Permutation et combinaison : 7 faits rapides complets

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Propriétés de permutation et combinaison

  Lorsque nous discutons de la permutation et de la combinaison, car nous traitons de la sélection et de la disposition avec ou sans considérations d'ordre, en fonction de la situation, il existe différents types et propriétés pour le permutation et combinaison, ces différences entre permutations et combinaisons nous expliquerons ici avec des exemples justifiés.

permutations sans répétition

  C'est la permutation normale qui arrange n objets pris r à la fois ie nPr

n Pr= n! / (nr)!

nombre d'ordres de n objets différents pris tous à la fois n Pn = n!

De plus, nous avons

nP0 = n! / n! = 1

nPr = n.n-1Pr-1

0! = 1

1 / (- r)! = 0 ou (-r)! = ∞

permutations avec répétition

 Nombre de permutations (arrangements) pour différents éléments, prises r à la fois, où chaque élément peut se produire une, deux, trois fois, …… .. r-fois autant dans n'importe quel arrangement = Nombre de façons de remplir r zones où chacune l'élément peut être rempli avec l'un des n éléments.

Image2 R numéro de lieu
Propriétés de Permutation et combinaison : permutations avec répétition

Le nombre de permutations = Le nombre de modes de remplissage r lieux = (n)r

Le nombre de commandes qui peuvent être organisées à l'aide de n objets dont p sont semblables (et d'un genre) q sont semblables (et d'un autre genre), r sont semblables (et d'un autre genre) et le reste est distinct est nPr = n! / (p! q! r!)

Mise en situation :

De combien de façons peut-on répartir 5 pommes entre quatre garçons alors que chaque garçon peut prendre une ou plusieurs pommes.      

Solution: C'est l'exemple de permutation avec répétition car on sait que pour de tels cas on a

Le nombre de permutations = Le nombre de modes de remplissage r lieux = nr

Le nombre de façons requis est de 45 =10, Puisque chaque pomme peut être distribuée de 4 manières.

Mise en situation : Trouvez le nombre de mots que vous pouvez organiser avec les lettres du mot MATHÉMATIQUES en les regroupant.

Solution: Ici on peut observer qu'il y a 2 M, 2 A et 2T c'est l'exemple de permutation avec répétition

= n! / (p! q! r!)

 Le nombre de voies requis est = 11! / (2! 2! 2!) = 4989600

Mise en situation : Combien de façons dont le nombre de queues est égal au nombre de têtes si six pièces identiques sont disposées dans une rangée.

Solution: Ici, nous pouvons observer que

Nb de têtes = 3

Nombre de queues = 3

Et comme les pièces sont identiques c'est l'exemple de la permutation avec répétition = n! / (P! Q! R!)

Nombre de voies requis = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20

Permutation circulaire:

Dans la permutation circulaire, le plus important est l'ordre de l'objet est le respect des autres.

Ainsi, en permutation circulaire, nous ajustons la position d'un objet et organisons les autres objets dans toutes les directions.

La permutation circulaire est divisée en deux manières:

(i) Permutation circulaire où les réglages dans le sens horaire et anti-horaire suggèrent permutation différente, par exemple des dispositions pour asseoir les gens autour de la table.

(ii) Permutation circulaire où les réglages dans le sens horaire et antihoraire s'affichent même permutation, par exemple organiser certaines perles pour créer un collier.

Disposition dans le sens horaire et anti-horaire

Si l'ordre et le mouvement dans le sens antihoraire et horaire sont pas différent par exemple, arrangement de perles dans un collier, arrangement de fleurs en guirlande, etc., puis le nombre de permutations circulaires de n éléments distincts est (n-1)! / 2

  1. Le nombre de permutation circulaire pour n éléments différents, pris r à la fois, lorsque les ordres pour le sens horaire et anti-horaire sont considérés comme étant différent by nPr /r
  2. Le nombre de permutations circulaires pour n éléments différents, pris r à la fois, lorsque les ordres dans le sens horaire et anti-horaire sont pas différent de nPr / 2r
  3. Le nombre de permutations circulaires de n objets différents est (n-1)!
  4. Le nombre de façons dont n différents garçons peuvent être assis autour d'une table circulaire est (n-1)!
  5. Le nombre de façons dont n différentes gemmes peuvent être mises en place pour former un collier, est (n-1)! / 2

Mise en situation :

De combien de façons peut-on placer cinq clés dans l'anneau

Solution:

Puisque le sens horaire et anti-horaire sont les mêmes en cas de bague.

Si la séquence et le mouvement dans le sens antihoraire et horaire sont pas différent puis le nombre de permutations circulaires de n éléments distincts est

= (n-1)! / 2

Nombre de voies requis = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12     

Mise en situation :

Quel serait le nombre d'arrangements, si onze membres d'un comité s'assoient à une table ronde pour que le président et le secrétaire siègent toujours ensemble.

Solution:

Par propriété fondamentale de permutation circulaire

Le nombre de permutations circulaires de n choses différentes est (n-1)!

Puisque deux positions sont fixes, nous avons

Nombre de voies requis (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760

Mise en situation : Quel serait le nombre de façons dont 6 hommes et 5 femmes peuvent manger à une table ronde si deux femmes ne peuvent pas s'asseoir ensemble

Solution: Par propriété fondamentale de permutation circulaire.

Le nombre de permutations circulaires de n choses différentes est (n-1)!

Nombre de façons dont 6 hommes peuvent être disposés autour d'une table ronde = (6 – 1) ! =5 !

Propriétés de permutation et combinaison
Propriétés de permutation et combinaison: exemple

Désormais, les femmes peuvent être organisées en 6! voies et nombre total de voies = 6! × 5!

Combinaisons sans répétition

Il s'agit de la combinaison habituelle qui est «Le nombre de combinaisons (sélections ou groupes) qui peuvent être formées à partir de n différents objets pris r à la fois est nCr = n! / (nr)! r!

Aussi    nCr =nCrr

              n Pr /r! =n!/(n°)! =nCr

Mise en situation : Trouvez le nombre d'options pour pourvoir 12 postes vacants s'il y a 25 candidats et que cinq d'entre eux appartiennent à la catégorie prévue, à condition que 3 postes vacants soient réservés aux candidats SC tandis que les autres sont ouverts à tous.

Solution: Puisque 3 postes vacants sont pourvus parmi 5 candidats en 5 C3  (c'est-à-dire 5 CHOISISSEZ 3) et maintenant les candidats restants sont 22 et les sièges restants sont 9 donc ce serait 22C9 (22 CHOISIR 9) La sélection peut être effectuée 5 C3  X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}

5 C3  X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200

Ainsi, la sélection peut être effectuée de 4974200 façons. 

Mise en situation : Il y a 10 candidats et trois postes vacants à l'élection. de combien de façons un électeur peut-il voter?

Solution: Comme il n'y a que 3 postes vacants pour 10 candidats, c'est le problème de 10 CHOISIR 1, 10 CHOISIR 2 et 10 CHOISIR 3 Exemples,

Un électeur peut voter 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.

 Ainsi, les électeurs peuvent voter de 175 façons.

Mise en situation :Il y a 9 chaises dans une chambre pour 4 personnes, dont une est un invité monoplace avec une chaise spécifique. De combien de façons peuvent-ils s'asseoir?

Solution: Puisque 3 chaises peuvent être sélectionnées 8C3 et puis 3 personnes peuvent être organisées en 3! façons.

3 personnes doivent être assises sur 8 chaises 8C3 (c'est-à-dire 8 CHOISIR 3)

=8C3 X3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!

= 56X6 = 336

De 336 façons, ils peuvent s'asseoir.

Mise en situation : Pour cinq hommes et 4 femmes, un groupe de 6 sera formé. De combien de façons cela peut être fait pour que le groupe ait plus d'hommes.

Solution : Ici, le problème comprend différentes combinaisons comme 5 CHOISIR 5, 5 CHOISIR 4, 5 CHOISIR 3 pour les hommes et pour les femmes, il comprend 4 CHOISIR 1, 4 CHOISIR 2 et 4 CHOISIR 3 comme indiqué ci-dessous

1 femme et 5 hommes =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4

           2 femmes et 4 hommes =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30

           3 femmes et 3 hommes =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40

    Par conséquent, le total des voies = 4 + 30 + 40 = 74.

Mise en situation : Le nombre de façons dont 12 garçons peuvent voyager dans trois voitures de sorte que 4 garçons dans chaque voiture, en supposant que trois garçons particuliers n'iront pas dans la même voiture.

Solution: Commencez par omettre trois garçons particuliers, les 9 garçons restants peuvent être 3 dans chaque voiture. Cela peut être fait dans 9 CHOOSE 3 ie 9C3 façons,

Les trois garçons particuliers peuvent être placés de trois manières une dans chaque voiture. Par conséquent, le nombre total de voies est = 3X9C3.

={9!/3!(9-3)!}X3= 252

donc de 252 façons, ils peuvent être placés.

Mise en situation : De combien de façons 2 boules vertes et 2 boules noires sont-elles sorties d'un sac contenant 7 boules vertes et 8 boules noires?

Solution: Ici, le sac contient 7 vertes parmi lesquelles nous devons en choisir 2, c'est donc 7 CHOISISSEZ 2 problèmes et 8 boules noires parmi lesquelles nous devons en choisir 2 donc c'est 8 CHOISISSEZ 2 problèmes.

D'où le nombre requis = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588

Ainsi, de 588 façons, nous pouvons sélectionner 2 verts et 2 noirs dans ce sac.

Mise en situation : Douze caractères différents de mots anglais sont fournis. A partir de ces lettres, 2 noms alphabétiques sont formés. Combien de mots peuvent être créés lorsqu’au moins une lettre est répétée.

Solution: ici, nous devons choisir des mots de 2 lettres parmi 12 lettres, donc c'est 12 CHOISISSEZ 2 problème.

Nombre de mots de 2 lettres dans lesquels les lettres ont été récurrentes à tout moment = 122

        Mais non. de mots ayant deux lettres différentes sur 12 =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66

        Nombre de mots requis = 122-66 = 144-66 = 78.

Mise en situation : Il y a 12 points sur le plan où six sont colinéaires, puis combien de lignes peuvent être tracées en joignant ces points.

Solution: Pour que 12 points dans un plan forment une ligne, nous avons besoin de 2 points identiques pour six points colinéaires, c'est donc le problème 12 CHOOSE 2 et 6 CHOOSE 2.

Le nombre de lignes est = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52

Ainsi, il est possible de tracer des lignes de 52 façons différentes.

Mise en situation : Trouvez le nombre de façons dont un cabinet à 6 membres peut être configuré à partir de 8 messieurs et 4 femmes de sorte que le cabinet se compose d'au moins 3 femmes.

Solution: Pour former le comité, nous pouvons choisir parmi 3 hommes et femmes et 2 hommes 4 femmes, donc le problème comprend 8 CHOISIR 3, 4 CHOISIR 3, 8 CHOISIR 2 et 4 CHOISIR 4.

Deux types d'armoires peuvent être formés

        (i) Avoir 3 hommes et 3 femmes

        (ii) Avoir 2 hommes et 4 femmes

        Possible non. de voies = (8C3 X 4C3) + (8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252      

Ainsi, de 252 façons, nous pouvons former un tel cabinet.

       Voici quelques exemples où nous pouvons comparer la situation de nPr vs nCr dans le cas de la permutation, la façon dont les choses sont organisées est importante. Cependant, en combinaison, la commande ne signifie rien.

Conclusion

Une brève description de la permutation et de la combinaison lorsqu'elles sont répétées et non répétées avec la formule de base et des résultats importants sont fournis sous forme d'exemples réels, dans cette série d'articles, nous aborderons en détail les différents résultats et formules avec des exemples pertinents, si vous souhaitez continuer à lire :

SCHAUM SOMMAIRE DE LA THÉORIE ET ​​DES PROBLÈMES DES MATHÉMATIQUES DISCRÈTES

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

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