Un guide complet des permutations et des combinaisons

Permutations et Combinaisons

 Permutations et Combinaisons, cet article abordera le concept de détermination, en plus du calcul direct, du nombre de résultats possibles d'un événement particulier ou du nombre d'éléments d'ensemble, de permutations et de combinaisons qui sont la principale méthode de calcul en analyse combinatoire.

Erreurs courantes lors de l'apprentissage des permutations et des combinaisons

Il y a toujours confusion parmi l'élève entre les permutations et les combinaisons parce que les deux sont liés au nombre de disposition des différents objets et au nombre du résultat possible d'un événement particulier ou au nombre de façons d'obtenir un élément d'un ensemble. Le sujet de la permutation et de la combinaison avec des exemples et la différence entre eux avec justification seront discutés ici.

Une technique simple et pratique pour se souvenir de la différence entre les permutations et les combinaisons est: une permutation est liée à l'ordre signifie que la position est importante dans la permutation tandis que la combinaison n'est pas liée à l'ordre signifie que la position n'est pas importante dans la combinaison.

Avant de discuter des permutations et des combinaisons, nous avons besoin de quelques prérequis, qui sont fréquemment utilisés.

 Qu'est-ce que factoriel

          Factorielle est le produit des entiers positifs de 1 à n (en comptant 1 et n) notés n! et lu comme n factoriel est décrit comme ci-dessous

n!=1.2.3.4……(n-2).(n-1).n=n.(n-1).(n-2)…..3.2.1

^ {n} P_ {r} = n. (n-1). (n-2) ... (n-r + 1) = \ frac {n!} {(nr)!}

Attention 0! = 1 

0! = 1

1! = 1

n! = n (nl)!

par exemple \ \ 3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4! = 5.24 = 120

Méthodes de comptage (principe de multiplication et d'addition)

      Principe d'addition: Si deux événements ne peuvent pas se produire en même temps, l'un des événements peut se produire

n1 + n2 + n3 + ・ ・ ・. voies

      Principe de multiplication: Considérant que si les événements se sont produits les uns après les autres, alors tous les événements peuvent se produire dans l'ordre indiqué dans:

n_ {1} .n_ {2} .n_ {3} …… façons

Mise en situation : Si un institut propose 7 cours d'art différents,  3 cours techniques différents, et 4 parcours physiques différents.

Si un étudiant souhaite s'inscrire à un de chaque type de cours, le nombre de façons serait

m = 7.3.4 = 84

Si un étudiant souhaite s'inscrire à un seul des cours, le nombre de façons serait

n = 7 + 3 + 4 = 14

Qu'est-ce que la permutation

Les différents positionnements des objets sont appelés Permutation, où l'ordre de l'arrangement compte. Tout positionnement d'un ensemble de n différents objets dans un ordre donné est appelé un permutation de l'objet.

        Prenons un exemple de l'ensemble des lettres {P, Q, R, S}, alors

  Certaines des permutations des quatre alphabets prises 4 en un coup d'œil sont QSRP, SRQP et PRSQ

Tout ordre de tout r <= n de ces objets particuliers dans un ordre spécifique est appelé un «r-permutation» ou «une permutation du aucunbjets pris r à la fois.

Fondamentalement, nous aimons ce nombre de ces permutations sans les définir.

Exemple de formule de permutation

Le nombre de permutations de n objets différents pris r à la fois sera indiqué par

^ {n} P_ {r} = n. (n-1). (n-2) ... (n-r + 1) = \ frac {n!} {(nr)!}

En mathématiques, cela est dénoté de différentes manières, certaines d'entre elles sont mentionnées ci-dessous:

P (n, r), nPr, Pn, r ou (n) r

Exemple: Calculer le nombre m de permutations de six objets, disons A, B, C, D, E, F pris trois en un coup d'œil.

Solution: ici n = 6, r = 3, m =?

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

m=^{6}P_{3}=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!}=\frac{3!.4.5.6}{3!}=4.5.6=120

Donc m = 120

EXEMPLE: Combien de mots peuvent être générés en utilisant 2 lettres du mot «MATHS»?

Solution: ici n = 5, r = 2, m =?

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

m=^{5}P_{2}=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{3!.4.5}{3!}=4.5=20

le nombre de mots requis est donc de 20.

Qu'entendez-vous par une combinaison?

A combinaison pour n éléments différents pris r à la fois correspond à toute sélection de r-ièmes éléments où les ordres ne sont pas pris en compte. Une telle sélection s'appelle un combinaison r. En bref, un Combinaison est une sélection dans laquelle l'ordre des objets sélectionnés n'est pas important.

      Le produit Combinaison donne le nombre de façons dont un ensemble particulier peut être organisé, où l'ordre de l'arrangement n'a pas d'importance.

 Pour comprendre la situation de combinaison, considérons l'exemple

Vingt personnes arrivent dans une salle et tout le monde serre la main de tous les autres. Comment pouvons-nous obtenir le nombre de poignées de main? «A» serrant la main de B et B avec A ne sera pas deux poignées de main différentes. Ici, l'ordre de la poignée de main n'est pas important. Le nombre de poignées de main sera la combinaison de 20 choses différentes prises 2 à la fois.

Formule de combinaison avec un exemple simple

       Le nombre de ces combinaisons sera indiqué par

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!} = \ frac {^ {n} P_ {r}} {r!} = \ binom {n} {r}

Parfois, il est également noté C (n, r), nCr , Cn, r ou Crn

Mise en situation : Une classe comprend 10 élèves avec 6 hommes et 4 femmes. Trouvez le numéro n des moyens de choisir un comité de 4 membres parmi ces étudiants.

Ceci est lié aux combinaisons et non aux permutations, puisque l'ordre n'est pas un facteur important dans un comité. Il existe «10 comités choisis 4» de ce type. C'est-à-dire:

^ {n} C_ {r} = \ binom {n} {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

ici n = 10, r = 4

^{10}C_{4}=\binom{10}{4}=\frac{10!}{4!(10-4)!}=\frac{10.9.8.7.6!}{4.3.2.1.6!}=210

donc de 210 façons, nous pouvons choisir un tel comité de 4 membres.

Mise en situation : Un conteneur contient 6 boules bleues et 8 boules rouges. Identifiez le nombre de façons dont deux boules de l'une des couleurs peuvent être tirées du conteneur.

Ici peut-être «14 choisir 2» façons de sélectionner 2 des 14 balles. Ainsi:

^ {n} C_ {r} = \ binom {n} {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

Ici n = 14, r = 2

^{14}C_{2}=\binom{14}{2}=\frac{14!}{2!(14-2)!} =\frac{14.13.12!}{2.1.12!}=91

Ainsi, de 91 façons, deux balles peuvent être tirées de n'importe quelle couleur.

Différence entre permutation et combinaison

La différence entre permutation et combinaison est brièvement donnée ici

PermutationCombinaison
L'ordre est importantL'ordre n'est pas important
La commande compteLa commande ne compte pas
Utilisé pour des arrangements tels que l'élection du président, du vice-président et du trésorierUtilisé pour la sélection comme la sélection d'équipes et de comités sans positions
Pour élire des premier, deuxième et troisième postes spécifiquesPour sélectionner trois au hasard
Pour organiser les cartes ou les balles avec position et couleurPour sélectionner n'importe quelle couleur et position
Différence entre les permutations et les combinaisons

Où appliquer les permutations et les combinaisons

  C'est l'étape importante qu'il faut garder à l'esprit que chaque fois que la situation est pour l'arrangement, l'ordre et l'unicité, nous devons utiliser Permutation et chaque fois que la situation est pour la sélection, le choix, le prélèvement et la combinaison sans le souci de la commande, nous devons utiliser Combinaison. Si vous gardez ces bases à l'esprit, il n'y aura pas de confusion entre «quoi utiliser et quoi non» chaque fois qu'une question se pose.

Utilisation des permutations et des combinaisons dans la vie réelle avec des exemples

Dans la vraie vie, la permutation et la combinaison sont utilisées presque partout parce que nous savons que dans la vie réelle, il y aurait une situation où l'ordre est important et quelque part l'ordre n'est pas important, dans ces situations, nous devons utiliser la méthode correspondante.

Par exemple

Trouvez le numéro N d'équipes de 11 avec un capitaine donné pouvant être sélectionné parmi 26 joueurs.

Foire Aux Questions - FAQ

Qu'est-ce que factoriel?

Le produit des nombres entiers positifs de 1 à n (y compris 1 & n)

n! = 1.2.3 …… .. \ gauche (n-2 \ droite). \ gauche (n-1 \ droite) .n

Qu'est-ce qu'une permutation?

L'ordre différent des objets est appelé Permutation

Qu'est-ce qu'une combinaison?

     Le produit Combinaison fournit le nombre de façons dont un ensemble spécifique peut être présenté, là où l'ordre de l'arrangement n'a pas d'importance.

Application de permutations et de combinaisons dans la vie pratique

Une permutation est utilisée pour l'agencement ou la sélection de listes où l'ordre est important, et la combinaison est utilisée pour la sélection ou le choix lorsque l'ordre n'est pas important.

Formule de permutation

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

Formule combinée

^ {n} C_ {r} = \ binom {n} {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

Y a-t-il une relation entre les permutations et les combinaisons?

Oui,

^ {n} C_ {r} = \ frac {^ {n} P_ {r}} {r!}

Pouvons-nous utiliser des permutations et des combinaisons dans la vraie vie?

Oui,

Dans la disposition des mots, des alphabets, des nombres, des positions et des couleurs, etc. où l'ordre est important, la permutation sera utilisée

Dans la sélection du comité, des équipes, du menu et des sujets, etc. où l'ordre n'est pas important, une combinaison sera utilisée.

Conclusion

   Les brèves informations sur permutations et combinaisons avec la formule de base est donnée lue deux ou trois fois jusqu'à ce que vous ayez une idée du concept, dans des articles consécutifs, nous discuterons en détail des différents résultats et formules avec des exemples appropriés de permutations et combinaisons. Si vous souhaitez approfondir vos études, passez par:

Pour plus de sujets sur les mathématiques, veuillez suivre ceci lien.

1. LES GRANDES LIGNES DE SCHAUM DE LA THÉORIE ET ​​DES PROBLÈMES DES MATHÉMATIQUES DISCRÈTES

2.   https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

3.   https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

4.   https://in.bgu.ac.il/

5. https://www.cs.bgu.ac.il/

À propos de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque , Maître de Conférences en Mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l'immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
J'aime contribuer à Lambdageeks pour rendre les mathématiques simples, intéressantes et explicites pour les débutants comme pour les experts.
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