Méthode de Macaulay et méthode de zone de moment : 11 faits importants

Contenu: Méthode de l'aire du moment et méthode de Macaulay

Méthode de Macaulay Définition
Méthode de Macaulay pour la pente et la déformation
Exemple 1 de la méthode de Macaulay: Pente et déflexion dans une poutre simplement soutenue for Charge uniformément répartie
Exemple 2 de la méthode de Macaulay: Pente et déflexion dans une poutre en surplomb
Méthode de la zone de moment
Théorème de l'aire de moment
Exemple lié à la méthode de l'aire de moment
Moment de flexion par pièces
Application de la méthode de la zone de moment sur poutre en surplomb avec chargement uniformément réparti pour trouver la pente et la déflexion
Déviation maximale due à une charge asymétrique
Questions et réponses sur la méthode de Macaulay et la méthode de la zone de moment

Méthode de Macaulay

M. WH Macaulay a conçu la méthode de Macaulay. La méthode de Macaulay est très efficace pour des conditions de chargement discontinues.

Macaulay Method (la méthode de la double intégration) est une technique utilisée en analyse structurelle pour déterminer la déflexion des poutres d'Euler-Bernoulli et cette méthode est très utile en cas de condition de chargement discontinu et / ou discret.

Méthode de Macaulay pour la pente et la déviation

Considérons une petite section d'une poutre dans laquelle, à une section particulière X, la force de cisaillement est Q et le moment de flexion est M comme indiqué ci-dessous. Dans une autre section Y, distance 'a ' le long de la poutre, une charge concentrée F est appliqué, ce qui modifiera le moment de flexion pour les points au-delà Y.

Entre X et Y,

$\\\\M=EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=M+Qx……………[1]\\\\\\\\EI \\frac{dy}{dx }=Mx+Q\\frac{x^2}{2} +C_1……………[2]\\\\\\\\EIy=M \\frac{x^2}{2}+Q \\frac{x^3}{6}+C_1 x+C_2……………[3]$

Et au-delà de Y

$M=EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=M+Qx-F(x-a)…………… [4]\\\\\\\\EI \\frac{d y}{ dx}=Mx+Q (x^2/2)-F (x^2/2)+Fax+C_3…………… [5]$

$EIy=M (x^2/2)+Q (x^3/6)-F (x^3/6)+Fa (x^2/2) C_3 x+C_4…………… [6]$

Pour la pente en Y, en égalant [5] et [2] on obtient,

$Mx+Q (x^2/2)+C_1= Mx+Q (x^2/2)-F (x^2/2)+Fax+C_3$

Mais au point Y, x = a

$C_1=-F (a^2/2)+Fa^2+C_3\\\\\\\\C_3=C_1-F (a^2/2)$

En remplaçant l'équation ci-dessus dans [5]

$EI \\frac{dy}{dx}=Mx+Q (x^2/2)-F (x^2/2)+Fax+C_1-F (a^2/2)$

$EI \\frac{dy}{dx}=Mx+Q (x^2/2)-F(x-a)^2/2+C_1………….[7]$

Aussi, pour la même déflexion en Y égalant (3) et (6), avec (x = a) on obtient

$M(a^2/2)+Q(a^3/6)+C_1 a+C_2=M(a^2/2)+Q(a^3/6)-F(a^3/6)+F(a^3/6)+C_3 a+C_4$

En résolvant ces équations et en remplaçant la valeur de C3

$C_4=F(a^3/6)+C_2$

En substituant dans l'équation [6] on obtient,

$\\large EIy=M x^2/2+Q x^3/6-F x^3/6+Fa (x^2/2)(C_1-F a^2/2)x+F(a^3/6)+C_2$

$\\large EIy=M x^2/2+Q x^3/6-F (xa)^3/6+C_1 x+C_2…………[8]$

En étudiant plus en détail les équations [4], [7] et [8], nous pouvons conclure que la méthode d'intégration unique pour obtenir la pente et la déviation sera toujours applicable à condition que le terme F (xa) est intégré par rapport à (xa) et non x. De plus, le terme W (xa) n'est applicable que pour (x> a) ou lorsque (xa) est positif. Ainsi, ces termes sont appelés Conditions de Macaulay. Termes de Macaulay doivent être intégrés par rapport à eux-mêmes et doivent être négligés lorsqu'ils sont négatifs.

Ainsi, l'équation généralisée pour l'ensemble de la poutre devient,

$M=EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=M+Qx-F(xa)$

Exemple 1 de la méthode de Macaulay: pente et déflexion dans une poutre simplement soutenue pour une charge uniformément répartie

Considérez une poutre simplement soutenue avec une charge uniformément répartie sur toute la portée. Laisser le poids agir à la distance a de la fin A et W2 agissant à une distance b de l'extrémité A.

L'équation du moment de flexion pour la poutre ci-dessus peut être donnée par

$EI\\frac{d^2 y}{dx^2}=R_A xw(x^2/2)- W_1 (xa)-W_2 (xb)$

L'UDL appliqué sur la poutre complète ne nécessite aucun traitement particulier associé aux brackets de Macaulay ou aux termes de Macaulay. Gardez à l'esprit que les termes de Macaulay sont intégrés par rapport à eux-mêmes. Pour le cas ci-dessus (xa), s'il est négatif, il doit être ignoré. La substitution des conditions finales donnera les valeurs des constantes d'intégration de manière conventionnelle et donc la valeur requise des pentes et de la déflexion.

Dans ce cas, l'UDL commence au point B, l'équation du moment de flexion est modifiée et le terme de charge uniformément réparti devient les termes de support de Macaulay.

L'équation du moment de flexion pour le cas ci-dessus est donnée ci-dessous

$EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=R_A xw[(xa)^2/2]- W_1 [(xa)]-W_2 [(xb)]$

Intégrer nous obtenons,

$EI\\frac{dy}{dx}=R_A(x^2/2)-w[(x-a)^3/6]-W_1 [(x-a)^2/2]-W_2 [(x-b)^2/2]+A$

$EIy=R_A(x^3/6)-w[(x-a)^4/24]-W_1 [(x-a)^3/6]-W_2 [(x-b)^3/6]+Ax+B$

Exemple 2 de la méthode de Macaulay: Pente et déflexion dans une poutre en surplomb

Étant donné ci-dessous la poutre en surplomb de la figure (a), nous devons calculer

Voir aussi Puissance vs tension : analyse comparative et faits

(1) l'équⁿ pour la courbe élastique.

(2) les valeurs médianes entre les supports et au point E (indiquer si chacun est vers le haut ou vers le bas).

Pour déterminer le moment de flexion de la poutre ci-dessus, la charge équivalente est utilisée et est donnée ci-dessous sous la forme de la figure (b). Afin d'utiliser le support de Macaulay dans les équations du moment de flexion, nous devons étendre chaque charge distribuée jusqu'à l'extrémité droite de la poutre. Nous étendons les chargements de 800 N/m jusqu'au point E et éliminons la partie inutile en appliquant des chargements égaux et opposés à C-E. L'expression globale du moment de flexion représentée par le diagramme du corps libre sur la figure (c).

Substituer M dans l'équation différentielle de la courbe élastique,

$EI\\frac{d^2 y}{dx^2}=1000x-400(x-1)^2+400(x-4)^2+2600(x-6)$

L'intégrer,

$EI\\frac{dy}{dx}=500x^2-400 (x-1)^3/3+400 (x-4)^3/3+1300(x-6)^2+P$

Encore une fois, en l'intégrant,

$EIy=500x^3/3 -100 (x-1)^4/3+100 (x-4)^4/3+1300 (x-6)^3/3+Px+Q….[a]$

Au point A, la flèche est limitée en raison d'un simple appui en A. Ainsi, à x = 0, y = 0,

$EI*0=500*0^3/3-100 (0-1)^4/3+100 (0-4)^4/3+1300 (0-6)^3/3+P*0+Q\\\\\\\\Q=-85100$

Là encore, au point D, la flèche est limitée en raison d'un simple appui en D. à x = 6 m, y = 0,

$EI*0=500*6^3/3-100 *(6-1)^4/3+100 *(6-4)^4/3+1300*(6-6)^3/3+P*6-85100\\\\\\\\0=500*6^3/3-100 *(5)^4/3+100*(2)^4/3+0+P*6-85100\\\\\\\\P= -69400$

Lorsque nous substituons les valeurs de P et Q à Eq. (a), nous obtenons

$EIy=500 x^3/3-100 (x-1)^4/3+100(x-4)^4/3 +1300 (x-6)^3/3-69400x-85100….[b]$

Il s'agit de l'équation généralisée pour trouver la déflexion sur toute l'étendue de la poutre en surplomb.

Afin de trouver la flèche à une distance de 3 m de l'extrémité gauche A, remplacez la valeur de x = 3 dans l'équation. (b),

L'équation de la courbe élastique ainsi obtenue est donnée par,

$EIy=500*3^3/3 -100*(3-1)^4/3+100*(3-4)^4/3+1300*(3-6)^3/3-69400*3-85100$

$Nous\\; avoir\\; à\\; note\\; que\\; (3-4)^4=0 \\;et \\;(3-6)^3=0$

$EIy=-289333.33 \\;Nm^3$

Le signe négatif de la valeur indique que la déviation du faisceau est orientée vers le bas dans cette région.
Trouver maintenant la déviation à l'extrême de la poutre, c'est-à-dire au point E
Mettez x = 8 m en éq. [b]

$EIy=500*8^3/3-100*(8-1)^4/3+100*(8-4)^4/3+1300*(8-6)^3/3-69400*8-85100$

$EIy=-699800 \\;Nm^3$

Là encore, le signe négatif indique la déviation vers le bas.

Méthode de la zone de moment

Afin de déterminer la pente ou la déflexion d'une poutre à un emplacement spécifié, la méthode de l'aire de moment est considérée comme la plus efficace.

Dans cette méthode de l'aire de moment, l'intégration du moment de flexion est effectuée indirectement, en utilisant les propriétés géométriques de la zone sous le diagramme des moments de flexion, nous supposons que la déformation de la poutre est inférieure à la plage élastique et cela se traduit par de petites pentes et de petits déplacements.

Le premier théorème de la méthode Moment Area traite des pentes ; la deuxième méthode du théorème Moment Area traite des déflexions. Ces deux théorèmes constituent les bases de la méthode des aires de moments.

Zone Moment Théorème

Premier - Théorème de l'aire de moment

Considérons un segment de poutre qui est initialement droit. La courbe élastique AB pour le segment pris en compte est représentée sur la fig (a). Considérons deux sections transversales de la poutre en P et Q et faites-les pivoter de l'angle dϴ l'une par rapport à l'autre également séparées par la distance dx.

Supposons que les sections transversales restent perpendiculaires à l'axe de la poutre.

dϴ = Différence de la pente des courbes P et Q comme illustré sur la figure (a).

A partir de la géométrie donnée, on voit que dx = R dϴ, où R est le rayon de courbure de la courbe élastique de l'élément déformé. Par conséquent, dϴ = dx / R, qui en utilisant la relation moment-courbure.

$\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI} \\;devient\\;d\\theta=\\frac{M}{EI}dx \\;\\;……… …..[un]$

L'intégration de l'équation (a) sur le segment AB donne

$\\int_{B}^{A}d\\theta=\\int_{B}^{A}\\frac{M}{EI}dx\\;\\;……………..[b ]$

(a) Courbe élastique de la poutre (b) BMD pour le segment.

Le côté gauche de l'Eq. (b) est le changement de la pente entre A et B. Le côté droit représente la zone sous le diagramme M / EI entre A et B, représentée par la zone ombrée sur la figure (b). Si nous introduisons la notation appropriée, Eq. (b) peut être exprimé sous la forme

Voir aussi Différence entre la 1ère, la 2ème et la 3ème contrainte principale : problèmes, exemples, faits

$\\theta_{B/A}=Zone\\;de flexion \\;Moment\\; Diagramme \\;pour\\;section\\;A-B$

C'est le premier théorème de la méthode de l'aire de moment. Le premier théorème de la méthode Moment Area traite des pentes

Deuxième - Théorème de l'aire de moment

Soit t (B / A) la distance verticale du point B de la tangente à la courbe élastique en A. Cette distance est appelée l'écart tangentiel de B par rapport à A. Pour calculer l'écart tangentiel, on détermine d'abord la contribution dt de l'élément infinitésimal PQ.

Nous utilisons ensuite l'intégration pour A à B dt = t (B / A) pour ajouter tous les éléments entre A et B. Comme le montre la figure, dt est la distance verticale en B entre les tangentes dessinées à la courbe élastique en P et Q. En rappelant que les pentes sont très petites, on obtient à partir de la géométrie,

$dt=x'd\\thêta$

Où x 'est la distance horizontale de l'élément par rapport à B. Par conséquent, l'écart tangentiel est

$t_{B/A}=\\int_{B}^{A}dt=\\int_{B}^{A}x' d\\theta$

En mettant la valeur dϴ de dans l'équation [a] on obtient,

$t_{B/A}=\\int_{B}^{A}\\frac{M}{EI}x'dx\\;\\;………………..[c]$

Le côté droit de Eq. (c) représente le premier moment de la zone ombrée du diagramme M / (EI) de la figure (b) autour du point B. En notant la distance entre B et le centre de gravité C de cette zone par, nous pouvons écrire Eq. (c) comme

$t_{B/A}= Aire \\;de \\;M/EI \\;diagramme\\; pour\\; section\\; A-B* \\bar{x}_B$

$t_{B/A}= Distance \\;de\\; Centre\\; de\\; gravité \\;de\\; DMO$

$\\bar{x}_B \\; est\\; la \\;Distance \\;de\\; centre \\;de \\;gravité \\;de \\;M/EI \\;à partir de \\;point \\;sous\\; considération\\; (B).$

C'est le deuxième théorème de la méthode de l'aire des moments. La deuxième méthode de l'aire momentanée du théorème traite des déflexions.

Moment de flexion par pièces

Pour étudier les applications complexes, l'évaluation de l'angle ϴ (B/A) et de la déviation tangentielle peut être simplifiée en évaluant indépendamment l'effet de chaque charge agissant sur la poutre. Un séparé Diagramme de moment de flexion est tracée pour chaque charge, et la pente est obtenue par sommation algébrique des aires sous les différentes BMD. De même, la déflexion est obtenue en ajoutant la première zone de moment autour d'un axe vertical passant par le point B. Un diagramme de moment de flexion est tracé en parties. Lorsqu'un moment de flexion est dessiné en parties, les différentes zones définies par le BMD se composent de formes, telles que la zone sous les courbes du 2e degré, les courbes cubiques, les rectangles, les triangles et les courbes paraboliques, etc.

Étapes pour dessiner des moments de flexion par pièces

Fournir un support fixe approprié à l'emplacement souhaité. Les supports simples sont généralement considérés comme le meilleur choix; cependant, un autre type de support est utilisé en fonction de la situation actuelle.
Calculez les réactions de support et supposez qu'elles sont des charges appliquées.
Dessinez un diagramme des moments de flexion pour chaque charge. Suivez les conventions de signe appropriées lors du dessin du diagramme des moments de flexion.
La pente est obtenue par sommation algébrique des aires sous les différentes DMO.
la déviation est obtenue en ajoutant la première zone de moment autour d'un axe vertical passant par le point B.

Application de la méthode de la zone de moment sur poutre en surplomb avec chargement uniformément réparti pour trouver pente et déformation

Considérons une poutre en surplomb simplement supportée avec une charge uniformément répartie de A à B et de C à D comme illustré ci-dessous [. Trouvez la pente et la déflexion à l'aide de la méthode de la zone de moment.]

Poutre en surplomb avec chargement uniformément réparti en utilisant la méthode de la zone de moment

À partir d'un diagramme à corps libre de la poutre, nous déterminons les réactions, puis dessinons les diagrammes de cisaillement et de moment de flexion, la rigidité en flexion de la poutre étant constante, pour calculer le diagramme (M / EI), nous devons diviser chaque valeur de M par EI.

$R_B+R_D=2*3*200$

$R_B+R_D=1200$

$Aussi\\;\\somme M_B=0$

$(200*3*1.5)+(R_D*10)=200*3*11.5$

$R_D=600N$

$Ainsi,\\;R_B=600 N$

Dessin du diagramme des forces de cisaillement et des moments de flexion pour la poutre donnée

Pour la tangente de référence: puisque la poutre est symétrique avec son chargement par rapport au point C. La tangente en C agira comme une tangente de référence. D'après le diagramme ci-dessus

Voir aussi Le débit massique est-il constant : pourquoi, quand, faits détaillés

$ci-dessus\\;\\theta_c=0$

Ainsi, la tangente en E peut être donnée par,

$\\theta_E=\\theta_c+\\theta_{E/C}=\\theta_{E/C} …………..[1]$

Macaulay 2 — Diagramme d'aire de moment avec calculs

Pente à E: selon le diagramme M / EI et en appliquant la méthode de la zone du premier moment comme discuté ci-dessus, nous obtenons,

$A_1 = \\ frac {- (wa ^ 2)} {2ei} * (l / 2)$

$A_1=\\frac{-(200*3^2)}{2*20.18*10^3}*5$

$A_1=-0.2230$

De même, pour A2

$A_2=(1/3)* \\frac{-(wa^2)}{2EI}*a$

$A_2=(1/3)*\\frac{-(200*3^2)}{2*20.18*10^3}*3$

$A_2=-0.0446$

De l'équation [1] nous obtenons,

$\\theta_E=A_1+A_2$

$\\theta_E=-0.2230-0.0446=-0.2676$

La déflexion au point E peut être calculée en utilisant la méthode de l'aire du second moment

$t_{D/C}=A_1*[L/4]$

$t_{D/C}=(-0.2230)*[10/4]$

$t_{D/C}=-0.5575$

De même, le

$t_{E/C}=A_1*(a+L/4)+A_2 *(3a/4)$

$t_{E/C}=(-0.2230)*(3+10/4)+(-0.0446)*(3*3/4)$

$t_{E/C}=-1.326$

Mais nous savons que

$y_E=t_{E/C}-t_{D/C}\\\\y_E=-1.326-(-0.5575)\\\\y_E=-0.7685 m$

Déviation maximale due à une charge asymétrique

Lorsqu'une poutre simplement supportée porte une charge asymétrique, la déflexion maximale ne se produira pas au centre de la poutre et doit être identifiée au point K de la poutre où la tangente est horizontale afin d'évaluer la déflexion maximale dans une poutre.

Nous commençons par trouver les tangentes de référence à l'un des supports de la poutre. Laisser un soit la pente de la tangente au support A.
Calculez la déviation tangentielle t du support B par rapport à A.
Divisez la quantité obtenue par la portée L entre les supports A et B.
Depuis la pente k= 0, nous devons obtenir,

$\\theta_{K/A}= \\theta_K-\\theta_A=-\\theta_A$

En utilisant le premier théorème d'aire de moment, nous pouvons prédire de manière concluante que le point K peut être trouvé en mesurant une aire A

$Aire\\;A=\\theta_{K/A}=-\\theta_A\\;sous M/EI\\;Diagramme$

Par Observation, nous concluons que la flèche maximale y (max) = l'écart tangentiel t de l'appui A par rapport à K (Fig. A) et nous pouvons déterminer y (max) en calculant la première aire de moment entre l'appui A et le point K avec par rapport à l'axe vertical.

Questions et réponses sur la méthode de Macaulay et la méthode de l'aire de moment

Q.1) Quelle méthode est utile pour déterminer la pente et la flèche en un point sur une poutre?

Réponse: La méthode de Macaulay est très efficace dans ce cas.

Q.2) Que dit la méthode de la zone du second moment?

Réponse: La méthode de l'aire du deuxième moment indique que «le moment du diagramme de moment de flexion BMD entre deux points quelconques sur une ligne élastique divisé par la rigidité en flexion (EI) est égal à l'intersection prise sur une ligne de référence verticale de la tangente en ces points à propos de la ligne de référence. »

Q.3) Calculez la flèche de la poutre si la pente est de 0.00835 radians. La distance entre l'extrémité libre et le centre de gravité du moment de flexion est de 5 m?

Ans: La flèche en tout point de la courbe élastique est égale à Mx / EI.

Mais nous savons que M / EI est l'équation de pente = 0.00835 rad.

Donc, Déviation = pente × (La distance entre l'extrémité libre et le centre de gravité du moment fléchissant

Flèche = 0.00835 * 5 = 0.04175 m = 41.75 mm.

Pour connaître la résistance du matériau (cliquez ici )et diagramme des moments de flexion Cliquez ici .

Hakimuddin Bawangaonwala

Je m'appelle Hakimuddin Bawangaonwala, ingénieur en conception mécanique avec une expertise en conception et développement mécaniques. J'ai terminé un M. Tech en ingénierie de conception et j'ai 2.5 ans d'expérience en recherche. Jusqu'à présent publiés, deux articles de recherche sur le tournage dur et l'analyse par éléments finis des appareils de traitement thermique. Mon domaine d'intérêt est la conception de machines, la résistance des matériaux, le transfert de chaleur, l'ingénierie thermique, etc. Maîtrise des logiciels CATIA et ANSYS pour la CAO et l'IAO. En dehors de la recherche.

Méthode de Macaulay & Moment Area Method : 11 faits importants

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Méthode de Macaulay

Méthode de Macaulay pour la pente et la déviation

Exemple 1 de la méthode de Macaulay: pente et déflexion dans une poutre simplement soutenue pour une charge uniformément répartie

Exemple 2 de la méthode de Macaulay: Pente et déflexion dans une poutre en surplomb

Méthode de la zone de moment

Zone Moment Théorème

Premier - Théorème de l'aire de moment

Deuxième - Théorème de l'aire de moment

Moment de flexion par pièces

Étapes pour dessiner des moments de flexion par pièces

Application de la méthode de la zone de moment sur poutre en surplomb avec chargement uniformément réparti pour trouver pente et déformation

Déviation maximale due à une charge asymétrique

Questions et réponses sur la méthode de Macaulay et la méthode de l'aire de moment

Q.1) Quelle méthode est utile pour déterminer la pente et la flèche en un point sur une poutre?

Q.2) Que dit la méthode de la zone du second moment?

Q.3) Calculez la flèche de la poutre si la pente est de 0.00835 radians. La distance entre l'extrémité libre et le centre de gravité du moment de flexion est de 5 m?

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Méthode de Macaulay

Méthode de Macaulay pour la pente et la déviation

Exemple 1 de la méthode de Macaulay: pente et déflexion dans une poutre simplement soutenue pour une charge uniformément répartie

Exemple 2 de la méthode de Macaulay: Pente et déflexion dans une poutre en surplomb

Méthode de la zone de moment

Zone Moment Théorème

Premier - Théorème de l'aire de moment

Deuxième - Théorème de l'aire de moment

Moment de flexion par pièces

Étapes pour dessiner des moments de flexion par pièces

Application de la méthode de la zone de moment sur poutre en surplomb avec chargement uniformément réparti pour trouver pente et déformation

Déviation maximale due à une charge asymétrique

Questions et réponses sur la méthode de Macaulay et la méthode de l'aire de moment

Q.1) Quelle méthode est utile pour déterminer la pente et la flèche en un point sur une poutre?

Q.2) Que dit la méthode de la zone du second moment?

Q.3) Calculez la flèche de la poutre si la pente est de 0.00835 radians. La distance entre l'extrémité libre et le centre de gravité du moment de flexion est de 5 m?

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