Géométrie de coordonnées 2D : 11 faits importants

Locus dans la géométrie de coordonnées 2D

Locus est un mot latin. Il est dérivé du mot « Place » ou « Emplacement ». Le pluriel de locus est Loci.

Définition du lieu :

En géométrie, « Locus » est un ensemble de points qui satisfont à une ou plusieurs conditions spécifiées d'une figure ou d'une forme. En mathématiques modernes, l'emplacement ou le chemin sur lequel un point se déplace sur le plan satisfaisant des conditions géométriques données, est appelé lieu du point.

Le locus est défini pour la ligne, le segment de ligne et les formes courbes régulières ou irrégulières, à l'exception des formes ayant un sommet ou des angles à l'intérieur dans la géométrie. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Exemples sur Locus :

lignes, cercles, ellipse, parabole, hyperbole etc. toutes ces formes géométriques sont définies par le lieu des points.

Équation du lieu :

La forme algébrique des propriétés ou conditions géométriques qui sont satisfaites par les coordonnées de tous les points sur Locus, est connue comme l'équation du lieu de ces points.

Méthode d'obtention de l'équation du lieu :

Pour trouver l'équation du lieu géométrique d'un point mobile sur un plan, suivez le processus décrit ci-dessous

(i) Tout d'abord, supposons que les coordonnées d'un point mobile sur un plan soient (h,k).

(ii) Deuxièmement, dériver une équation algébrique avec h et k à partir des conditions ou propriétés géométriques données.

(iii) Troisièmement, remplacez h et k par x et y respectivement dans ladite équation ci-dessus. Maintenant, cette équation est appelée l'équation du lieu du point mobile sur le plan. (x,y) sont les coordonnées actuelles du point mobile et l'équation du lieu doit toujours être dérivée sous la forme de x et y c'est-à-dire les coordonnées actuelles.

Voici quelques exemples pour clarifier la conception du locus.

4+différents types de problèmes résolus sur Locus :

Problème 1: If P être n'importe quel point sur le plan XY qui est équidistant de deux points donnés Un (3,2) et B(2,-1) sur le même plan, puis trouver le lieu et l'équation du lieu du point P avec graphique.

Solution: 

Supposons que les coordonnées de n'importe quel point sur le lieu de P sur le plan XY sont (h,k).

Puisque P est équidistant de A et B, on peut écrire

La distance de P de A=La distance de P de B

Ou, |PA|=|PB|

Ou, (h² -6h+9+j² -4k+4) = (h² -4h+4+j² +2k+1)——– en prenant le carré des deux côtés.

Ou, h² -6h+13+j² -4k -h²+4h-5-k² -2k = 0

Ou, -2h -6k+8 = 0

Ou, h+3k -4 = 0

Ou, h+3k = 4 ——– (1)

C'est une équation du premier degré de h et k.

Maintenant, si h et k sont remplacés par x et y alors l'équation (1) devient l'équation du premier degré de x et y sous la forme de x + 3y = 4 qui représente une ligne droite.

Par conséquent, le lieu du point P(h, k) sur le plan XY est une ligne droite et l'équation du lieu est x + 3y = 4 . (Réponse)

Problème 2: Si un point R se déplace sur le plan XY de telle sorte que RA : RB = 3:2 où les coordonnées des points A et B (-5,3) et (2,4) respectivement sur le même plan, puis trouver le lieu du point R.

Quel type de courbe l'équation du lieu de R indique-t-elle ?

Solution: Supposons que les coordonnées d'un point quelconque sur le lieu d'un point donné R sur le plan XY être (m, n).

Asper condition donnée RA : RB = 3:2,

on a,

(La distance de R de A) / (La distance de R de B) = 3/2

Ou, (m² +10m+34+n² -6n) / (m² -4 mois+n² -8n+20) =9/4 ———– en prenant le carré des deux côtés.

Ou, 4(m² +10m+34+n² -6n) = 9(m² -4 mois+n² -8n+20)

Ou, 4m² +40m+136+4n² -24n = 9m² -36m+9n² -72n+180)

Ou, 4m² +40m+136+4n² -24n – 9m² +36m-9n² +72n-180 = 0

Ou, -5m² +76m-5n²+48n-44 = 0

Ou, 5(m²+n²)-76m+48n+44 = 0 ———-(1)

C'est une équation du second degré de m et n .

Maintenant, si m et n sont remplacés par x et y, l'équation (1) devient l'équation du deuxième degré de x et y sous la forme de 5(x²+y²)-76x+48y+44 = 0 où les coefficients de x² et y² sont identiques et le coefficient de xy est nul. Cette équation représente un cercle.

Par conséquent, le lieu du point R(m, n) sur le plan XY est un cercle et l’équation du lieu est

5(x)²+y²)-76x+48y+44 = 0 (Réponse)

Problème 3: Pour toutes valeurs de (θ,aCosθ,bSinθ) sont les coordonnées d'un point P qui se déplace sur le plan XY. Trouver l'équation du lieu de P.

Solution: soit (h, k) les coordonnées de tout point situé sur le lieu géométrique de P sur le plan XY.

Ensuite, selon la question, nous pouvons dire

h= un Cosθ

Ou, h/a = Cosθ —————(1)

Et k = b Sinθ

Ou, k/b = Sinθ —————(2)

En prenant maintenant au carré les deux équations (1) et (2), puis en ajoutant, nous avons l'équation

h²/a² +k²/b² = Parce que²θ + Péché²θ

Ou, h²/a² +k²/b² = 1 (puisque Cos²θ + Péché²θ =1 en trigonométrie)

Donc l’équation du lieu du point P est x²/a² + y²/b² = 1. (Réponse)

Problème 4: Trouver l'équation du lieu géométrique d'un point Q, se déplaçant sur le plan XY, si les coordonnées de Q sont

où u est le paramètre variable.

Solution: Soit (h, k) les coordonnées de n'importe quel point sur le lieu du point donné Q tout en se déplaçant sur le plan XY.

Alors, h = et k =

soit h(3u+2) = 7u-2 et k(u-1) = 4u+5

soit (3h-7)u = -2h-2 et (k-4)u = 5+k

c'est à dire tu = -----(1)

et u = -----(2)

En égalant maintenant les équations (1) et (2) , nous obtenons,

Ou, (-2h-2)(k-4) = (3h-7)(5+k)

Or, -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k

Or, -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8

Ou, -5hk-7h+5k = -43

Ou, 5hk+7h-5k = 43

Par conséquent, l'équation du lieu de Q est 5xy+7x-5y = 43.

Plus d'exemples sur Locus avec des réponses pour vous entraîner par vous-même:

Problèmes 5 : Si θ est une variable et u une constante, alors trouver l'équation du lieu du point d'intersection des deux droites x Cosθ + y Sinθ = u et x Sinθ- y Cosθ = u. (Réponse x²+y² = 2u² )

Problèmes 6 : Trouver l'équation du lieu géométrique du point médian du segment de droite x Sinθ + y Cosθ = t entre les axes. (Réponse 1/x²+ 1 /y² =4/t² )

Problèmes 7 : Si un point P se déplace de telle manière sur le plan XY que l'aire du triangle formé par le point avec deux points (2,-1) et (3,4). (Réponse 5x-y=11)

Exemples de base sur les formules « Centroïde d'un triangle »  en géométrie de coordonnées 2D

Centroïde : Les trois médianes d'un triangle se coupent toujours en un point situé dans la zone intérieure du triangle et divisent la médiane dans un rapport 2: 1 de n'importe quel sommet jusqu'au milieu du côté opposé. Ce point est appelé le centre de gravité du triangle.   

Problèmes 1 : Trouver le centre de gravité du triangle de sommets (-1,0), (0,4) et (5,0).

Solution:  Nous savons déjà,

                                             If  Hache₁,y₁), B(x₂,y₂) et C(x₃,y₃) être les sommets d'un triangle et G(x,y) être le centre de gravité du triangle, puis les coordonnées de G

et

En utilisant cette formule, nous avons , 

(x₁,y₁) (-1,0) c'est-à-dire x₁=-1, y₁=0;

(x₂,y₂) (0,4) c'est-à-dire   x₂= 0, y₂= 4 et

(x₃,y₃) (5,0) c'est-à-dire   x₃= 5, y₃=0

(Voir tableau des formules)

Donc, la coordonnée x du centre de gravité G,   

à

c'est-à-dire x = 4/3

                  et 

la coordonnée y du centre de gravité G,  

c'est à dire

c'est-à-dire y = 4/3

Par conséquent, les coordonnées du centre de gravité du triangle donné est . (Réponse)

D'autres problèmes résolus sont donnés ci-dessous pour une pratique ultérieure en utilisant la procédure décrite dans le problème 1 ci-dessus :-

Problèmes 2 : Trouvez les coordonnées du centre de gravité du triangle dont les sommets sont aux points (-3,-1), (-1,3)) et (1,1).

Ans. (-1,1)

Problèmes 3 : Quelle est l'abscisse du centre de gravité du triangle de sommets (5,2), (10,4) et (6,-1) ?

Ans. 7 

Problèmes 4 : Trois sommets d'un triangle sont (5,9), (2,15) et (11,12). Trouvez le centre de gravité de ce triangle.

Ans. (6,12)

Changement d'origine / Translation des axes - Géométrie de coordonnées 2D

Le déplacement de l'origine signifie déplacer l'origine vers un nouveau point en gardant l'orientation des axes inchangée, c'est-à-dire que les nouveaux axes restent parallèles aux axes d'origine dans le même plan. Par ce processus de translation d'axes ou de décalage d'origine, de nombreux problèmes sur l'équation algébrique d'une forme géométrique sont simplifiés et résolus facilement.

Les formules de « Déplacement d'origine » ou « Translation d'axes » sont décrites ci-dessous avec une représentation graphique.

Formule:

Si O est l'origine ,P(x,y) est un point quelconque du plan XY et O est déplacé vers un autre point O′(a,b) par rapport auquel les coordonnées du point P deviennent (x₁,y₁) dans le même plan avec de nouveaux axes X₁Y₁  ,Alors les nouvelles coordonnées de P sont

x₁ = x- un

y₁ = y-b

Représentation graphique pour clarification : Suivez les graphiques

Peu résolu Problèmes sur la formule de 'Shifting of Origin' :

Problème-1 : S'il y a deux points (3,1) et (5,4) dans le même plan et que l'origine est déplacée vers le point (3,1) en gardant les nouveaux axes parallèles aux axes d'origine, alors trouvez les coordonnées de le point (5,4) par rapport à la nouvelle origine et aux nouveaux axes.

Solution: En comparant avec la formule de « Changement d'origine » décrite ci-dessus, nous avons une nouvelle Origine, O′(a, b) ≌ (3,1) c'est-à-dire a=3 , b=1 et le point requis P, (x, y) ≌ (5,4) soit x=5 , y=4

Maintenant si (x₁,y₁) soit les nouvelles coordonnées du point P(5,4), alors selon la formule x₁ = xa et y₁ =yb,

on obtient, x₁ = 5-3 et oui₁ = 4-1

c'est à dire x₁ = 2 et y₁ =3

Par conséquent, les nouvelles coordonnées requises du point (5,4) sont (2,3) . (Réponse)

Problème-2 : Après avoir déplacé l'origine vers un point dans le même plan, en gardant les axes parallèles les uns aux autres, les coordonnées d'un point (5,-4) deviennent (4,-5). Trouvez les coordonnées de la nouvelle origine.

Solution: Ici, en utilisant la formule de « Déplacement de l'origine » ou « Translation des axes », nous pouvons dire que les coordonnées du point P par rapport à l'ancienne et à la nouvelle origine et aux axes sont respectivement (x, y) ≌ (5,-4), c'est-à-dire x=5 , y= -4 et (x₁,y₁) ≌ (4,-5) c'est-à-dire  x₁= 4, oui₁= -5

Maintenant, nous devons trouver les coordonnées de la nouvelle Origine O'(a, b) à une=?, b=?

Formule Asper,

x₁ = x- a

y₁ = y- b

à a=xx₁ et b=aa₁

Ou, a=5-4 et b= -4-(-5)

Ou, a=1 et b= -4+5

Ou, a=1 et b= 1

Par conséquent, O'(1,1) est la nouvelle Origine, c'est-à-dire que les coordonnées de la nouvelle Origine sont (1,1). (Réponse)

Exemples de base sur les formules « Colinéarité de points (trois points) » dans la géométrie de coordonnées 2D

Problèmes 1 :  Vérifiez si les points (1,0), (0,0) et (-1,0) sont colinéaires ou non.

Solution:  Nous savons déjà,

                                            If  Hache₁,y₁), B(x₂,y₂) et C(x₃,y₃) être trois points colinéaires, alors l'aire du triangle formé par eux doit être zéro, c'est-à-dire l'aire du triangle est ½[x₁ (y₂– oui₃) + x₂ (y₃– oui₁) + x₃ (y₁-y₂)] =0

(Voir tableau des formules)

En utilisant cette formule, nous avons ,

(x₁,y₁) (-1,0) c'est-à-dire   x₁=-1, y₁= 0 ;

(x₂,y₂) (0,0) c'est-à-dire   x₂= 0, y₂= 0;

(x₃,y₃) (1,0) c'est-à-dire    x₃= 1, y₃= 0

Donc l'aire du triangle est = |½[x₁ (y₂-  y₃) + x₂ (y₃-  y₁) + x₃ (y₁-y₂)]| c'est à dire.

(LHS) = |½[-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)]|

= |½[(- 1)x0 + 0x0 + 1×0]|

= |½[0 + 0 + 0]|

= |½ x 0|

= 0 (droite)

Par conséquent, l'aire du triangle formé par ces points donnés devient zéro, ce qui signifie qu'ils se trouvent sur la même ligne.

Par conséquent, les points donnés sont des points colinéaires. (Réponse)

D'autres problèmes résolus sont donnés ci-dessous pour une pratique ultérieure en utilisant la procédure décrite ci-dessus. problème 1 :-

Problèmes 2 : Vérifiez si les points (-1,-1), (0,0) et (1,1) sont colinéaires ou non.

Ans. Oui

Problèmes 3 : Est-il possible de tracer une ligne passant par trois points (-3,2), (5,-3) et (2,2) ?

Ans.Non

Problèmes 4 : Vérifiez si les points (1,2), (3,2) et (-5,2), reliés par des lignes, peuvent former un triangle dans le plan de coordonnées.

Ans. Non

______________________________

Exemples de base sur les formules « Au centre d'un triangle » en géométrie de coordonnées 2D

Au centre:C'est le centre du plus grand cercle inscrit du triangle qui s'insère à l'intérieur du triangle. C'est aussi le point d'intersection des trois bissectrices des angles intérieurs du triangle.

Problèmes 1 : Les sommets d'un triangle avec des côtés sont (-2,0), (0,5) et (6,0) respectivement. Trouvez le centre du triangle.

Solution: Nous savons déjà,

If  Hache₁,y₁), B(x₂,y₂) et C(x₃,y₃) être les sommets, BC=a, CA=b et AB=c , G′(x,y) être le centre du triangle,

Les coordonnées de G'

et         

(Voir tableau des formules)

Asper la formule que nous avons,

(x₁,y₁) (-4,0) c'est-à-dire  x₁=-4, y₁=0;

(x₂,y₂) (0,3) c'est-à-dire  x₂= 0, y₂=3 ;

(x₃,y₃) (0,0) c'est-à-dire   x₃= 0, y₃=0

Nous avons maintenant,

a= [(x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)² ]

Ou, une = √ [(0+4)²+(3-0)² ]

Ou, une = √ [(4)²+ (3)² ]

Ou, une = √ (16+9)

Ou, une = √25

Ou, une = 5 ——————(1)

b=√ [(x₁-x₃)²+ (y₁-y₃)² ]

Ou, b= √ [(-4-0)²+(0-0)² ]

Ou, b= √ [(-4)²+ (0)² ]

Ou, b= √ (16+0)

Ou, b = √16

Ou, b = 4 ——————–(2)

c= [(x₃-x₂)²+ (y₃-y₂)² ]

Ou, c= √ [(0-0)²+(0-3)² ]

Ou, c= √ [(0)²+(-3)² ]

Ou, c= √ (0+9)

Ou, c= √9

Ou, c= 3 ——————–(3)

etx₁+ bx₂ + CX₃ = (5 X (-4)) + (4 X 0) + (3 X 6 )

= -20+0+18

Ou, ax₁+ bx₂ + CX₃ = -2 ——————-(4)

ay₁+ by₂+ cy₃ = (5 X 0) + (4 X 3) + (3 X 0)

= 0+12+0

Ou, ay₁+ par₂+ cy₃ = 12 ——————–(5)

a+b+c = 5+4+3

Ou, a+b+c = 12 ——————(6)

En utilisant les équations ci-dessus (1), (2), (3), (4), (5) et (6) on peut calculer la valeur de x et y de

Ou, x = -2/12

Ou, x = -1/6

et

Ou, y = 12/12

Ou, y = 1

Par conséquent, les coordonnées requises de l'incenter du triangle donné sont (-1/6 ,1). (Réponse)

D'autres problèmes résolus sont donnés ci-dessous pour une pratique ultérieure en utilisant la procédure décrite dans le problème 1 ci-dessus :-

Problèmes 2 : Trouvez les coordonnées du centre du triangle avec les sommets aux points (-3,-1), (-1,3)) et (1,1).

Problèmes 3 : Quelle est l'abscisse du centre du triangle de sommets (0,2), (0,0) et (0,-1) ?

Problèmes 4 : Trois sommets d'un triangle sont (1,1), (2,2) et (3,3). Trouvez le centre de ce triangle.