Espérance mathématique et variable aléatoire
L'espérance mathématique joue un rôle très important dans la théorie des probabilités, la définition de base et les propriétés de base de l'espérance mathématique dont nous avons déjà discuté dans certains articles précédents, maintenant après avoir discuté des différentes distributions et types de distributions, dans l'article suivant, nous nous familiariserons avec plus propriétés avancées de l'espérance mathématique.
Espérance de la somme des variables aléatoires | Espérance de fonction des variables aléatoires | Espérance de distribution de probabilité conjointe
Nous savons que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire de nature discrète est
et pour le continu est
maintenant pour la variable aléatoire X et Y si discrètes alors avec l'articulation fonction de masse p(x,y)
l'espérance de la fonction des variables aléatoires X et Y sera
et si elle est continue, alors avec la fonction de densité de probabilité conjointe f(x, y), l'espérance de la fonction des variables aléatoires X et Y sera
si g est l'addition de ces deux variables aléatoires sous forme continue le
et si pour les variables aléatoires X et Y on a
X>Y
alors l'attente aussi
Exemple
Un hôpital Covid-19 est uniformément réparti sur la route de la longueur L à un point X, un véhicule transportant de l'oxygène pour les patients est à un emplacement Y qui est également uniformément réparti sur la route, Trouver la distance attendue entre l'hôpital Covid-19 et véhicule de transport d'oxygène s'ils sont indépendants.
Solution:
Pour trouver la distance attendue entre X et Y, nous devons calculer E { | XY | }
Maintenant, la fonction de densité conjointe de X et Y sera
depuis
en suivant ceci nous avons
maintenant la valeur de l'intégrale sera
Ainsi, la distance attendue entre ces deux points sera
Espérance de la moyenne de l'échantillon
En tant que moyenne d'échantillon de la séquence de variables aléatoires X1X2, ………, Xn avec la fonction de distribution F et la valeur attendue de chacun comme est
donc l'espérance de cette moyenne d'échantillon sera
qui montre que la valeur attendue de la moyenne de l'échantillon est également .
L'inégalité de Boole
Bool's l'inégalité peut être obtenue à l'aide de propriétés des attentes, supposons que la variable aléatoire X définie comme
De
Voici uni 's sont les événements aléatoires, cela signifie que la variable aléatoire X représente l'occurrence du nombre d'événements Ai et une autre variable aléatoire Y comme
clairement
X>=Y
E[X] >= E[Y]
Et il en est de même
maintenant, si nous prenons la valeur des variables aléatoires X et Y, ces attentes seront
et
en substituant ces attentes dans l'inégalité ci-dessus, nous obtiendrons l'inégalité de Boole comme
Espérance de la variable aléatoire binomiale | Moyenne de la variable aléatoire binomiale
Nous savons que le variable aléatoire binomiale est la variable aléatoire qui montre le nombre de succès dans n essais indépendants avec une probabilité de succès comme p et un échec comme q=1-p, donc si
X=X1 + X2+ …….+Xn
Où
ici ces Xi sont les Bernoulli et l'attente sera
donc l'espérance de X sera
Espérance de variable aléatoire binomiale négative | Moyenne de la variable aléatoire binomiale négative
Soit une variable aléatoire X qui représente le nombre d'essais nécessaires pour collecter r succès, alors une telle variable aléatoire est connue sous le nom de variable aléatoire binomiale négative et peut être exprimée sous la forme
ici chaque Xi désigne le nombre d'essais requis après le (i-1) er succès pour obtenir le total des i succès.
Puisque chacun de ces Xi représentent la variable aléatoire géométrique et nous savons que l'espérance pour la variable aléatoire géométrique est
so
qui est le attente de variable aléatoire binomiale négative.
Espérance de la variable aléatoire hypergéométrique | Moyenne de la variable aléatoire hypergéométrique
L'espérance ou la moyenne de la variable aléatoire hypergéométrique que nous obtiendrons à l'aide d'un exemple simple de la vie réelle, si n nombre de livres sont choisis au hasard dans une étagère contenant N livres dont m sont de mathématiques, alors pour trouver le nombre attendu de livres de mathématiques laissez X dénoter le nombre de livres de mathématiques sélectionnés alors nous pouvons écrire X comme
De
so
=n/N
qui donne
qui est la moyenne d'une telle variable aléatoire hypergéométrique.
Nombre de matchs attendu
C'est un problème très populaire lié à l'attente, supposons que dans une pièce il y ait un nombre N de personnes qui jettent leurs chapeaux au milieu de la pièce et que tous les chapeaux soient mélangés après que chaque personne choisisse au hasard un chapeau puis le nombre de personnes attendu qui choisissent leur propre chapeau, nous pouvons obtenir en laissant X être le nombre de correspondances donc
Où
étant donné que chaque personne a la même possibilité de choisir l'un des chapeaux parmi N chapeaux, alors
so
ce qui signifie qu'une personne en moyenne choisit son propre chapeau.
La probabilité d'une union d'événements
Obtenons la probabilité de l'union des événements à l'aide de l'espérance donc pour les événements Ai
avec ça on prend
donc l'attente de ce sera
et l'expansion en utilisant la propriété d'attente comme
depuis que nous avons
et
so
cela implique la probabilité d'union comme
Limites de l'espérance en utilisant la méthode probabiliste
Supposons S un ensemble fini et f est la fonction sur les éléments de S et
ici, nous pouvons obtenir la borne inférieure pour ce m par espérance de f(s) où « s » est n'importe quel élément aléatoire de S dont l'espérance nous pouvons calculer ainsi
ici, nous obtenons l'espérance comme limite inférieure pour la valeur maximale
Identité Maximum-Minimum
Maximum L'identité minimale est le maximum de l'ensemble de nombres aux minimums des sous-ensembles de ces nombres, c'est-à-dire pour n'importe quel nombre xi
Pour montrer cela, restreignons le xi dans l'intervalle [0,1], supposons une variable aléatoire uniforme U sur l'intervalle (0,1) et les événements Ai comme la variable uniforme U est inférieure à xi qui est
puisqu'au moins un des événements ci-dessus se produit lorsque U est inférieur à un la valeur de xi
et
On sait clairement
et tous les événements se produiront si U est inférieur à toutes les variables et
la probabilité donne
on a le résultat de la probabilité d'union comme
suivant cette formule d'exclusion d'inclusion pour la probabilité
Pour conférer
cela donne
depuis
ce qui signifie
- donc nous pouvons l'écrire comme
en prenant l'espérance, nous pouvons trouver les valeurs attendues des minimums maximum et partiels comme
Conclusion:
L'attente en termes de distribution variée et de corrélation de l'attente avec certains des théorie des probabilités les concepts étaient au centre de cet article qui montre l'utilisation de l'attente comme outil pour obtenir les valeurs attendues de différents types de variables aléatoires, si vous avez besoin de lectures supplémentaires, parcourez les livres ci-dessous.
Pour plus d'articles sur les mathématiques, veuillez consulter notre Page de mathématiques.
https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
Un premier cours de probabilité par Sheldon Ross
Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum
Une introduction aux probabilités et aux statistiques par ROHATGI et SALEH
Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
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