Asymétrie : 7 faits importants à connaître

Contenu

Skewness

La courbe qui est les observations tracées représente l'asymétrie si la forme de la courbe n'est pas symétrique, de l'ensemble donné. En d'autres termes, le manque de symétrie dans le graphique des informations données représente l'asymétrie de l'ensemble donné. Selon la queue à droite ou à gauche, l'asymétrie est connue sous le nom d'asymétrie positive ou négative. La distribution en fonction de cette asymétrie est connue sous le nom de distribution positivement asymétrique ou de distribution négativement asymétrique

La moyenne, le mode et la médiane montrent la nature de la distribution, donc si la nature ou la forme de la courbe est symétrique, ces mesures des tendances centrales sont égales et pour les distributions asymétriques, cette mesure des tendances centrales varie en moyenne> médiane> mode ou moyenne

Variance et asymétrie

Variance	Skewness
Le degré de variabilité peut être obtenu en utilisant la variance	La direction de la variabilité peut être obtenue en utilisant l'asymétrie
L'application de la mesure de la variation est dans les affaires et l'économie	L'application de la mesure de l'asymétrie est dans les sciences médicales et de la vie

variance et asymétrie

Mesure de l'asymétrie

Pour trouver le degré et la direction de la distribution de fréquence, qu'elle soit positive ou négative, la mesure de l'asymétrie est très utile même à l'aide du graphique, nous connaissons la nature positive ou négative de l'asymétrie, mais la magnitude ne sera pas exacte dans les graphiques, d'où ces les mesures statistiques donnent l'ampleur du manque de symétrie.

Pour être précis, la mesure de l'asymétrie doit avoir

Unité libre afin que les différentes distributions puissent être comparables si les unités sont identiques ou différentes.
Valeur de mesure pour la distribution symétrique zéro et positive ou négative pour les distributions positives ou négatives en conséquence.
La valeur de la mesure devrait varier si nous passons d'une asymétrie négative à une asymétrie positive.

Il existe deux types de mesure de l'asymétrie

Mesure absolue de l'asymétrie
Mesure relative de l'asymétrie

Tout à faitte Mesure de l'asymétrie

Dans la distribution symétrique, la moyenne, le mode et la médiane sont les mêmes, donc en mesure absolue d'asymétrie, la différence de ces tendances centrales donne l'étendue de la symétrie dans la distribution et la nature en tant que distribution asymétrique positive ou négative, mais la mesure absolue pour différentes unités n'est pas utile lors de la comparaison de deux ensembles d'informations.

L'asymétrie absolue peut être obtenue en utilisant

Asymétrie (S_k)=Moyenne-médiane
Asymétrie (S_k)=Mode Moyenne
Asymétrie (S_k)=(Q₃-Q₂)-(Q₂-Q₁)

Mesure relative de l'asymétrie

La mesure relative de l'asymétrie est utilisée pour comparer l'asymétrie dans deux ou plusieurs distributions en éliminant l'influence de la variation. La mesure relative de l'asymétrie est connue sous le nom de coefficient d'asymétrie. Voici les mesures relatives importantes de l'asymétrie.

Coefficient d'asymétrie de Karl Pearson

Cette méthode est utilisée le plus souvent pour calculer l'asymétrie

$S_k=\\frac{Mode moyen}{\\sigma}$

ce coefficient d'asymétrie est positif pour la distribution positive, négatif pour la distribution négative et nul pour la distribution symétrique. Ce coefficient de Karl Pearson se situe généralement entre +1 et -1. Si le mode n'est pas défini, pour calculer le coefficient de Karl Pearson, nous utilisons la formule suivante :

Voir aussi Acide dithionique : dévoilement de ses propriétés chimiques et de ses utilisations

$S_k=\\frac{3(Mode moyen)}{\\sigma}$

Si nous utilisons cette relation alors le coefficient de Karl Pearson est compris entre +3 et -3.

2. Coefficient d'asymétrie de Bowleys|Mesure d'asymétrie par quartile

Dans le coefficient d'asymétrie de Bowleys, les écarts de quartile ont été utilisés pour trouver l'asymétrie, il est donc également connu sous le nom de mesure d'asymétrie par quartile

$S_k=\\frac{(Q_3-Q_2)-(Q_2-Q_1)}{(Q_3-Q_1)} \\\\=\\frac{(Q_3-2Q_2+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}$

ou nous pouvons l'écrire comme

$S_k=\\frac{(Q_3-M)-(M-Q_1)}{(Q_3-Q_1)} \\\\=\\frac{(Q_3-2M+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}$

cette valeur de coefficient est nulle si la distribution est symétrique et la valeur pour la distribution positive est positive, pour la distribution négative est négative. La valeur de S_k est compris entre -1 et +1.

3. Coefficient d'asymétrie de Kelly

Dans cette mesure de l'asymétrie, les centiles et les déciles sont utilisés pour calculer l'asymétrie, le coefficient est

$S_k=\\frac{(P_{90}-P_{50})-(P_{50}-P_{10})}{(P_{90}-P_{10})} \\\\=\\frac{(P_{90}-2P_{50}+P_{10})}{(P_{90}-P_{10})}$

où cette asymétrie implique les 90, 50 et 10 centiles et en utilisant des déciles, nous pouvons l'écrire comme

$S_k=\\frac{(D_9-D_5)-(D_5-D_1)}{(D_9-D_1)} \\\\=\\frac{(D_9-2D_5+D_1)}{(D_9-D_1)}$

dans lesquels 9,5 et 1 déciles ont été utilisés.

4. Coefficient d'asymétrie β et γ| Mesure de l'asymétrie basée sur les moments.

En utilisant les moments centraux, la mesure de l'asymétrie, le coefficient β d'asymétrie peut être défini comme

$\\beta_1=\\frac{{\\mu_3}^2}{{\\mu_2}^3}$

ce coefficient d'asymétrie donne la valeur zéro pour la distribution symétrique mais ce coefficient n'indique pas spécifiquement la direction positive ou négative, donc cet inconvénient peut être supprimé en prenant la racine carrée de bêta comme

$\\gamma_1=\\pm \\sqrt{\\beta_1}=\\frac{\\mu_3}{{\\mu_2}^{3/2}}=\\frac{\\mu_3}{\\sigma^3}$

cette valeur donne respectivement la valeur positive et négative pour les distributions positive et négative.

Exemples d'asymétrie

En utilisant les informations suivantes, trouvez le coefficient d'asymétrie

Salaires	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
Nombre de personnes	12	18	35	42	50	45	20	8

Solution: Pour trouver le coefficient d'asymétrie, nous utiliserons le coefficient de Karl Pearson

	fréquence	valeur moyenne (x)	fx	fx²
0-10	12	5	60	300
10-20	18	15	270	4050
20-30	35	25	875	21875
30-40	42	35	1470	51450
40-50	50	45	2250	101250
50-60	45	55	2475	136125
60-70	20	65	1300	84500
70-80	8	75	600	45000
	230		9300	444550

le coefficient d'asymétrie de Karl Pearson est

$\\begin{array}{l} \\text { Coefficient d'asymétrie de Karl personne }=J=\\frac{\\text { Moyenne }-\\text { Mode }}{S . D .}\\\\ \\begin{array}{l} \\text { Moyenne, } \\quad \\bar{x}=\\frac{1}{N} \\sum_{i} f_{ je} x_{i}, \\quad \\text { Mode }=l+\\frac{c\\left(f_{1}-f_{0}\\right)}{\\left(f_{1} -f_{0}\\right)+\\left(f_{1}-f_{2}\\right)} \\\\ \\text { Écart type }=\\sqrt{\\frac{1} {N} \\sum_{i} f_{i} x_{i}^{2}-\\bar{x}^{2}} \\end{array} \\end{array}$

$\\begin{array}{c} \\text {Moyenne }=\\frac{9300}{230}=40.43 \\\\ \\text { SD. }=\\sqrt{\\frac{1}{N} \\sum_{i} f_{i} x_{i}^{2}-\\bar{x}^{2}}=\\sqrt{ \\frac{1}{230}(444550)-\\left[\\frac{9300}{230}\\right]^{2}}=17.27 . \\fin{tableau}$

la classe modale est la classe fréquente maximale 40-50 et les fréquences respectives sont

$f_{0}=42, f_{1}=50,f_{2}=45$

ainsi

$\\text { Hence, Mode }=40+\\frac{10(50-42)}{(50-42)+(50-45)}=46.15$

donc le coefficient d'asymétrie sera

$=\\frac{40.43-46.15}{17.27}=-0.3312$

ce qui montre l'asymétrie négative.

2. Trouver le coefficient d'asymétrie des notes distribuées en fréquence de 150 étudiants dans certains examens

marques	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
fréq	10	40	20	0	10	40	16	14

Solution: Pour calculer le coefficient d'asymétrie, nous avons besoin de la moyenne, du mode, de la médiane et de l'écart type pour les informations données. Pour les calculer, nous formons le tableau suivant.

Intervalle de classe	f	valeur moyenne x	cf.	d'=(x-35)/10	f*d'	f*d'²
0-10	10	5	10	-3	- 30	90
10-20	40	15	50	-2	- 80	160
20-30	20	25	70	-1	- 20	20
30-40	0	35	70	0	0	0
40-50	10	45	80	1	10	10
50-60	40	55	120	2	80	160
60-70	16	65	136	3	48	144
70-80	14	75	150	4	56	244
					totale=64	totale=828

maintenant les mesures seront

$\\begin{array}{l} Médiane =\\mathrm{L}+\\frac{\\left(\\frac{\\mathrm{N}}{2}-\\mathrm{C}\\right )}{\\mathrm{f}} \\times \\mathrm{h}=40+\\frac{75-70}{10} \\times 10=45 \\\\Moyenne (\\overline{\ \mathrm{x}})=\\mathrm{A}+\\frac{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{\\mathrm{k}} \\mathrm{fd}^{\ \prime}}{\\mathrm{N}} \\times \\mathrm{h}=35+\\frac{64}{150} \\times 10=39.27 \\end{array}$

ainsi que

$\\begin{aligné} Écart type }(\\sigma) &=\\mathrm{h} \\times \\sqrt{\\frac{\\sum \\mathrm{fd}^{\\prime 2}} {\\mathrm{~N}}-\\left(\\frac{\\sum \\mathrm{fd}}{\\mathrm{N}}\\right)^{2}} \\\\ & =10 \\times \\sqrt{\\frac{828}{150}-\\left(\\frac{64}{150}\\right)^{2}} \\\\&=10 \\ fois \\sqrt{5.33}=23.1 \\end{aligned}$

donc le coefficient d'asymétrie pour la distribution est

Voir aussi Acide citrique : le héros méconnu de votre cuisine et au-delà

$S_k=\\frac{3(Mean-Median)}{\\sigma} \\\\=\\frac{3(39.27-45}{23.1}=-0.744$

3. Trouvez la moyenne, la variance et le coefficient d'asymétrie de la distribution dont les quatre premiers moments vers 5 sont 2,20,40 et 50.

Solution: puisque les quatre premiers moments sont donnés ainsi

$\\begin{array}{c} \\mu_{1}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i} \\left(x_{i}-5\\right)=2 ; \\mu_{2}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i}\\left(x_{i}- 5\\droite)^{2}=20 ; \\\\ \\mu_{3}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i}\\left(x_ {i}-5\\right)^{3}=40 \\quad \\text { et } \\quad \\mu_{4}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{ N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i}\\left(x_{i}-5\\right)^{4}=50 . \\\\ \\mu_{1}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}- 5=2 \\\\ \\Rightarrow \\bar{x}=2+5=7 \\end{array}$

donc on peut l'écrire

$\\begin{array}{l} \\mu_{r}=\\mu_{r}^{\\prime}(A)-{ }^{r} C_{1} \\mu_{r-1} ^{\\prime}(A) \\mu_{1}^{\\prime}(A)+{ }^{r} C_{2} \\mu_{r-2}^{\\prime}( A)\\left[\\dot{\\mu}_{1}^{\\prime}(A)\\right]^{2}-\\ldots .+(-1)^{r}\ \left[\\mu_{1}^{\\prime}(A)\\right]^{r} \\\\ \\text { D'où } \\mu_{2}=\\mu_{2}^ {\\prime}(5)-\\left[\\mu_{1}^{\\prime}(5)\\right]^{2}=20-4=16 \\\\ \\mu_{ 3}=\\mu_{3}^{\\prime}(5)-3 \\mu_{2}^{\\prime}(5) \\mu_{1}^{\\prime}(5) +2\\left[\\mu_{1}^{\\prime}(5)\\right]^{3} \\\\ 40-3 \\times 20 \\times 2+2 \\times 2 ^{3}=-64 \\end{tableau}$

donc le coefficient d'asymétrie est

$\\beta_{1}=\\frac{\\mu_{3}^{2}}{\\mu_{2}^{3}}=\\frac{(-64)^{2}}{(16)^{3}}=-1$

PDéfinition ositively skewed définition |

Toute distribution dans laquelle la mesure des tendances centrales, c'est-à-dire la moyenne, le mode et la médiane ayant des valeurs positives et l'information dans la distribution, manque de symétrie.

En d'autres termes, la distribution positivement asymétrique est la distribution dans laquelle la mesure des tendances centrales suit comme moyenne>médiane>mode dans la partie droite de la courbe de distribution.

Si nous esquissons les informations de la distribution, la courbe sera à queue droite en raison de laquelle la distribution positivement asymétrique est également connue sous le nom de distribution asymétrique à droite.

distribution asymétrique positive ou distribution asymétrique à droite — distribution asymétrique positive/à droite

à partir de la courbe ci-dessus, il est clair que le mode est la plus petite mesure dans une distribution asymétrique positive ou à droite et la moyenne est la plus grande mesure des tendances centrales.

exemple de distribution positivement asymétrique|exemple de distribution asymétrique à droite

Pour une distribution positivement asymétrique ou asymétrique à droite si le coefficient d'asymétrie est de 0.64, trouvez le mode et la médiane de la distribution si la moyenne et les écarts types sont respectivement de 59.2 et 13.

Solution: Les valeurs données sont moyenne=59.2, s_k= 0.64 et σ=13 donc en utilisant la relation

$S_k=\\frac{mode moyen}{\\sigma} \\\\0.64=\\frac{59.2-\\text { Mode }}{13} \\\\Mode =59.20-8.32=50.88 \\ \\Mode =3 Médiane -2 Moyenne \\\\50.88=3 Médiane -2(59.2) \\\\Médiane =\\frac{50.88+118.4}{3}=\\frac{169.28}{3}= 56.42$

2. Trouvez l'écart type de la distribution positivement asymétrique dont le coefficient d'asymétrie est de 1.28 avec une moyenne de 164 et un mode 100 ?

Solution: De la même manière en utilisant les informations données et la formule du coefficient de distribution positivement asymétrique

$S_k=\\frac{mean-mode}{\\sigma} \\\\1.28=\\frac{164-100}{\\sigma} \\\\\\sigma=\\frac{64}{1.28}=50$

l'écart type sera donc de 50.

3. Dans les écarts trimestriels, si l'addition des premier et troisième trimestres est de 200 avec une médiane de 76, trouvez la valeur du troisième quartile de la distribution de fréquence qui est positivement asymétrique avec un coefficient d'asymétrie de 1.2 ?

Ssolution : Pour trouver le troisième quartile, nous devons utiliser la relation entre le coefficient d'asymétrie et les trimestres, puisque l'information donnée est

$S_k=1.2 \\\\Q_1+Q_3=200 \\\\Q_2=76[ \\\\S_{k}=\\frac{\\left(Q_{3}+Q_{1}-2 Q_{2}\\right)}{\\left(Q_{3}-Q_{1}\\right)} \\\\1.2=\\frac{(200-2 \\times 76)}{\\left(Q_{3}-Q_{1}\\right)} \\\\Q_{3}-Q_{1}=\\frac{48}{1.2}=40 \\\\Q_{3}-Q_{1}=40$

à partir de la relation donnée on a

$Q_1+Q_3=200 \\\\Q_1=200-Q_3$

à partir de ces deux équations on peut écrire

$Q_{3}-Q_{1}=40 \\\\ Q_{3}-(200-Q_3)=40 \\\\2Q_3=240 \\\\Q_3=120$

la valeur du troisième quartile est donc 120.

4. Trouvez le coefficient d'asymétrie pour les informations suivantes

x	93-97	98-102	103-107	108-112	113-117	118-122	123-127	128-132
f	2	5	12	17	14	6	3	1

Solution: ici, nous utiliserons la mesure d'asymétrie de Bowley en utilisant des quartiles

classe	fréquence	fréquence cumulative
92.5-97.5	2	2
97.5-102.5	5	7
102.5-107.5	12	19
107.5-112.5	17	36
112.5-117.5	14	50
117.5-122.5	6	56
122.5-127.5	3	59
127.5-132.5	1	60
	N = 60

Comme N^th/ 4 = 15^th l'observation de la classe est 102.5-107.5 , N^th/ 2 = 30^th l'observation de la classe est 107.5-112.5 et 3N^th/ 4 = 45^th l'observation de la classe est 112.5-117.5 so

$Q_{1}=l_{1}+\\frac{\\left(\\frac{N}{4}-m_{1}\\right) c_{1}}{f_{1}}=102.5+\\frac{\\left(\\frac{60}{4}-7\\right) 5}{12}=105.83$

ainsi que

$Q_{3}=l_{3}+\\frac{\\left(\\frac{3 N}{4}-m_{3}\\right) c_{3}}{f_{3}}=112.5+\\frac{\\left(\\frac{3 \\times 60}{4}-36\\right) 5}{14}=115.714$

et la médiane est

$Q_{2}=l_{2}+\\frac{\\left(\\frac{N}{2}-m_{2}\\right) c_{2}}{f_{2}}=107.5+\\frac{\\left(\\frac{60}{2}-19\\right) 5}{17}=110.735$

ainsi

$Q=\\frac{Q_{3}+Q_{1}-2 M}{Q_{3}-Q_{1}}=\\frac{115.714+105.83-2 \\times 110.735}{115.714-105.83}=0.0075$

qui est une distribution positivement asymétrique.

où est la moyenne dans une distribution positivement asymétrique

Nous savons que la distribution positivement asymétrique est une distribution asymétrique à droite, donc la courbe est à queue droite. distribution asymétrique moyenne>médiane>mode donc la moyenne sera après la médiane.

Voir aussi Acide dithiineux : dévoilement de ses propriétés chimiques et de ses utilisations

Distribution asymétrique à droite mode médian moyen|relation entre la médiane moyenne et le mode dans une distribution positivement asymétrique

Dans la distribution positivement asymétrique ou asymétrique à droite, la mesure des tendances centrales moyenne, médiane et mode est dans l'ordre moyenne>médiane>mode, car le mode est le plus petit puis la médiane et la plus grande tendance centrale est la moyenne qui pour la courbe à queue droite est plus proche de la queue de la courbe pour information.

ainsi, la relation entre la médiane moyenne et le mode dans une distribution positivement asymétrique est dans l'ordre croissant et à l'aide de la différence de ces deux tendances centrales, le coefficient d'asymétrie peut être calculé, de sorte que la moyenne, la médiane et le mode donnent également la nature de l'asymétrie.

graphique de distribution positivement asymétrique|courbe de distribution positivement asymétrique

Le graphique soit sous forme de courbe lisse ou sous forme d'histogramme pour les informations discrètes, la nature est à queue droite car la moyenne des informations se rassemble autour de la queue de la courbe car l'asymétrie de la distribution discute de la forme de la distribution. Étant donné que la grande quantité de données se trouve à gauche de la courbe et que la queue de la courbe à droite est plus longue.

certains des graphiques d'informations distribuées positivement sont les suivants

d'après les graphiques ci-dessus, il est clair que la courbe manque de symétrie dans tous les aspects.

distribution des scores positivement asymétrique

Dans n'importe quelle distribution, si les scores sont positivement asymétriques, c'est le score suivant la distribution positivement asymétrique en tant que mode moyen>médian> et la courbe du score de distribution ayant une courbe à droite dans laquelle le score est affecté par la grande valeur.

Ce type de distribution est connu sous le nom de distribution de scores positivement asymétrique. Toutes les propriétés et règles de cette distribution sont les mêmes que celles d'une distribution positivement asymétrique ou asymétrique à droite.

distribution de fréquence asymétrique positive

Dans une distribution de fréquence positivement asymétrique, en moyenne, la fréquence des informations est plus petite par rapport à la distribution, de sorte que la distribution de fréquence asymétrique positive n'est rien d'autre que la distribution positivement asymétrique ou asymétrique à droite où la courbe est une courbe à queue droite.

distribution asymétrique positive vs négative | distribution asymétrique positive vs asymétrique négative

distribution asymétrique positive	distribution asymétrique négative
Dans la distribution positivement asymétrique, l'information est distribuée comme la moyenne est la plus grande et le mode est le plus petit	Dans la distribution asymétrique négative, l'information est distribuée comme la moyenne est la plus petite et le mode est le plus grand
la courbe est à queue droite	la courbe est à queue gauche
moyenne>médiane>mode	moyenne

FAQ

Comment savoir si une distribution est positivement ou négativement asymétrique

L'asymétrie est positive si moyenne>médiane>mode et négative si moyenne

À partir de la courbe de distribution, nous pouvons également juger si la courbe est à queue droite, elle est positive et si la courbe est à queue gauche, elle est négative

Comment déterminez-vous l'asymétrie positive

En calculant la mesure du coefficient d'asymétrie si positif alors l'asymétrie est positive ou en traçant la courbe de distribution si queue droite puis positive ou en vérifiant moyenne>médiane>mode

Que représente un biais positif

L'asymétrie positive représente que le score de la distribution est plus proche des grandes valeurs et la courbe est à queue droite et la moyenne est la plus grande mesure

Comment interpréter un histogramme asymétrique à droite

si l'histogramme est asymétrique à droite alors la distribution est une distribution positivement asymétrique où moyenne>médiane>mode

Dans les distributions asymétriques vers la droite, quelle est la relation entre la médiane moyenne et le mode

La relation est moyenne>médiane>mode

Conclusion:

L'asymétrie est un concept important des statistiques qui donne l'asymétrie ou l'absence de symétrie présente dans la distribution de probabilité en fonction de la valeur positive ou négative, elle est classée comme distribution positivement asymétrique ou négativement asymétrique, dans l'article ci-dessus le bref concept avec des exemples discutés , si vous avez besoin d'autres lectures, passez par

https://en.wikipedia.org/wiki/skewness

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DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
J'aime contribuer à Lambdageeks pour rendre les mathématiques simples, intéressantes et explicites pour les débutants comme pour les experts.