11 faits sur l'espérance mathématique et la variable aléatoire

Espérance mathématique et variable aléatoire    

     L'espérance mathématique joue un rôle très important dans la théorie des probabilités, la définition de base et les propriétés de base de l'espérance mathématique dont nous avons déjà discuté dans certains articles précédents, maintenant après avoir discuté des différentes distributions et types de distributions, dans l'article suivant, nous nous familiariserons avec plus propriétés avancées de l'espérance mathématique.

Espérance de la somme des variables aléatoires | Espérance de fonction des variables aléatoires | Espérance de distribution de probabilité conjointe

     Nous savons que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire de nature discrète est

+2 (1)XNUMX XNUMX
2.0 Copie

et pour le continu est

3.0 Copie

maintenant pour la variable aléatoire X et Y si discrètes alors avec l'articulation fonction de masse p(x,y)

l'espérance de la fonction des variables aléatoires X et Y sera

4.0

et si elle est continue, alors avec la fonction de densité de probabilité conjointe f(x, y), l'espérance de la fonction des variables aléatoires X et Y sera

5.0

si g est l'addition de ces deux variables aléatoires sous forme continue le

6.0
7.0
8.0
9.0

et si pour les variables aléatoires X et Y on a

X>Y

alors l'attente aussi

+10.0 (1)XNUMX XNUMX

Exemple

Un hôpital Covid-19 est uniformément réparti sur la route de la longueur L à un point X, un véhicule transportant de l'oxygène pour les patients est à un emplacement Y qui est également uniformément réparti sur la route, Trouver la distance attendue entre l'hôpital Covid-19 et véhicule de transport d'oxygène s'ils sont indépendants.

Solution:

Pour trouver la distance attendue entre X et Y, nous devons calculer E { | XY | }

Maintenant, la fonction de densité conjointe de X et Y sera

+11.0 (1)XNUMX XNUMX

depuis

+12.0 (1)XNUMX XNUMX

en suivant ceci nous avons

+13.0 (1)XNUMX XNUMX

maintenant la valeur de l'intégrale sera

14.0
15.0
16.0

Ainsi, la distance attendue entre ces deux points sera

17.0

Espérance de la moyenne de l'échantillon

  En tant que moyenne d'échantillon de la séquence de variables aléatoires X1X2, ………, Xn avec la fonction de distribution F et la valeur attendue de chacun comme est

18.0

donc l'espérance de cette moyenne d'échantillon sera

19.0
20.0
71.0
22.0

qui montre que la valeur attendue de la moyenne de l'échantillon est également .

L'inégalité de Boole

                Bool's l'inégalité peut être obtenue à l'aide de propriétés des attentes, supposons que la variable aléatoire X définie comme

+23.0 (1)XNUMX XNUMX

De

24.0

Voici uni 's sont les événements aléatoires, cela signifie que la variable aléatoire X représente l'occurrence du nombre d'événements Ai et une autre variable aléatoire Y comme

25.0

clairement

X>=Y

E[X] >= E[Y]

Et il en est de même

maintenant, si nous prenons la valeur des variables aléatoires X et Y, ces attentes seront

28.0

et

29.0

en substituant ces attentes dans l'inégalité ci-dessus, nous obtiendrons l'inégalité de Boole comme

30.0

Espérance de la variable aléatoire binomiale | Moyenne de la variable aléatoire binomiale

  Nous savons que le variable aléatoire binomiale est la variable aléatoire qui montre le nombre de succès dans n essais indépendants avec une probabilité de succès comme p et un échec comme q=1-p, donc si

X=X1 + X2+ …….+Xn

31.0

ici ces Xi sont les Bernoulli et l'attente sera

32.0

donc l'espérance de X sera

33.0

Espérance de variable aléatoire binomiale négative | Moyenne de la variable aléatoire binomiale négative

  Soit une variable aléatoire X qui représente le nombre d'essais nécessaires pour collecter r succès, alors une telle variable aléatoire est connue sous le nom de variable aléatoire binomiale négative et peut être exprimée sous la forme

34.0

ici chaque Xi désigne le nombre d'essais requis après le (i-1) er succès pour obtenir le total des i succès.

Puisque chacun de ces Xi représentent la variable aléatoire géométrique et nous savons que l'espérance pour la variable aléatoire géométrique est

35.0

so

36.0

qui est le attente de variable aléatoire binomiale négative.

Espérance de la variable aléatoire hypergéométrique | Moyenne de la variable aléatoire hypergéométrique

L'espérance ou la moyenne de la variable aléatoire hypergéométrique que nous obtiendrons à l'aide d'un exemple simple de la vie réelle, si n nombre de livres sont choisis au hasard dans une étagère contenant N livres dont m sont de mathématiques, alors pour trouver le nombre attendu de livres de mathématiques laissez X dénoter le nombre de livres de mathématiques sélectionnés alors nous pouvons écrire X comme

37.0

De

38.0

so

39.0
40.0

=n/N

qui donne

41.0

qui est la moyenne d'une telle variable aléatoire hypergéométrique.

Nombre de matchs attendu

   C'est un problème très populaire lié à l'attente, supposons que dans une pièce il y ait un nombre N de personnes qui jettent leurs chapeaux au milieu de la pièce et que tous les chapeaux soient mélangés après que chaque personne choisisse au hasard un chapeau puis le nombre de personnes attendu qui choisissent leur propre chapeau, nous pouvons obtenir en laissant X être le nombre de correspondances donc

42.0

43.0

étant donné que chaque personne a la même possibilité de choisir l'un des chapeaux parmi N chapeaux, alors

44.0

so

45.0

ce qui signifie qu'une personne en moyenne choisit son propre chapeau.

La probabilité d'une union d'événements

     Obtenons la probabilité de l'union des événements à l'aide de l'espérance donc pour les événements Ai

46.0

avec ça on prend

47.0

donc l'attente de ce sera

48.0

et l'expansion en utilisant la propriété d'attente comme

49.0

depuis que nous avons

Attente mathématique
Attente mathématique : la probabilité d'une union d'événements

et

51.0

so

52.0

cela implique la probabilité d'union comme

+52.0 (1)XNUMX XNUMX

Limites de l'espérance en utilisant la méthode probabiliste

    Supposons S un ensemble fini et f est la fonction sur les éléments de S et

53.0

ici, nous pouvons obtenir la borne inférieure pour ce m par espérance de f(s) où « s » est n'importe quel élément aléatoire de S dont l'espérance nous pouvons calculer ainsi

54.0
+55.0 (1)XNUMX XNUMX

ici, nous obtenons l'espérance comme limite inférieure pour la valeur maximale

Identité Maximum-Minimum

 Maximum L'identité minimale est le maximum de l'ensemble de nombres aux minimums des sous-ensembles de ces nombres, c'est-à-dire pour n'importe quel nombre xi

+56.0 (1)XNUMX XNUMX

Pour montrer cela, restreignons le xi dans l'intervalle [0,1], supposons une variable aléatoire uniforme U sur l'intervalle (0,1) et les événements Ai comme la variable uniforme U est inférieure à xi qui est

57.0

puisqu'au moins un des événements ci-dessus se produit lorsque U est inférieur à un la valeur de xi

58.0

et

59.0

On sait clairement

60.0

et tous les événements se produiront si U est inférieur à toutes les variables et

+62.0 (1)XNUMX XNUMX

la probabilité donne

62.0

on a le résultat de la probabilité d'union comme

63.0

suivant cette formule d'exclusion d'inclusion pour la probabilité

64.0

Pour conférer

65.0

cela donne

66.0

depuis

67.0

ce qui signifie

68.0
  • donc nous pouvons l'écrire comme
69.0

en prenant l'espérance, nous pouvons trouver les valeurs attendues des minimums maximum et partiels comme

70.0

Conclusion:

L'attente en termes de distribution variée et de corrélation de l'attente avec certains des théorie des probabilités les concepts étaient au centre de cet article qui montre l'utilisation de l'attente comme outil pour obtenir les valeurs attendues de différents types de variables aléatoires, si vous avez besoin de lectures supplémentaires, parcourez les livres ci-dessous.

Pour plus d'articles sur les mathématiques, veuillez consulter notre Page de mathématiques.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

Un premier cours de probabilité par Sheldon Ross

Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum

Une introduction aux probabilités et aux statistiques par ROHATGI et SALEH