Guide complet des points en géométrie de coordonnées en 2D | Sa formule importante avec plus de 10 exemples

Il s'agit d'un poste séquentiel lié à Géométrie coordonnée, spécialement sur Points. Nous avons déjà discuté de quelques sujets plus tôt dans le post « Un guide complet de la géométrie des coordonnées ». Dans cet article, nous discuterons des sujets restants.

Formules de base sur les points dans la géométrie de coordonnées en 2D:

Toutes les formules de base sur les points en géométrie analytique sont décrites ici et pour un apprentissage facile et rapide en un coup d'œil sur les formules a 'Tableau des formules sur les points' avec une explication graphique est présentée ci-dessous.

Formules de distance à deux points | Géométrie analytique :

La distance est une mesure permettant de déterminer à quelle distance des objets, des lieux, etc. se trouvent les uns des autres. Il a une valeur numérique avec des unités. Dans la géométrie de coordonnées ou la géométrie analytique en 2D, il existe une formule dérivée du théorème de Pythagore pour calculer la distance entre deux points. nous pouvons l'écrire comme 'Distance' d =√ [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ] , Où  (x1,y1) ET (x2,y2) sont deux points sur le plan xy. Une brève explication graphique est suivie de 'Tableau des formules sur les points sujet n° 1' ci-dessous.

Une distance d'un point à partir de l'origine | Géométrie coordonnée:

Si nous commençons notre voyage avec Origine dans le plan xy et finissons avec n'importe quel point de ce plan, la distance entre l'origine et le point peut également être trouvée par une formule, 'Distance' OP=√ (x2 + y2), qui est également une forme réduite de « formule de distance à deux points » avec un point à (0,0). Une brève explication graphique est suivie de 'Tableau des formules sur les points sujet n° 2' ci-dessous.

Formules de section de points |Géométrie de coordonnées :

Si un point divise un segment de ligne joignant deux points donnés à un certain rapport, nous pouvons utiliser des formules de section pour trouver les coordonnées de ce point tandis que le rapport auquel le segment de ligne est divisé est donné et vice versa. Il est possible que le segment de ligne soit divisé en interne ou en externe par le point. Lorsque le point se trouve sur le segment de ligne entre les deux points donnés, les formules de section interne sont utilisées, c'est-à-dire

\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{x}_{1} }{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}

ET

\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{y}_{1} }{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}

Et lorsque le point se trouve sur la partie externe du segment de ligne joignant les deux points donnés, des formules de section externe sont utilisées, c'est-à-dire

\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{y}_{1} }{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}

Où (x , y) est censé être les coordonnées requises du point. Ce sont des formules très nécessaires pour trouver le centre de gravité, les centres, le centre circonscrit d'un triangle ainsi que le centre de masse des systèmes, les points d'équilibre, etc. en physique. Doit regarder la courte vue des différents types de formules de section avec des graphiques donnés ci-dessous dans le 'Tableau des formules sur les points sujet n° 3 ; cas-I et cas-II'.

Formule Milieu| géométrie coordonnée:

Il s'agit de formules simples dérivées des formules de la section des points internes décrites ci-dessus. Bien que nous ayons besoin de trouver le milieu d'un segment de ligne, c'est-à-dire les coordonnées du point équidistant des deux points donnés sur le segment de ligne, c'est-à-dire que le rapport prend la forme 1: 1, cette formule est requise. La formule est sous la forme

Si un point divise un segment de ligne joignant deux points donnés à un certain rapport, nous pouvons utiliser des formules de section pour trouver les coordonnées de ce point tandis que le rapport auquel le segment de ligne est divisé est donné et vice versa. Il est possible que le segment de ligne soit divisé en interne ou en externe par le point. Lorsque le point se trouve sur le segment de ligne entre les deux points donnés, les formules de section interne sont utilisées, c'est-à-dire

\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{x}_{1} }{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}

ET

\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{y}_{1} }{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}

Et lorsque le point se trouve sur la partie externe du segment de ligne joignant les deux points donnés, des formules de section externe sont utilisées, c'est-à-dire

\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{x}_{1} }{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}

        ET

\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{y}_{1} }{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}

Où (x , y) est censé être les coordonnées requises du point. Ce sont des formules très nécessaires pour trouver le centre de gravité, les centres, le centre circonscrit d'un triangle ainsi que le centre de masse des systèmes, les points d'équilibre, etc. en physique. Doit regarder la courte vue des différents types de formules de section avec des graphiques donnés ci-dessous dans le 'Tableau des formules sur les points sujet n° 3 ; cas-I et cas-II'.

Formule Milieu| géométrie coordonnée:

Il s'agit de formules simples dérivées des formules de la section des points internes décrites ci-dessus. Bien que nous ayons besoin de trouver le milieu d'un segment de ligne, c'est-à-dire les coordonnées du point équidistant des deux points donnés sur le segment de ligne, c'est-à-dire que le rapport prend la forme 1: 1, cette formule est requise. La formule est sous la forme

x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}

ET

x=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}

Passer à travers « Tableau des formules sur les points sujet n° 3-cas-III » ci-dessous pour avoir une idée graphique à ce sujet.

Aire d'un triangle en géométrie de coordonnées :

Un triangle a trois côtés et trois sommets sur le plan ou dans un champ à 2 dimensions. L'aire du triangle est l'espace interne entouré par ces trois côtés. La formule de base du calcul de l'aire d'un triangle est (1/2 X Base X Hauteur). En géométrie analytique, si les coordonnées des trois sommets sont données, l'aire du triangle peut facilement être calculée par la formule, Aire du Triangle   =|½[x1 (y2-  y3 )+x2 (y3-  y2)+x3 (y2-y  1)]| , en fait, cela peut être dérivé de la formule de base de l'aire d'un triangle en utilisant la formule de distance à deux points en géométrie de coordonnées. Les deux cas sont décrits graphiquement dans le 'Tableau des formules sur les points sujet 4' ci-dessous.

Colinéarité des points (trois points) |Géométrie de coordonnées :

Colinéaire signifie « être sur la même ligne ». En géométrie, si trois points se trouvent sur une seule ligne dans le plan, ils ne peuvent jamais former un triangle d'aire autre que zéro, c'est-à-dire si la formule de l'aire du triangle est remplacée par les coordonnées des trois points colinéaires, le résultat pour l'aire de le triangle imaginaire formé par ces points finira par zéro seulement. Donc la formule devient comme ½[x1 (y2-  y3 )+x2 (y3-  y2)+x3 (y2-y  1)] =0 Pour une idée plus claire avec une représentation graphique, passez par le « Tableau des formules sur les points sujet n° 5 » ci-dessous.

Centre de gravité d'un triangle| Formule :

Les trois médianes* d'un triangle se coupent toujours en un point, situé à l'intérieur du triangle et divise la médiane dans le rapport 2:1 de n'importe quel sommet au milieu du côté opposé. Ce point est appelé le centre de gravité du triangle. La formule pour trouver les coordonnées du centre de gravité est

x=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}

ET

x=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}

Dans le « Tableau des formules sur les points sujet n° 6 » ci-dessous, le sujet ci-dessus est décrit graphiquement pour une meilleure compréhension et pour une vue rapide.

Centre d'un triangle|Formule :

C'est le centre du plus grand cercle inscrit du triangle qui s'inscrit à l'intérieur du triangle. C'est aussi le point d'intersection des trois bissectrices des angles intérieurs du triangle. La formule, utilisée pour trouver le centre d'un triangle est     

x=\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}

ET

x=\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}

Dans le « Tableau des formules sur les points sujet n° 6 » ci-dessous, le sujet ci-dessus est décrit graphiquement pour une meilleure compréhension et pour une vue rapide.

Pour une explication graphique facile ci-dessous « Tableau des formules sur les points sujet n° 7 » faut voir.

Formule de changement d'origine| Géométrie coordonnée:

Nous avons déjà appris dans le post précédent « Un guide complet de la géométrie des coordonnées » que l'origine se trouve sur le point (0,0) qui est le point d'intersection des axes dans le plan. nous pouvons déplacer l'origine dans tous les quadrants du plan par rapport à l'origine , ce qui donnera un nouvel ensemble d'axes à travers elle.

Pour un point dans ledit plan ci-dessus, ses coordonnées changeront avec la nouvelle origine et les nouveaux axes et cela peut être calculé par la formule, les nouvelles coordonnées d'un point P (x1,y1) est x1 = x-a ; oui1 = y-  b où les coordonnées de la nouvelle origine sont (a,b). Pour avoir une compréhension claire de ce sujet, il est préférable de voir la représentation graphique ci-dessous dans le « Tableau des formules sur les points sujet n° 8 » .

Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D:

des notes bonus

﹡Circonférence d'un triangle :

C'est le point d'intersection de trois bissectrices perpendiculaires au côté d'un triangle. C'est aussi le centre du cercle circonscrit d'un triangle qui ne touche que les sommets du triangle.

﹡Médias :

La médiane est le segment de ligne joignant le sommet du triangle au milieu ou au point, coupant le côté opposé du sommet. Chaque triangle a trois médianes qui se coupent toujours au centroïde du même triangle.                                                         

Problèmes résolus sur les points de la géométrie de coordonnées en 2D.

Pour un meilleur apprentissage des points en 2D, un exemple de base est résolu ici étape par étape et pour la pratique par vous-même, il y a plus de problèmes avec les réponses sur chaque formule. Il doit y avoir des problèmes difficiles avec une solution dans les prochains articles juste après avoir obtenu une idée de base et claire sur le sujet des points dans la géométrie de coordonnées 2D.

Exemples de base sur les formules « La distance entre deux points »

Problèmes 1 :  Calculez la distance entre les deux points donnés (1,2) et (6,-3).

Solution: On sait déjà, la formule de la distance entre deux points  (x1,y1) ET (x2,y2)  is d =√ [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ] …(1)                                                                                                                    

(Voir le tableau des formules ci-dessus)   Ici, on peut supposer que (x1,y1) (1,2) et (x2,y2) ≌ (6,-3) soit x1=1, oui1=2 et x2=6, oui2 =-3 , Si nous mettons toutes ces valeurs dans l'équation (1), nous obtenons la distance requise.

Par conséquent, la distance entre les deux points (1,2) et (6,-3) est

=√ [(6-1)2+(-3-2)2 ] unités

= [(5)2+(-5)2 ] unités

=√ [25+25 ] unités

=√ [50 ] unités

=√ [2×52 ] unités

= 5√2 unités (Réponse)

A Noter: La distance est toujours suivie de quelques unités.

D'autres problèmes résolus (de base) sont donnés ci-dessous pour une pratique ultérieure en utilisant la procédure décrite ci-dessus problème 1:-

Problème 2 : Trouver la distance entre les deux points (2,8) et (5,10).               

Rép. √unités 13

Problème 3 : Trouver la distance entre les deux points (-3,-7) et (1,-10).           

Ans. unités 5

Problème 4 : Trouver la distance entre les deux points (2,0) et (-3,4).               

 Rép. √unités 41

Problème 5 : Trouver la distance entre les deux points (2,-4) et (0,0).                

Ans. 2unités 5

Problème 6 : Trouvez la distance entre les deux points (10,100 10,100) et (-XNUMX XNUMX). 

                                                                                                                               Ans. unités 20

Problème 7 : Trouver la distance entre les deux points (√5,1) et (2√5,1).          

Rép. 5 unités

Problème 8 : Trouver la distance entre les deux points (2√7,2) et (3√7,-1).       

Rép. 4 unités

Problème 9 : Trouver la distance entre les deux points (2+√10, 0) et (2-√10, 0).   

                                                                                                                              Rép. 2√10 unités

Problème 10 : Trouver la distance entre les deux points (2+3i, 0) et (2-3i, 10). { i=√-1 }

                                                                                                                                 Ans. unités 8

Problème 11 : Trouver la distance entre les deux points (2+i, -5) et (2-i, -7). { i=√-1 }

                                                                                                                                  Rép. 0 unités

Problème 12 : Trouver la distance entre les deux points (7+4i,2i) et (7-4i,2i). { i=√-1 }

                                                                                                                                   Rép. 8i unités

Problème 13 : Trouver la distance entre les deux points (√3+i, 3) et (2√3+i, 5). { i=√-1 }  

                                                                                                                                Rép. 7 unités

Problème 14 : Trouver la distance entre les deux points (5+√2, 3+i) et (2+√2, 7+2i). { i=√-1 } 

                                                                                                                           Rép. 2√(6+2i) unités 

Exemples de base sur les formules « La distance d'un point à l'origine »

Problèmes 15 : Trouver la distance d'un point (3,4) à partir de l'origine.

Solution:                                                                                                

 On a la formule de la distance d'un point à l'origine,  OP=√ (x2 + y2) (Voir le tableau des formules ci-dessus) Donc ici on peut supposer (x,y) ≌ (3,4) soit x=3 et y=4                                                                                            

Par conséquent, en mettant ces valeurs de x et y dans l'équation ci-dessus, nous obtenons la distance requise 

=(32 + 42) unités

=√ (9 + 16) unités

=√ (25) unités

= 5 unités

Remarque : La distance est toujours suivie de certaines unités.

Remarque : La distance d'un point à l'origine est en fait la distance entre le point et le point d'origine, c'est-à-dire (0,0)

Plus de problèmes résolus sont donnés ci-dessous pour une pratique ultérieure en utilisant la procédure décrite ci-dessus

Problème 15:-

Problème 16 : Trouver la distance d'un point (1,8) à l'origine.                              

Rép. √unités 65

Problème 17 : Trouver la distance d'un point (0,7) à l'origine.                              

Rép. 7 unités

Problème 18 : Trouver la distance d'un point (-3,-4) à l'origine.                            

Rép. 5 unités

Problème 19 : Trouver la distance d'un point (10,0) à l'origine.                             

Rép. 10 unités

Problème 20 : Trouver la distance d'un point (0,0) à l'origine.                               

Rép. 0 unités

                 ___________________________________________________________

Exemples de base sur d'autres formules de points décrit ci-dessus et quelques questions difficiles sur ce sujet en coordonnées géométriques, sont suivis des prochains articles.

À propos de NASRINA PARVIN

Je suis Nasrina Parvin, ayant 10 ans d'expérience au ministère de la communication et des technologies de l'information de l'Inde. J'ai fait l'obtention du diplôme en mathématiques. Dans mon temps libre, j'aime enseigner, résoudre des problèmes de mathématiques. Depuis mon enfance, les mathématiques sont la seule matière qui me passionne le plus.

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