Stress principal : 23 faits à connaître

Définition principale du stress:

La contrainte principale est la contrainte maximale et minimale dérivée de la contrainte normale à un angle sur un plan où la contrainte de cisaillement est nulle.

Comment calculer la contrainte principale?

Équation de contrainte principale | Formule principale du stress:
Equations des contraintes principales maximales et minimales:

$\\sigma 1=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}+\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

$\\sigma 1=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}-\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

Dérivation principale des contraintes | Déterminer les plans principaux et les contraintes principales

Contraintes normales:

$\\sigma x'=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}+\\frac{(\\sigma x-\\sigma y)(cos2\\Theta )}{2}+\ \sigma xysin2\\Thêta$

$\\sigma y'=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}-\\frac{(\\sigma x-\\sigma y)(sin2\\Theta )}{2}+\ \sigma xycos2\\Thêta$

$-\\frac{(\\sigma x-\\sigma y)(cos2\\Theta )}{2}+\\sigma xysin2\\Theta$

Différencier,

$\\frac{dx'}{d\\Theta }=0$

$tan2\\Theta =\\frac{\\sigma xy}{\\frac{(\\sigma x-\\sigma y)}{2}}$

$tan2\\Theta_{p} =\\frac{\\sigma xy}{\\frac{(\\sigma x-\\sigma y)}{2}}$

«P» représente le plan principal.

Il y a deux contraintes principales,
un à l'angle $2\\Thêta$
et autres à $2\\Thêta+180$
Contraintes principales maximales et minimales:

R= $\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+\\tau xy^{2}}$

$cos2\\Theta =\\frac{\\left ( \\sigma x-\\sigma y \\right )}{2R}$

$sin2\\Theta =\\frac{\\sigma xy}{R}$

substitut dans l'équation 1:

$\\sigma x'=\\frac{\\left ( \\sigma x+\\sigma y \\right )}{2}+\\frac{1}{R}[\\left ( \\frac{\ \sigma x-\\sigma y}{2} \\right )^{2}+\\sigma xy^{2}]$

valeur de remplacement de R

Les contraintes normales maximales et minimales sont les principales contraintes:

$\\sigma max=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}+\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

$\\sigma min=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}-\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

L'état de stress:

La contrainte principale est les axes de coordonnées de référence à la représentation de la matrice de contrainte et ces composantes de contrainte sont la signification de l'état de contrainte pourrait être représentée par,

Tenseur de stress:

$\\tau ij=\\begin{bmatrix}\\sigma 1 & 0 & 0 \\\\0 & \\sigma 2 & 0 \\\\0 &0 &\\sigma 3\\end{bmatrix}$

Contraintes principales du tenseur des contraintes et des invariants des contraintes | Principaux invariants des contraintes

Il y a trois plans principaux à tout corps contraint, avec des vecteurs normaux n, appelés directions principales où le vecteur contrainte est dans la même direction que le vecteur normal n sans contraintes de cisaillement et ces composantes dépendent de l'alignement du système de coordonnées.

Un vecteur de contrainte parallèle au vecteur unitaire normal n est spécifié comme suit:

$\\tau ^{\\left ( n \\right )}=\\lambda n=\\sigma _{n}n$

Où,
\\lambda représente une constante de proportionnalité.

Les principaux vecteurs de contraintes représentés par,

$\\sigma ij nj=\\lambda ni$

$\\sigma ij nj-\\lambda nij=0$

L'amplitude de trois contraintes principales donne trois équations linéaires.
Le déterminant de la matrice de coefficients est égal à zéro et représenté par,

$\\begin{vmatrix}\\sigma ij-\\lambda \\delta ij\\end{vmatrix}=\\begin{bmatrix}\\sigma 11-\\lambda &\\sigma 12 &\\sigma 13 \ \\\\\sigma 21 & \\sigma 22-\\lambda &\\sigma 23 \\\\\\sigma 31 & \\sigma 32 & \\sigma 33-\\lambda\\end{bmatrix}$

Les contraintes principales sont sous forme de contraintes normales, et le vecteur de contrainte dans le système de coordonnées est représenté sous forme de matrice comme suit:

$\\sigma ij=\\begin{bmatrix}\\sigma 1 & 0 & 0\\\\0 & \\sigma 2 & 0\\\\0 &0 &\\sigma 3\\end{bmatrix}$

I1, I2, I3 sont les invariants des contraintes principales,
Les invariants de contraintes dépendent des contraintes principales et sont calculés comme suit,

$I1=\\sigma 1+\\sigma 2+\\sigma 3$

$I2=\\sigma 1\\sigma 2+\\sigma 2\\sigma 3+\\sigma 3\\sigma 1$

$I3=\\sigma 1.\\sigma 2.\\sigma 3$

L'équation des contraintes principales pour les invariants de contraintes:

$\\sigma 1=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}+\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

$\\sigma 1=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}-\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

Principales trajectoires de stress | Principales directions de stress

Les trajectoires des contraintes montrent les directions principales des contraintes et leur amplitude variable des contraintes principales.

Von met le stress par rapport au stress principal

De mises — Crédit image:Rswarbrick, Surfaces de rendement, CC BY-SA 3.0

Von met l'équation de contrainte principale

Von Mises est la mesure théorique du critère de rupture sous contrainte dans les matériaux ductiles.
Le signe positif ou négatif dépend des principales contraintes.
Principales contraintes Conditions aux limites:

$\\sigma 12=\\sigma 23=\\sigma 31=0$

Les théories de rupture donnent les contraintes d'élasticité des composants soumis à un chargement multiaxial. En outre, lorsqu'elle est comparée à la limite d'élasticité des composants, la marge de sécurité du composant apparaît.

La contrainte principale maximale est prise en compte pour les éléments fragiles tels que les composants de moulage (par exemple, carter d'embrayage, boîte de vitesses, etc.)
La théorie des contraintes de Von-mises est basée sur déformation de cisaillement la théorie de l'énergie est suggérée pour les matériaux ductiles comme l'aluminium, les composants en acier.

Pourquoi la contrainte de von mises est-elle recommandée pour les contraintes ductiles et la contrainte principale pour les matériaux fragiles?

La défaillance des matériaux fragiles utilisés pour le test uni-axial se fait le long d'un plan vertical par rapport à l'axe de chargement. Donc, l'échec est généralement dû à un stress normal. Parmi toutes les théories de l'échec, la théorie principale du stress est basée sur le stress normal. Par conséquent, pour les matériaux fragiles, la théorie des contraintes principales est recommandée,

Voir aussi Types de maître-cylindre : processus de travail

Les matériaux ductiles échouent à 45 degrés inclinés au plan de chargement. Ainsi, la rupture est due à une contrainte de cisaillement. Parmi toutes les théories de l'énergie de déformation de cisaillement de rupture ou de la théorie de von-mises et la théorie de la contrainte de cisaillement maximale est basée sur la contrainte de cisaillement. Par comparaison, von mises donne de meilleurs résultats. Par conséquent, pour les matériaux ductiles, la théorie de von mises est recommandée.

Différents types de stress

Stress principal absolu | Stress principal efficace:

Les principales contraintes sont basées sur la contrainte maximale et la contrainte minimale. Ainsi, la plage de contrainte se situe entre la contrainte maximale et minimale (la plage de contrainte est limitée et inférieure) et peut conduire à une durée de vie plus élevée en fatigue. Il est donc important de connaître la contrainte principale effective qui donne la valeur maximale des deux sur la période de temps donnée.

Qu'est-ce que la théorie du stress normal maximal?

Cela indique qu'une rupture fragile se produit lorsque la contrainte principale maximale dépasse la compression ou la résistance à la traction du matériau. Supposons qu'un facteur de sécurité n soit pris en compte dans la conception. Les conditions de conception sûres l'exigent.

Équation de contrainte principale maximale

$-\\frac{Suc}{n}<{\\sigma 1,\\sigma 2,\\sigma 3}<\\frac{Sut}{n}$

Où σ1, σ2, σ3 sont trois contraintes principales, maximale, minimale et intermédiaire, dans les trois directions, Sut et Suc sont respectivement la résistance à la traction ultime et la résistance à la compression ultime.

Pour éviter une rupture fragile, les contraintes principales en tout point d'une structure doivent se situer dans l'enveloppe de rupture carrée basée sur la théorie des contraintes normales maximales.

Théorie des contraintes principales maximales |Définition de la contrainte principale maximale

considérer l'état de contrainte bidimensionnel et les contraintes principales correspondantes telles que σ1> σ2> σ3
Où σ3 = 0, σ2 peut être compressif ou en traction selon les conditions de chargement où σ2 peut être inférieur ou supérieur à σ3.

Selon la théorie des contraintes principales maximales, la défaillance se produira lorsque
σ1 ou σ2 = σy ou σt
Les conditions sont représentées graphiquement avec les coordonnées σ1, σ2. Si l'état de contrainte avec les coordonnées (σ1, σ2) tombe en dehors de la région rectangulaire, la rupture se produira selon la théorie des contraintes principales maximales.

Principales contraintes du cercle de Mohr

Expliquez les cercles de Mohr pour l'état de stress tridimensionnel:

Considérons un plan avec un point de référence comme P. Sigma est représenté par la contrainte normale et tau par la contrainte de cisaillement sur le même plan.
Prenez un autre plan avec le point de référence Q représentant respectivement sigma et tau comme contrainte normale et contrainte de cisaillement. Différents plans passent par le point p, différentes valeurs de contrainte principale et de cisaillement.
Pour chaque plan n, un point Q avec des coordonnées comme contrainte de cisaillement et contrainte principale peut être localisé.
Déterminez les contraintes normales et de cisaillement pour le point Q dans toutes les directions possibles de n.
Obtenez trois contraintes principales en tant que contrainte principale maximale, contrainte principale minimale et contrainte principale intermédiaire et représentez-les par ordre croissant des valeurs des contraintes.
Tracez trois cercles avec des diamètres comme différence entre les contraintes principales.

cercle de moh: stress principal — Crédit image:Sanpaz, Cercle de Mohr, marqué comme domaine public, plus de détails sur Wikimedia Commons

La région de la zone ombrée est la région du plan circulaire de Mohr.
Les cercles représentent les cercles de Mohr.
(σ1-σ3) et la contrainte normale associée est (σ1 + σ3)
Il y a trois contraintes normales, ainsi que trois contraintes de cisaillement.
Les plans de cisaillement principaux sont les plans où les contraintes de cisaillement agissent et la contrainte normale principale agit sur un plan où la contrainte de cisaillement est «0» et la contrainte de cisaillement agit sur un plan où la contrainte principale normale est nulle. La contrainte de cisaillement principale agit à 45 ° par rapport aux plans normaux.

Voir aussi Codage de ligne : 7 explications importantes

Crédit image: Sanpaz, Contrainte de plan du cercle de Mohr (angle), CC BY-SA 3.0

Les contraintes de cisaillement sont notées $\\tau 1,\\tau 2,\\tau 3$
Et les principales contraintes sont désignées par $\\sigma 1,\\sigma 2,\\sigma 3$

Troisième principal stress

3^rd La contrainte principale est relative à la contrainte de compression maximale due aux conditions de chargement.

Exemples de contraintes principales 3D:

Pour le cas tridimensionnel, les trois plans ont des contraintes de cisaillement nulles, et ces plans sont mutuellement perpendiculaires, et les contraintes normales ont des valeurs de contrainte maximale et minimale et ce sont les contraintes normales qui représentent la contrainte principale maximale et minimale.

Ces principales contraintes sont désignées par,
σ1, σ2, σ3.
Mise en situation :
Contrainte 3D dans le moyeu - un arbre en acier est inséré à force dans le moyeu.
Contrainte 3D dans le composant de la machine.

Contrainte déviatorique principale:

Les contraintes déviatoriques principales sont obtenues en soustrayant la contrainte moyenne de chaque contrainte principale.

Contrainte principale intermédiaire:

La contrainte principale, qui n'est ni maximale ni minimale, est appelée contrainte intermédiaire.

Angle de contrainte principal | Orientation de la contrainte principale: θP

L'orientation de la contrainte principale est calculée en assimilant la contrainte de cisaillement à zéro dans la direction xy au plan principal pivoté d'un angle thêta. Résolvez θ pour obtenir θP, l'angle de contrainte principal.

Questions fréquentes importantes (FAQ):

Pour quel matériau la théorie des contraintes principales maximales est-elle applicable?

Réponse: Matériaux fragiles.

Quelles sont les 3 principales contraintes? | Qu'est-ce que la contrainte principale maximale et minimale?

Contrainte principale maximale | Contrainte principale majeure : la plus résistante à la traction (σ1)
Contrainte principale minimale | Contrainte principale mineure: la plus compressive (σ3)
Contrainte principale intermédiaire (σ2)

Stress principal vs stress normal:

La contrainte normale est la force appliquée au corps par unité de surface. La contrainte principale est la contrainte appliquée au corps ayant une contrainte principale de cisaillement nulle. La contrainte se présente sous la forme d'une contrainte normale donnant des contraintes maximales et minimales sur le plan principal.

Contrainte principale vs contrainte de flexion:

La contrainte de flexion est la contrainte qui se produit dans le corps en raison de l'application d'une grande quantité de charge qui fait plier l'objet.

Contrainte principale vs contrainte axiale:

La contrainte axiale et la contrainte principale sont les parties de la contrainte normale.

Quelle est la signification du stress principal?

La contrainte principale indique la contrainte normale maximale et minimale. La contrainte normale maximale indique la capacité du composant à maintenir la force maximale.

Quelles sont les principales contraintes dans un arbre avec un couple appliqué?

La contrainte de cisaillement due au couple a une amplitude maximale au niveau de la fibre externe. Le la contrainte de flexion est due aux charges horizontales (forces horizontales des engrenages, forces de la courroie ou de la chaîne) qui induisent des contraintes de flexion qui sont maximales au niveau des fibres externes.

Pourquoi la contrainte de cisaillement est nulle sur le plan principal?

La contrainte normale est maximale ou minimale et la contrainte de cisaillement est nulle.

$tan2\\Theta _{\\tau-max}=-(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2\\tau xy})$

$\\tau max=\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+\\tau xy^{2}}$

lorsque la contrainte de cisaillement = 0,

Voir aussi Efficacité isentropique du compresseur : quoi, comment, plusieurs types, exemples

$\\tau max=\\frac{\\begin{vmatrix}\\sigma x-\\sigma y\\end{vmatrix}}{2}$

Principaux problèmes de stress importants:

1) Un vecteur de contrainte rectangulaire ayant une contrainte de cisaillement dans la direction XY de 60Mpa et des contraintes de traction normales de 40Mpa Comment trouver les contraintes principales ?

Solution:
Donné: $\\sigma x=\\sigma y=40Mpa, \\tau=60Mpa$
Les contraintes principales sont calculées comme suit:

$\\sigma 1=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}+\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

σ1 = 100 Mpa

$\\sigma 1=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}-\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

σ2 = -20Mpa

2) Quelles sont les coordonnées du centre du cercle de Mohr pour un élément soumis à deux contraintes mutuellement perpendiculaires, une traction de magnitude 80MPa et une autre compression de magnitude 50MPa?

x = 80 MPa,
y = -50 MPa
Coordonnées du centre du cercle de Mohr = [½ (σx + σy), 0]
= [(30/2), 0]
= (15,0)

3) Un corps a été soumis à deux contraintes mutuellement perpendiculaires de -4MPa et 20MPa, respectivement. Calculez la contrainte de cisaillement sur le plan du cisaillement.

σx + σy / 2 = -4 + 20/2 = 8Mpa
Rayon = σ1-σ2 / 2 = 20 - (- 4) / 2 = 12
où σx, σy sont les contraintes principales
à la contrainte de cisaillement pure, σn = 0
contrainte de cisaillement = racine carrée12 ^ 2-8 ^ 2 = 8.94Mpa.

4) Application de la contrainte principale | Trouvez les principales contraintes pour les cas suivants.

je)σx=30 Mpa, σy=0, \\tau=15Mpa.

Solution:

$\\sigma 1=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}+\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

σ1 = 36.21 Mpa

$\\sigma 1=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}-\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

σ2 = -6.21Mpa
ii) σx=0,σy=80MMpa, \\tau=60Mpa.

$\\sigma 1=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}+\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

σ1 = 97 Mpa

$\\sigma 1=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}-\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

σ2 = 12.92 Mpa

iii)\\tau=10Mpa, σx=50Mpa,σy=50Mpa.

$\\sigma 1=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}+\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

σ1 = 60 Mpa

$\\sigma 1=\\frac{\\sigma x+\\sigma y}{2}-\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+ \\tau xy^{2}}$

σ2 = 40 Mpa

5) La contrainte principale maximale est de 100 Mpa et la contrainte principale minimale est de 50 MPa. Calculez la contrainte de cisaillement maximale et l'orientation du plan principal à l'aide du cercle de Mohr.

Donné:
Contrainte principale maximale = 100Mpa (compression)
Contrainte principale minimale = 50 Mpa (compression)
Solution:
La contrainte de cisaillement maximale est le rayon du cercle de Mohr, alors nous pouvons écrire comme suit.

R= $\\sqrt{(\\frac{\\sigma x-\\sigma y}{2})^{2}+\\tau xy^{2}}$

$\\tau max=25Mpa$

2θ = 90, à partir de la direction de la contrainte principale maximale.
Ainsi, l'orientation en ce point est θ = 45 à partir du contrainte principale maximale direction.

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Sulochana Dorvé

Je suis Sulochana. Je suis ingénieur en conception mécanique – M.tech en ingénierie de conception, B.tech en génie mécanique. J'ai travaillé comme stagiaire chez Hindustan Aeronautics Limited dans la conception du département armement. J'ai de l'expérience en R&D et en design. Je suis compétent en CAO/FAO/IAO : CATIA | CRÉO | ANSYS Apdl | Établi ANSYS | HYPER MAILLE | Nastran Patran ainsi que dans les langages de programmation Python, MATLAB et SQL.
J'ai une expertise en analyse par éléments finis, conception pour la fabrication et l'assemblage (DFMEA), optimisation, vibrations avancées, mécanique des matériaux composites, conception assistée par ordinateur.
Je suis passionné par le travail et j'apprends volontiers. Mon but dans la vie est d’avoir un but dans la vie et je crois au travail acharné. Je suis ici pour exceller dans le domaine de l'ingénierie en travaillant dans un environnement stimulant, agréable et professionnel où je peux pleinement utiliser mes compétences techniques et logiques, me perfectionner constamment et me comparer aux meilleurs.
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Définition principale du stress:

Comment calculer la contrainte principale?

Équation de contrainte principale | Formule principale du stress:Equations des contraintes principales maximales et minimales:

Dérivation principale des contraintes | Déterminer les plans principaux et les contraintes principales

Contraintes normales:

Les contraintes normales maximales et minimales sont les principales contraintes:

L'état de stress:

Tenseur de stress:

Contraintes principales du tenseur des contraintes et des invariants des contraintes | Principaux invariants des contraintes

Les principaux vecteurs de contraintes représentés par,

Les contraintes principales sont sous forme de contraintes normales, et le vecteur de contrainte dans le système de coordonnées est représenté sous forme de matrice comme suit:

Principales trajectoires de stress | Principales directions de stress

Von met le stress par rapport au stress principal

Von met l'équation de contrainte principale

Pourquoi la contrainte de von mises est-elle recommandée pour les contraintes ductiles et la contrainte principale pour les matériaux fragiles?

Différents types de stress

Stress principal absolu | Stress principal efficace:

Qu'est-ce que la théorie du stress normal maximal?

Équation de contrainte principale maximale

Théorie des contraintes principales maximales |Définition de la contrainte principale maximale

Principales contraintes du cercle de Mohr

Expliquez les cercles de Mohr pour l'état de stress tridimensionnel:

Troisième principal stress

Exemples de contraintes principales 3D:

Contrainte déviatorique principale:

Contrainte principale intermédiaire:

Angle de contrainte principal | Orientation de la contrainte principale: θP

Questions fréquentes importantes (FAQ):

Pour quel matériau la théorie des contraintes principales maximales est-elle applicable?

Quelles sont les 3 principales contraintes? | Qu'est-ce que la contrainte principale maximale et minimale?

Contrainte principale maximale | Contrainte principale majeure : la plus résistante à la traction (σ1)Contrainte principale minimale | Contrainte principale mineure: la plus compressive (σ3)Contrainte principale intermédiaire (σ2)

Stress principal vs stress normal:

Contrainte principale vs contrainte de flexion:

Contrainte principale vs contrainte axiale:

Quelle est la signification du stress principal?

Quelles sont les principales contraintes dans un arbre avec un couple appliqué?

Pourquoi la contrainte de cisaillement est nulle sur le plan principal?

La contrainte normale est maximale ou minimale et la contrainte de cisaillement est nulle.

Principaux problèmes de stress importants:

1) Un vecteur de contrainte rectangulaire ayant une contrainte de cisaillement dans la direction XY de 60Mpa et des contraintes de traction normales de 40Mpa Comment trouver les contraintes principales ?

2) Quelles sont les coordonnées du centre du cercle de Mohr pour un élément soumis à deux contraintes mutuellement perpendiculaires, une traction de magnitude 80MPa et une autre compression de magnitude 50MPa?

3) Un corps a été soumis à deux contraintes mutuellement perpendiculaires de -4MPa et 20MPa, respectivement. Calculez la contrainte de cisaillement sur le plan du cisaillement.

4) Application de la contrainte principale | Trouvez les principales contraintes pour les cas suivants.

5) La contrainte principale maximale est de 100 Mpa et la contrainte principale minimale est de 50 MPa. Calculez la contrainte de cisaillement maximale et l'orientation du plan principal à l'aide du cercle de Mohr.

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Équation de contrainte principale | Formule principale du stress:
Equations des contraintes principales maximales et minimales:

Contrainte principale maximale | Contrainte principale majeure : la plus résistante à la traction (σ1)
Contrainte principale minimale | Contrainte principale mineure: la plus compressive (σ3)
Contrainte principale intermédiaire (σ2)