est importante car il s'agit d'une représentation non redondante et minimale de la disposition du robot.

La configuration des bases flottantes / mobiles est légèrement plus compliquée, nécessitant l'utilisation de liaisons virtuelles pour tenir compte du mouvement de la liaison de base. La situation est encore plus compliquée pour les mécanismes parallèles.

Espace de travail

Dans Robot Kinematics and Dynamics, l'espace de travail est un terme un peu surutilisé; il fait également référence à la gamme de positions et d'orientations d'un lien privilégié appelé effecteur terminal. Les effecteurs d'extrémité se trouvent à l'extrême périphérie ou à l'extrémité d'une chaîne en série de maillons, et ils sont souvent là où se trouvent les points d'outils car ces maillons ont la plus grande amplitude de mouvement. En termes plus simples, l'espace de travail fait référence à l'environnement 2D ou 3D dans lequel le robot existe.

cinématique de robot
Cinématique du robot: Espace de travail d'un manipulateur robotique à deux liens, Crédits image: Éléments de robotique, Springer

Cinématique de chaîne ouverte et fermée

Robot Kinematics définit une chaîne cinématique comme un modèle mathématique pour un système mécanique qui consiste en un assemblage de corps rigides liés par des articulations pour fournir un mouvement restreint (ou souhaité). Les corps rigides, ou maillons, sont limités par leurs relations avec d'autres maillons, comme dans l'usage courant du terme chaîne.

Les paires cinématiques sont des modèles mathématiques des relations, ou articulations, entre deux liens. Les paires inférieures modélisent les joints articulés et coulissants, qui sont importants en robotique, et les paires supérieures modélisent les joints de contact de surface. En cinématique de robot, un diagramme cinématique est une représentation de la chaîne cinématique dans un système mécanique.

Chaîne cinématique ouverte

Une chaîne cinématique ouverte dans Robot Kinematics est une chaîne dans laquelle un seul maillon (le maillon unitaire) est lié à une seule articulation. Le modèle cinématique d'un manipulateur de robot typique est une simple chaîne ouverte formée de maillons liés en série, similaire à la chaîne ordinaire.

Chaîne cinématique fermée

Une chaîne cinématique fermée dans Robot Kinematics est une chaîne dans laquelle chaque maillon est lié à deux maillons adjacents via des articulations.

La conformité résultant des joints flexibles dans les mécanismes de précision, la conformité des liens dans les mécanismes conformes et les systèmes micro-électromécaniques, et la conformité des câbles dans les systèmes robotiques et de tenségrité des câbles sont tous des exemples d'applications contemporaines des chaînes cinématiques.

Cinématique avant vs cinématique inverse

Cinématique avant

Comme indiqué précédemment, la cinématique directe fournit une solution à la question: Étant donné une séquence de commandes, quelle est la position finale du bras robotique? La cinématique vers l'avant est simple à calculer puisque le changement de direction provoqué par le déplacement de chaque articulation est calculé à l'aide d'une simple trigonométrie. S'il y a plusieurs liens, l'emplacement final est déterminé en additionnant les équations pour chaque joint.

La façon la plus simple de comprendre la cinématique Forward est de la développer sur un bras robotique 2D qui contient deux liaisons, deux articulations et un effecteur d'extrémité ou une pince. Le premier joint tournera, mais il est relié à une table ou au sol par une fondation. Alors que le lien l1 le relie à une deuxième articulation qui peut se translater et tourner, un deuxième lien l2 relie ce joint à l'effecteur d'extrémité fixe. La figure ci-dessous donne une visualisation correcte de ce système.

Cinématique en avant d'un manipulateur à deux liaisons, Générique de l'illustration: Éléments de robotique, Springer

Les liens ont de la longueur l1 et l2 respectivement avec un système coordonné 2D affecté à l'ensemble du manipulateur. La base ou la première articulation est coordonnée en (0,0) tandis que la pince a les coordonnées (x, y). Le lien l1 reliant le premier joint au second est tourné d'un angle α, suivie de la rotation de la deuxième liaison reliant la deuxième articulation et la pince par angle β. Il faut maintenant déterminer les valeurs des coordonnées du préhenseur (x, y) en terme de l1 et l2, qui sont des constantes et α et β, qui sont des variables.

À l'aide de calculs trigonométriques, nous projetons X' et y ' sur l'axe des x et l'axe des y respectivement.

x ^ {'} = l_ {1} cos \ alpha
y ^ {'} = l_ {1} sin \ alpha

À présent (x ', y') devient l'origine d'un nouveau système de coordonnées sur lequel (x, y) devrait dériver (x ", y"). C'est maintenant la position de l'effecteur d'extrémité par rapport au nouveau système de coordonnées.

x ^ {''} = l_ {2} cos (\ alpha + \ beta)
y ^ {''} = l_ {2} sin (\ alpha + \ beta)

Par conséquent, les équations concluantes sont:

x_ {e} = x ^ {'} + x ^ {' '} = l_ {1} cos \ alpha + l_ {2} cos (\ alpha + \ beta)
y_ {e} = y ^ {'} + y ^ {' '} = l_ {1} sin \ alpha + l_ {2} sin (\ alpha + \ beta)

Exemple de cinématique avant

Laisser nous l1 = l2 = 1, α = 60 ° β = -30 °,

Ensuite

x_ {e} = 1.cos 60 ^ {\ circ} + 1.cos (60 ^ {\ circ} -30 ^ {\ circ}) = \ frac {1+ \ sqrt {3}} {2}

et

y_ {e} = 1.sin 60 ^ {\ circ} + 1.sin (60 ^ {\ circ} -30 ^ {\ circ}) = \ frac {1+ \ sqrt {3}} {2}

Cinématique inverse

La cinématique inverse répond à la question: Étant donné une position souhaitée du bras robotique, quelle séquence de commandes l'amènera à cette position? Le pré-requis au problème de la cinématique inverse implique des informations sur l'espace de travail du manipulateur robotique à deux liaisons.

Supposons que l1>l2 pour un calcul facile. Nous considérons que l'espace de travail du manipulateur est circulaire symétrique avec l'hypothèse qu'il n'y a pas de limitation à la rotation des liens dans n'importe quelle région de l'espace de travail, soit -180◦  à + 180.

Cinématique inverse d'un manipulateur à deux liens, Crédits d'image: Éléments de robotique, Springer

Chaque point sur la circonférence du cercle extérieur comme a est l'endroit le plus éloigné du bras de l'origine; il est réalisé en alignant les deux maillons de telle sorte que la longueur du bras soit l1+l2. Des points comme b sur la circonférence du cercle intérieur sont les plus proches de la racine dans tout l'espace de travail. Lorsque le deuxième lien est replié sur la première connexion, une longueur de l1+l2 Est obtenu. Une autre position accessible est c; il y a deux positions (rotations articulaires) qui permettent au bras d'être dans cette position.

Depuis que nous avons supposé que l1>l2, il n'y a pas de séquence de rotations qui puisse positionner l'extrémité du bras plus près de l'origine que l1−l2 et seulement les positions inférieures ou égales à une distance de l1+l2 depuis l'origine sont accessibles. D'où le problème de la cinématique inverse peut avoir zéro, une ou plusieurs solutions.

La loi des cosinus est utilisée pour trouver la solution au problème de cinématique inverse:

a ^ {2} + b ^ {2} -2abcos \ theta = c ^ {2}

Qui donne x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}

Maintenant, nous voulons les valeurs de α et β, s'il y en a pour le point donné (x, y) qui doit se trouver au centre de l'effecteur terminal. Par conséquent, le bras robotique est censé être amené à ce point.

D'où la loi des cosinus nous donne:

l_{1}^2+l_{2}^2-2l_{1}l_{2}cos(180^{\circ}-\beta )=r^2

À partir de l'équation ci-dessus, nous pouvons obtenir la valeur de as:

cos(180^{\circ}-\beta )=\frac{l_{1}^2+l_{2}^2-r^2}{2l_{1}l_{2}}

Donc nous avons-

\beta =180^{\circ}-\cos^{-1}(\frac{l_{1}^2+l_{2}^2-r^2}{2l_{1}l_{2}})

Maintenant, nous devons trouver les valeurs de γ et α. Pour trouver la valeur de γ, nous devons utiliser la loi des cosinus avec γ comme angle central. Cela nous donne-

cos\gamma =\frac{l_{1}^2+r^2-l_{2}^2}{2l_{1}r}

\gamma =\cos^{-1}(\frac{l_{1}^2+r^2-l_{2}^2}{2l_{1}r})

Maintenant (x, y) forme un traingle à angle droit qui nous donne

tan (\ alpha - \ gamma) = \ frac {x} {y}

\ alpha = \ gamma + \ tan ^ {- 1} (\ frac {x} {y})

\alpha =\cos^{-1}(\frac{l_{1}^2+r^2-l_{2}^2}{2l_{1}r})+\tan^{-1}(\frac{x}{y})

Exemple de cinématique inverse

Laisser nous l1 = je2 = 1 et (xe,ye) = ((1 + √3) / 2, (1 + √3) / 2)

Ensuite  

r ^ 2 = x_ {e} ^ 2 + y_ {e} ^ 2 = 2 + \ sqrt {3}

et  

\ beta = 180 ^ {\ circ} - \ cos ^ {- 1} (\ frac {- \ sqrt {3}} {2}) = \ pm 30 ^ {\ circ}

et

\ gamma = \ cos ^ {- 1} (\ frac {r} {2}) = \ pm 15 ^ {\ circ}

Par conséquent,

\ alpha = \ tan ^ {- 1} (\ frac {y} {x}) + \ gamma = 60 ^ {\ circ} ou 30 ^ {\ circ}

Cadres de coordonnées | Cadre effecteur d'extrémité

Les cadres de coordonnées sont utilisés pour représenter le mouvement d'un manipulateur robotique. Le bras est représenté par trois cadres, dont l'un est associé à l'articulation d'origine qui est une base fixe au sol ou sur une table. Nous avons le deuxième cadre associé au joint entre les deux maillons et le troisième cadre est concerné par le effecteur d'extrémité à la fin du deuxième lien. Par conséquent, les cadres de coordonnées sont nécessairement affectés pour calculer la cinématique du robot, à la fois en avant et en arrière.

Matrice de rotation

Les matrices de rotation peuvent être utilisées pour modéliser mathématiquement le mouvement de rotation d'un bras robotique pour le calcul de la cinématique du robot. Le deuxième joint a un décalage de l1 distance linéaire de l'effecteur d'extrémité alors que l'effecteur d'extrémité a un décalage d'un l2 distance du deuxième joint linéairement. Transformations homogènes sont un type de matrices de rotation qui peuvent être utilisées pour traiter les traductions mathématiquement. Il existe trois interprétations d'une matrice de rotation:

  1. Rotation vectorielle
  2. Rotation du cadre de coordonnées
  3. Transformation d'un vecteur d'un cadre de coordonnées à un autre

Mais la cinématique du robot pour la rotation et la translation d'un cadre de coordonnées. Les liens relient les articulations sur les manipulateurs robotiques, de sorte que les systèmes de coordonnées sont liés non seulement par des rotations mais aussi par des translations.

Cinématique du robot: L'image b est tournée et traduite en image a, Crédits d'image: Éléments de robotique, Springer

Dans la figure ci-dessus, un point dans le cadre de coordonnées (rouge) b  est noté par p mais par rapport au cadre de coordonnées (bleu). Les deux cadres de coordonnées a et b sont tournés par l'angle, et leurs origines sont traduites par x et y. Donc si les coordonnées du point p dans le cadre b est connu pour be  bp = (bx,by), puis découvrons ses coordonnées dans le cadre a qui sont ap = (ax,ay).

Cinématique du robot: L'image b est tournée vers l'image a1, puis traduite vers l'image a, Générique de l'illustration: Éléments de robotique, Springer

Un cadre de coordonnées indéterminé est défini comme a1, qui a son origine identique à celle du cadre b et l'orientation comme celle du cadre a. Les coordonnées du point p dans le cadre de coordonnées a1 peut être simplement dérivée avec une rotation de θ.

^ {a ^ {1}} p = \ begin {bmatrix} ^ {a ^ {1}} x \\ ^ {a ^ {1}} y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\ \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} ^ {b} x \\ ^ {b} y \ end {bmatrix}

Maintenant, nous ajoutons les décalages de la translation pour trouver les coordonnées du point p dans le cadre a,

^ {a} p = \ begin {bmatrix} ^ {a} x \\ ^ {a} y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} ^ {a_ {1}} x \\ ^ {a_ {1} } y \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ Delta x \\ \ Delta y \ end {bmatrix}

Cinématique différentielle | Manipulateur Jacobien

Cinématique avant Jacobian

À partir de la cinématique directe du manipulateur robotique à deux liaisons ci-dessus, nous pouvons déduire la position de l'effecteur terminal comme:

x_ {e} = x ^ {'} + x ^ {' '} = l_ {1} cos \ alpha + l_ {2} cos (\ alpha + \ beta)
y_ {e} = y ^ {'} + y ^ {' '} = l_ {1} sin \ alpha + l_ {2} sin (\ alpha + \ beta)

On voit que changer la position de l'effecteur d'extrémité peut être témoin de changements avec des variations dans l'un ou l'autre α or β. Ce qui signifie que la position de l'effecteur d'extrémité dépend des variables d'angle de joint. Nous pouvons prendre les dérivées partielles de l'équation ci-dessus et établir une relation différentielle entre la position de l'effecteur d'extrémité et la position de l'angle d'articulation de la manière indiquée ci-dessous:

dx_ {e} = \ frac {\ partial x_ {e} (\ alpha + \ beta)} {\ partial \ alpha} d \ alpha + \ frac {\ partial x_ {e} (\ alpha + \ beta)} { \ partial \ beta} d \ beta
dy_ {e} = \ frac {\ partial y_ {e} (\ alpha + \ beta)} {\ partial \ alpha} d \ alpha + \ frac {\ partial y_ {e} (\ alpha + \ beta)} { \ partial \ beta} d \ beta

Cinématique du robot: Forward Kinematics Jacobian, Crédits d'image: Éléments de robotique, Springer

De manière plus concise, les équations ci-dessus peuvent être représentées comme suit:

dx = J.dq

Où,

dx = \ begin {bmatrix} dx_ {e} \\ dy_ {e} \ end {bmatrix}

et

dq = \ begin {bmatrix} d \ alpha \\ d \ beta \ end {bmatrix}

J = \ begin {bmatrix} - l_ {1} sin \ alpha - l_ {2} sin (\ alpha + \ beta) & - l_ {2} sin (\ alpha + \ beta) \\ l_ {1} cos \ alpha - l2cos (\ alpha + \ beta) & l_ {2} cos (\ alpha + \ beta) \ end {bmatrix}

Le vecteur q s'appelle l'état du système et la matrice J est appelé le Jacobien.

Ou,

v_ {e} = J. \ dot {q}

Ainsi, Jacobien est une matrice d'équations différentielles partielles qui représente la vitesse du système manipulateur et la façon dont il affecte le effecteur d'extrémité position.

Cinématique inverse jacobienne

Pour la cinématique inverse jacobienne, l'isolement de la matrice de vitesse conjointe peut nous donner:

\ dot {q} = J ^ {- 1} .v_ {e}

Il est très intéressant de noter que la solution cinématique inverse ne peut avoir qu'une solution mathématique si le jacobien est non singulier. Un Jacobien perd son rang et devient non inversible en termes mathématiques de la cinématique des robots.

Comment la manipulabilité est-elle liée à la cinématique robotique?

Manipulabilité

Il est essentiel d'examiner la manipulabilité pour la dérivation de la cinématique du robot, qui est l'un des paramètres les plus importants de la fonctionnalité d'un manipulateur robotique. Ce terme a un effet significatif sur la conception car il incite à définir des indicateurs de performance cinématique du robot permettant d'optimiser la taille du robot. La manipulabilité est définie comme la capacité du robot à accepter le changement de position et d'orientation de son effecteur terminal pour une configuration d'articulation donnée.

La manipulabilité peut être modélisée comme un ellipsoïde dans un espace euclidien à n dimensions, l'équation suivante définissant sa géométrie:

L'ensemble de toutes les vitesses que chaque joint peut satisfaire est représenté par cette équation, et la norme euclidienne du vecteur est inférieure à l'unité. Cette hypothèse initiale facilite l'établissement d'une métrique standard qui peut être utilisée pour comparer une variété de manipulateurs et déterminer leur cinématique.

À propos d'Esha Chakraborty

J'ai une formation en ingénierie aérospatiale, je travaille actuellement à l'application de la robotique dans l'industrie de la défense et des sciences spatiales. Je suis un apprenant continu et ma passion pour les arts créatifs me maintient enclin à concevoir de nouveaux concepts d'ingénierie.
Avec des robots remplaçant presque toutes les actions humaines dans le futur, j'aime apporter à mes lecteurs les aspects fondamentaux du sujet d'une manière simple mais informative. J'aime aussi me tenir au courant des progrès de l'industrie aérospatiale simultanément.

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