Fonction de masse de probabilité | Son aperçu complet avec 5 exemples

Variable aléatoire discrète et espérance mathématique-II

Comme déjà, nous connaissons maintenant le variable aléatoire discrète, c'est la variable aléatoire qui prend un nombre dénombrable de valeurs possibles dans une séquence. Les deux concepts importants liés aux variables aléatoires discrètes sont la probabilité de la variable aléatoire discrète et la fonction de distribution, nous limitons le nom à une fonction de probabilité et de distribution comme,

Fonction de masse de probabilité (pmf)

                au jugement, Fonction de masse est la probabilité de la variable aléatoire discrète, donc pour tout variables aléatoires discrètes  x1, X2, X3, X4,……, Xk  les probabilités correspondantes P (x1), P (x2), P (x3), P (x4) ……, P (xk) sont les fonctions de masse de probabilité correspondantes.

Plus précisément, pour X = a, P (a) = P (X = a) est son pmf

Nous utilisons ici fonction de masse pour la probabilité de variables aléatoires discrètes. Toutes les caractéristiques de probabilité pour la probabilité seront évidemment applicables à la fonction de masse de probabilité comme la positivité et la somme de tous les pmf sera un, etc.

Fonction de distribution cumulative (cdf) / fonction de distribution

  La fonction de distribution définie comme

F (x) = P (X <= x)

pour une variable aléatoire discrète avec fonction de probabilité de masse est la fonction de distribution cumulative (cdf) de la variable aléatoire.

et l'espérance mathématique pour cette variable aléatoire que nous avons définie était

E (g (x)) = \ somme \ limites_ {i} x_ {i} p_ {i}

nous voyons maintenant certains des résultats des attentes mathématiques

  1. Si x1, X2, X3, X4,… .. sont les variables aléatoires discrètes avec des probabilités respectives P (x1), P (x2), P (x3), P (x4)… L'espérance de la fonction réelle g sera

E (g (x)) = \ somme \ limites_ {i} g (x_ {i}) p (x_ {i})

Exemple: pour les fonctions de masse de probabilité suivantes, trouvez E (X3)

fonction de masse

Ici le g (X) = X3

Alors,

E (g (x)) = \ somme \ limites_ {i} g (x_ {i}) p (x_ {i})

E (X ^ {3}) = \ somme \ limites_ {i} x_ {i} ^ {3} p (x_ {i})

E(X^{3}) = (-1)^{3}<em>0.2+(0)^{3}</em>0.5+(1)^{^{3}}*0.3

E (X ^ {3}) = 0.1

De la même manière pour tout nième ordre, nous pouvons écrire

E [X ^ {n}] = \ somme \ limites_ {x: p (x)> 0} x ^ {n} p (x)

Ce qui est connu sous le nom de nième moment.

2. Si a et b sont des constantes alors

E [aX + b] = aE [X] + b

Cela, nous pouvons comprendre facilement comme

E [aX + b] = \ somme \ limites_ {x: p (x)> 0} (ax + b) p (x)

= a \ somme \ limites_ {x: p (x)> 0} xp (x) + b \ somme \ limites_ {x: p (x)> 0} p (x)

= aE [X] + b

Variance en termes d'attentes.

                Pour la moyenne notée μ, la variance de la variable aléatoire discrète X notée var (X) ou σ en termes d'espérance sera

Var (X) = E [(X- μ)2]

et cela nous pouvons encore simplifier comme

Var (X) = E [(X- μ)2]

= \ somme \ limites_ {x} (x- \ mu) ^ {2} p (x)

= \ somme \ limites_ {x} (x ^ {2} -2x \ mu + \ mu ^ {2}) p (x)

= \ sum \ limits_ {x} (x ^ {2} p (x) -2 \ mu \ sum \ limits_ {x} xp (x) + \ mu ^ {2} \ sum \ limits_ {x} p (x )

= E [X ^ {2}] -2 \ mu ^ {2} + \ mu ^ {2}

= E [X ^ {2}] - \ mu ^ {2}

cela signifie que nous pouvons écrire la variance comme la différence de l'espérance de la variable aléatoire carré et carré de l'espérance de la variable aléatoire.

ie Var (X) = E [X2] - (EX])2

Mise en situation :  quand un dé est lancé, calculez la variance.

Solution:  ici, nous savons quand mourir jeté les probabilités pour chaque visage seront

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

Par conséquent, pour calculer la variance, nous trouverons l'espérance de la variable aléatoire et de son carré comme

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

EX2] = 12. (1/6) +22. (1/6) +32. (1/6) +42. (1/6) +52. (1/6) +62.(1/6) =(1/6)(91)

et nous venons d'obtenir la variance comme

Var (X) = E [X2] - (EX])2

so

Var (X) = (91/6) - (7/2)2 = 35 / 12

L'une des identités importantes de la variance est

  1. Pour les constantes arbitraires a et b on a

Var (aX + b) = a2 Var (X)

Cela, nous pouvons le montrer facilement comme

Var (aX + b) = E [(aX + b -aμ-b)2 ]

= E [a2(X - μ)2]

=a2 E [(X-μ)2]

=a2 Var (X)

Bernoulli Variable aléatoire

      Un mathématicien suisse James Bernoulli définit le Variable aléatoire de Bernoulli comme une variable aléatoire ayant soit succès ou échec comme deux résultats seulement pour l'expérience aléatoire.

c'est-à-dire lorsque le résultat est le succès X = 1

Lorsque le résultat est un échec X = 0

Ainsi, la fonction de masse de probabilité pour la variable aléatoire de Bernoulli est

p (0) = P {X = 0} = 1-p

p (1) = P {X = 1} = p

où p est la probabilité de succès et 1-p sera la probabilité d'échec.

Ici, nous pouvons également prendre 1-p = q où q est la probabilité d'échec.

Comme ce type de variable aléatoire est évidemment discret, il s'agit donc d'une variable aléatoire discrète.

Exemple: Lancer une pièce.

Variable aléatoire binomiale

Si pour une expérience aléatoire dont le résultat est uniquement un succès ou un échec, nous prenons n essais, de sorte que chaque fois que nous obtiendrons soit un succès soit un échec, la variable aléatoire X représentant le résultat pour une telle expérience aléatoire de n essais est appelée Variable aléatoire binomiale.

                En d'autres termes, si p est la fonction de masse de probabilité pour le succès dans le seul essai de Bernoulli et q = 1-p est la probabilité de l'échec, alors la probabilité de survenue de l'événement 'x ou i' fois dans n essais sera

f (x) = P (X = x) = \ binom {n} {x} p ^ {x} q ^ {nx} = \ frac {n!} {x! (nx!)} p ^ {x} q ^ {nx}

or

p (i) = \ binom {n} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} où i = 0,1,2,… .n

Mise en situation : Si nous lançons deux pièces six fois et que la tête est un succès et que les occurrences restantes sont des échecs, sa probabilité sera

f (x) = P (X = x) = \ binom {n} {x} p ^ {x} q ^ {nx} = \ frac {n!} {x! (nx!)} p ^ {x} q ^ {nx}

P(X=2)=\binom{6}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{6-2}=\frac{6!}{2!4!}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{15}{64}

de la même manière, nous pouvons calculer pour une telle expérience.

au jugement, Variable aléatoire binomiale a le nom Binôme car il représente l'expansion de

latex^{n}=q^{n}+\binom{n}{1}q^{n-1}p+\binom{n}{2}q^{n-2}p^{2}+…….+p^{n}=\sum\limits_{i = 1}^n\binom{n}{x}p^{x}q^{n-x}[/latex]

Si nous mettons à la place de n = 1, cela deviendrait la variable aléatoire de Bernoulli.

Mise en situation : Si cinq pièces étaient lancées et que le résultat était pris indépendamment, quelle serait la probabilité que le nombre de têtes se produise.

Ici, si nous prenons la variable aléatoire X comme le nombre de têtes, alors il se tournerait vers la variable aléatoire binomiale avec n = 5 et une probabilité de succès égale à XNUMX/XNUMX

Donc, en suivant la fonction de masse de probabilité pour la variable aléatoire binomiale, nous obtiendrons

P{X=0}=\binom{5}{0}(\frac{1}{2})^{0}(\frac{1}{2})^{5}=\frac{1}{32}

P{X=1}=\binom{5}{1}(\frac{1}{2})^{1}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{5}{32}

P{X=2}=\binom{5}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{10}{32}

P{X=3}=\binom{5}{3}(\frac{1}{2})^{3}(\frac{1}{2})^{2}=\frac{10}{32}

P{X=4}=\binom{5}{4}(\frac{1}{2})^{4}(\frac{1}{2})^{1}=\frac{5}{32}

Mise en situation :

Dans une certaine entreprise, la probabilité de défaut est de 0.01 à partir de la production. La société fabrique et vend le produit dans un paquet de 10 et à ses clients offrent une garantie de remboursement qu'au plus 1 des 10 produits est défectueux, donc quelle proportion de produits vendus emballés l'entreprise doit remplacer.

Ici Si X est la variable aléatoire représentant les produits défectueux alors elle est de type binomial avec n = 10 et p = 0.01 alors la probabilité que le pack retourne est

P({X\geq 1})=1-P(X=0)-P(X=1)=1-\binom{10}{0}(0.01)^{0}(0.99)^{10}-\binom{10}{1}(0.01)^{1}(0.99)^{9}

\ environ 0.004

Mise en situation : (chuck-a-luck / roue de la fortune) Dans un jeu de fortune spécifique à l'hôtel, un joueur parie sur l'un des numéros de 1 à 6, trois dés sont ensuite lancés et si le numéro apparaît, parié par le joueur une, deux ou trois fois le joueur que beaucoup d'unités signifie si apparaît une fois puis 1 unité si sur deux dés puis 2 unités et si sur trois dés puis 3 unités, vérifiez avec l'aide de la probabilité que le jeu est juste pour le joueur ou non.

Si nous supposons qu'il n'y aura aucun moyen injuste avec les techniques de dés et de con, alors en supposant le résultat des dés indépendamment, la probabilité de succès pour chaque dé est de 1/6 et l'échec sera

 1-1 / 6 donc cela s'avère être l'exemple de variable aléatoire binomiale avec n = 3

Nous allons donc d'abord calculer les probabilités de gain en attribuant x lorsque les joueurs gagnent

P(X=0)=\binom{3}{0}(\frac{1}{6})^{0}(\frac{5}{6})^{3}=\frac{125}{216}

P(X=1)=\binom{3}{1}(\frac{1}{6})^{1}(\frac{5}{6})^{2}=\frac{75}{216}

P(X=2)=\binom{3}{2}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{1}=\frac{15}{216}

P(X=3)=\binom{3}{3}(\frac{1}{6})^{3}(\frac{5}{6})^{0}=\frac{1}{216}

Maintenant pour calculer le jeu est juste pour le joueur ou non, nous allons calculer l'espérance de la variable aléatoire

E[X]=\frac{-125+75+30+3}{216}

= - \ frac {17} {216}

Cela signifie que la probabilité de perdre la partie pour le joueur lorsqu'il joue 216 fois est de 17.

Conclusion:

   Dans cet article, nous avons discuté de certaines des propriétés de base d'une variable aléatoire discrète, d'une fonction de masse de probabilité et de la variance. De plus, nous avons vu certains types de variable aléatoire discrète.Avant de commencer la variable aléatoire continue, nous essayons de couvrir tous les types et propriétés de variable aléatoire discrète, si vous voulez plus de lecture, passez par:

Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

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À propos de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque , Maître de Conférences en Mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l'immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
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