Après avoir discuté des définitions et des concepts de base, nous rassemblerons tous les résultats et relations de permutation et combinaison, en fonction de tous ceux-ci, nous nous familiariserons davantage avec le concept de permutation et de combinaison en résolvant divers exemples.

Points à retenir (permutation)

1. Le nombre de façons de commander = ⁿP_r= {n (n-1) (n-2)… .. (n-r + 1) ((nr)!)} / (nr)! = n! / {(nr)!}
2. Le nombre d'arrangements de n objets différents pris tous ensemble à la fois est = ⁿP_n = n!
3. ⁿP₀ = n! / n! = 1
4. P = n. ^n-1P_r-1
5. 0! = 1
6. 1 / (- r)! = 0, (-r)! = ∞ (r∈ N)
7. Le nombre de façons de remplir r endroits où chaque endroit peut être rempli par l'un des n objets, Le nombre de permutations = Le nombre de façons de bourrer r endroits = (n)^r   

Mise en situation : Combien de nombres entre 999 et 10000 peuvent être générés à l'aide des nombres 0, 2, 3,6,7,8 où les chiffres ne doivent pas être dupliqués?

Solution: Les nombres compris entre 999 et 10000 XNUMX sont tous composés de quatre chiffres.

                   Les nombres à quatre chiffres constitués des chiffres 0, 2, 3,6,7,8 sont

  Mais ici, il s’agit également des nombres qui commencent à 0. Nous pouvons donc prendre les nombres formés de trois chiffres.

En prenant le chiffre initial 0, le nombre de façons d'organiser 3 places en attente à partir de cinq chiffres 2, 3,6,7,8 sont ⁵P₃ =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60

Donc, les nombres requis = 360-60 = 300.

Exemple: Combien de livres peuvent être disposés à la suite pour que les deux livres mentionnés ne soient pas ensemble?

Solution: Nombre total de commandes de n livres différents = n !.                                                                                                                

           Si deux livres mentionnés sont toujours ensemble, alors nombre de façons = (n-1)! X2

Exemple: Combien de chemins y a-t-il divisés par 10 balles entre deux garçons, l'un en obtenant deux et l'autre huit.

Solution: A obtient 2, B  gets 8;  10!/2!8!=45

                  A obtient 8, B gets 2; 10!/(8!2!)=45

cela signifie 45 + 45 = 90 façons dont la balle sera divisée.

Exemple: Recherche le nombre d'arrangement des alphabets du mot «CALCUTTA».

Solution: Nombre de voies requis = 8! / (2! 2! 2!) = 5040

Exemple: Vingt personnes ont été invitées à la fête. De combien de manières différentes qu'eux et l'hôte peuvent s'asseoir à une table ronde, si les deux personnes doivent s'asseoir de chaque côté du gardien.

Solution: Il y aura au total 20 + 1 = 21 personnes en tout.

Les deux personnes spécifiées et l'hôte doivent être considérés comme une seule unité de sorte que ceux-ci restent 21 - 3 + 1 = 19 personnes à organiser en 18! façons.

 Mais les deux personnes particulières de part et d'autre de l'hôte peuvent elles-mêmes être disposées en 2 ! façons.

  Il y en a donc 2! * 18! façons.

Exemple : De combien de façons une guirlande peut être fabriquée à partir d'exactement 10 fleurs.

Solution:  n la guirlande de fleurs peut être fabriquée en (n-1)! façons.

Avec 10 fleurs, la guirlande peut être préparée de 9!/2 façons différentes.

Exemple: Trouvez le numéro à quatre chiffres spécifique qui doit être formé par 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 afin que chaque nombre ait le numéro 1.

Solution: Après avoir obtenu 1 à la première position sur 4 places, 3 places peuvent être remplies par⁷P₃ =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.

Mais certains nombres dont le quatrième chiffre est zéro, donc ce type de moyens =⁶P₂= 6! / (6-2)! = 20.

                   Total des voies = ⁷P₃ - ⁶P₂ = 210-20 = 180

Gardez ces points à l'esprit pour la combinaison

Dans la suite nous résoudrons quelques exemples  

Mise en situation : If ¹⁵C_r=¹⁵C_{r + 5} , alors quelle est la valeur de r?

Solution: Ici, nous utiliserons ce qui précède

 ⁿC_r=ⁿC_nr sur le côté gauche de l'équation

¹⁵C_r=¹⁵C_{r + 5} => ¹⁵C_15-r =¹⁵C_{r + 5}

=> 15-r=r+5 => 2r=10 => r=10/2=5

donc la valeur de r est 5 implique le problème de 15 CHOISIR 5.

Mise en situation : If ²ⁿC₃ : ⁿC₂ = 44: 3 trouver la valeur de r, de sorte que la valeur de ⁿC_r  aura 15 ans.

 Solution: Ici, le terme donné est le rapport de 2n choisissez 3 et n choisissez 2 comme

par la définition de combinaison

(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3

=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3

=> 4 (2n-1) = 44 => 2n = 12 => n = 6

                   Maintenant ⁶C_r=15 => ⁶C_r=⁶C₂   or ⁶C₄ => r = 2, 4

donc le problème s'est avéré être 6 choisir 2 ou 6 choisir 4

Mise en situation :  If  ⁿC_r-1= 36 ⁿC_r= 84 et ⁿC_{r + 1}= 126, alors quelle serait la valeur de r?

 Solution: Ici ⁿC_r-1 / ⁿC_r = 36/84 et ⁿC_r /ⁿC_{r + 1} =84/126 .

(n)! / {(n-r + 1)! x (r-1)!} X {(r)! x (nr)!} / (n)! = 36/84

r/(n-r+1)=3/7 => 7r=3n-3r+3

=> 3n-10r=-3, et de même à partir de la deuxième ration on obtient

4n-10r = 6

En résolvant, nous obtenons n = 9, r = 3

donc le problème s'est avéré être 9 choisir 3, 9 choisir 2 et 9 choisir 4.

Mise en situation : Tout le monde dans la salle serre la main de tout le monde. Le nombre total de poignées de main est de 66. Trouvez le nombre de personnes dans la pièce.

ⁿC₂ =66 => n!/{2!(n-2)!}=66 => n(n-1)=132 => n=12

Solution: donc la valeur de n est 12 implique que le nombre total de personnes dans la pièce est 12 et le problème est 12 choisissez 2.

Exemple: Dans un tournoi de football, 153 matchs ont été joués. Toutes les équipes ont joué un match. trouver le nombre de groupes impliqués dans le tournoi.

Solution:

ici ⁿC₂ =153 => n!/{2!(n-2)} = 153 => n(n-1)/2=153 => n=18

le nombre total d'équipes ayant participé au tournoi était donc de 18 et le combinaison a 18 ans choisissez 2 .

Exemple Lors de la cérémonie Deepawali, chaque membre du club envoie des cartes de vœux aux autres. S'il y a 20 membres dans le club, quel serait le nombre total de cartes de vœux échangées par les membres.

Solution: Étant donné que deux membres peuvent échanger des cartes de deux manières, il y en a 20, choisissez 2 deux fois

2 x ²⁰C₂ =2 x (20 !)/{2!(20-2)!}=2*190=380, il y aurait 380 façons d'échanger des cartes de vœux.

Exemple : Six symboles plus « + » et quatre symboles moins « - » doivent être disposés en ligne droite de manière à ce qu'aucun symbole « - » ne se rencontre. Trouvez le nombre total de façons.

 Solution: L'ordre peut être fait comme -+-+-+-+-+-+- les signes (-) peuvent être placés dans 7 emplacements vacants (pointés).

D'où le nombre de voies requis = ⁷C₄ = 35.

Mise en situation : If ⁿC₂₁ =ⁿC₆ , puis trouve ⁿC₁₅ =?

Solution: Donné ⁿC₂₁ =ⁿC₆

21+6=n => n=27

Par conséquent ²⁷C₁₅ =27!/{15!(27-15)!} =17383860

qui sont les 27 choisissent 15.

Conclusion

Quelques exemples sont pris en fonction des relations et des résultats, comme nombre d'exemples que nous pouvons prendre sur chacun des résultats, mais l'important ici que je veux montrer était comment nous pouvons utiliser n'importe quel résultat en fonction de la situation si vous avez besoin de plus de lecture, vous pouvez Parcourez le contenu ou si vous avez une aide personnelle, vous pouvez librement nous contacter pour certains des contenus connexes que vous pouvez trouver à partir de:

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https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
J'aime contribuer à Lambdageeks pour rendre les mathématiques simples, intéressantes et explicites pour les débutants comme pour les experts.