Variable aléatoire normale : 3 faits importants

Variable aléatoire normale et distribution normale

      La variable aléatoire avec un ensemble de valeurs indénombrables est connue pour être une variable aléatoire continue, et la fonction de densité de probabilité à l'aide de l'intégration en tant qu'aire sous la courbe donne la distribution continue.Nous allons maintenant nous concentrer sur l'une des variables aléatoires continues les plus utilisées et les plus fréquentes. c'est-à-dire variable aléatoire normale qui a un autre nom comme variable aléatoire gaussienne ou distribution gaussienne.

Variable aléatoire normale

      La variable aléatoire normale est la variable aléatoire continue avec fonction de densité de probabilité

avoir méchant μ et variance σ² comme paramètres statistiques et géométriquement la fonction de densité de probabilité a la courbe en forme de cloche qui est symétrique par rapport à la moyenne μ.

Nous savons que la fonction de densité de probabilité a la probabilité totale comme un.

en mettant y = (x-μ) / σ

cette double intégration peut être résolue en la convertissant en forme polaire

qui est la valeur requise donc elle est vérifiée pour l'intégrale I.

• Si X est normalement distribué avec le paramètre μ  et σ² alors Y = aX + b est également normalement distribué avec les paramètres aμ + b et a²μ²

Attente et variance de la variable aléatoire normale

La valeur attendue de la variable aléatoire normale et la variance que nous obtiendrons à l'aide de

où X est normalement distribué avec la moyenne des paramètres μ et écart type σ.

puisque la moyenne de Z est nulle, nous avons donc la variance comme

en utilisant l'intégration par pièces

pour la variable Z l'interprétation graphique est la suivante

et l'aire sous la courbe pour cette variable Z qui est connue sous le nom de variable normale standard, il est calculé pour la référence (donnée dans le tableau), comme la courbe est symétrique donc pour une valeur négative la surface sera la même que celle des valeurs positives

puisque nous avons utilisé la substitution

Ici, gardez à l'esprit que Z est une variable normale standard où, comme la variable aléatoire continue X est normalement distribuée variable aléatoire normale de moyenne μ et d'écart-type σ.

Donc, pour trouver la fonction de distribution de la variable aléatoire, nous utiliserons la conversion vers la variable normale standard comme

pour toute valeur de a.

Mise en situation : Dans la courbe normale standard, trouvez l'aire entre les points 0 et 1.2.

Si nous suivons le tableau, la valeur de 1.2 sous la colonne 0 est 0.88493 et ​​la valeur de 0 est 0.5000,

Exemple: trouvez l'aire de la courbe normale standard entre -0.46 et 2.21.

À partir de la région ombrée, nous pouvons bifurquer cette région de -0.46 à 0 et de 0 à 2.21 car la courbe normale est symétrique par rapport à l'axe y de sorte que l'aire de -0.46 à 0 est la même que celle de 0 à 0.46 donc du tableau

et

afin que nous puissions l'écrire comme

Aire totale = (aire entre z = -0.46 et z = 0) + (aire entre z = 0 et z = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Mise en situation : Si X est une variable aléatoire normale de moyenne 3 et de variance 9, trouvez les probabilités suivantes

P2

P{X>0}

P|X-3|>6

Solution: depuis que nous avons

donc en bifurquant dans les intervalles -1/3 à 0 et 0 à 2/3, nous obtiendrons la solution à partir des valeurs tabulaires

or

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

et

Mise en situation : Un observateur en cas de paternité déclare que la durée (en jours) de la croissance humaine

est normalement distribué avec des paramètres moyenne 270 et variance 100. Dans ce cas, le suspect qui est le père de l'enfant a fourni la preuve qu'il était hors du pays pendant une période qui a commencé 290 jours avant la naissance de l'enfant et s'est terminée 240 jours plus tôt la naissance. Trouvez la probabilité que la mère ait pu avoir la grossesse très longue ou très courte indiquée par le témoin?

Soit X la variable aléatoire normalement distribuée pour la gestation et considérons que le suspect est le père de l'enfant. Dans ce cas, la naissance de l'enfant a eu lieu dans le délai spécifié a la probabilité

Relation entre la variable aléatoire normale et la variable aléatoire binomiale

      Dans le cas de la distribution binomiale, la moyenne est np et la variance est npq donc si nous convertissons une telle variable aléatoire binomiale avec une telle moyenne et un tel écart-type ayant n très grand et p ou q sont très petits en se rapprochant de zéro alors la variable normale standard Z avec le l'aide de ces moyennes et variances est

ici en termes de Essais de Bernouli X considère le nombre de succès dans n essais. Au fur et à mesure que n augmente et se rapproche de l'infini, cette variable normale devient de la même manière une variable normale standard.

La relation du binôme et de la variable normale standard que nous pouvons trouver à l'aide du théorème suivant.

Théorème limite de DeMoivre Laplace

If S_n désigne le nombre de succès qui se produisent lorsque n  essais indépendants, chacun aboutissant à un succès avec probabilité p , sont effectuées, alors, pour tout a <b,

Mise en situation : À l'aide de l'approximation normale de la variable aléatoire binomiale, trouvez la probabilité d'occurrence de 20 fois la queue lorsqu'une pièce de monnaie est lancée 40 fois.

Solution: Supposons que la variable aléatoire X représente l'occurrence de la queue, puisque la variable aléatoire binomiale est une variable aléatoire discrète et que la variable aléatoire normale est une variable aléatoire continue afin de convertir le discret en continu, nous l'écrivons comme

et si nous résolvons l'exemple donné à l'aide de la distribution binomiale, nous l'obtiendrons comme

Mise en situation : Pour décider de l'efficacité d'une alimentation définie dans la diminution du taux de cholestérol dans la circulation sanguine, 100 personnes sont placées sur la nourriture. Le taux de cholestérol a été observé pendant le temps défini après avoir fourni la nourriture. Si, à partir de cet échantillon, 65% ont un faible taux de cholestérol, alors la nourriture sera approuvée. Quelle est la probabilité que le nutritionniste approuve la nouvelle alimentation si, en fait, elle n'a aucune conséquence sur le taux de cholestérol?

Solution:  Laissez la variable aléatoire exprimer le taux de cholestérol si elle est inférieure à la nourriture de sorte que la probabilité d'une telle variable aléatoire sera de ½ pour chaque personne, si X désigne le faible nombre de personnes, alors la probabilité que le résultat soit approuvé même s'il n'y a pas d'effet de la nourriture à réduire le taux de cholestérol est

Conclusion:

   Dans cet article, le concept de variable aléatoire continue à savoir normal Variable aléatoire et sa distribution avec la fonction de densité de probabilité ont été discutées et la moyenne du paramètre statistique, la variance pour la variable aléatoire normale est donnée. La conversion de la variable aléatoire normalement distribuée en la nouvelle variable normale standard et l'aire sous la courbe pour cette variable normale standard est donnée sous forme de tableau l'une des la relation avec la variable aléatoire discrète est également mentionnée avec l'exemple , si vous voulez en savoir plus, passez par:

Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

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DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
J'aime contribuer à Lambdageeks pour rendre les mathématiques simples, intéressantes et explicites pour les débutants comme pour les experts.