Contenu
- Variables aléatoires distribuées conjointement
- Fonction de distribution conjointe | Fonction de distribution de probabilité cumulative conjointe | fonction de masse de probabilité conjointe | fonction de densité de probabilité conjointe
- Exemples de distribution conjointe
- Variables aléatoires indépendantes et distribution conjointe
- Exemple de distribution conjointe indépendante
- SOMME DES VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES PAR DISTRIBUTION CONJOINTE
- somme de variables aléatoires exponentielles indépendantes
- somme des variables aléatoires gamma indépendantes
- somme de variables aléatoires exponentielles indépendantes
- Somme des variables aléatoires normales indépendantes | somme de la distribution normale indépendante
- Sommes de variables aléatoires de Poisson indépendantes
- Sommes de variables aléatoires binomiales indépendantes
Variables aléatoires distribuées conjointement
Les variables aléatoires distribuées conjointement sont la variable aléatoire plus d'une avec une probabilité distribuée conjointement pour ces variables aléatoires, en d'autres termes dans les expériences où le résultat différent avec leur probabilité commune est connu sous le nom de variable aléatoire distribuée conjointement ou distribution conjointe, ce type de situation se produit fréquemment en traitant les problèmes des chances.
Fonction de distribution conjointe | Fonction de distribution de probabilité cumulative conjointe | fonction de masse de probabilité conjointe | fonction de densité de probabilité conjointe
Pour les variables aléatoires X et Y, la fonction de distribution ou la fonction de distribution cumulative conjointe est
où la nature de la probabilité conjointe dépend de la nature des variables aléatoires X et Y soit discrètes soit continues, et les fonctions de distribution individuelles pour X et Y peuvent être obtenues en utilisant cette fonction de distribution cumulative conjointe comme
de même pour Y comme
ces fonctions de distribution individuelles de X et Y sont appelées fonctions de distribution marginale lorsque la distribution conjointe est à l'étude. Ces distributions sont très utiles pour obtenir les probabilités telles que
et en plus la fonction de masse de probabilité conjointe pour les variables aléatoires X et Y est définie comme
les fonctions de masse ou de densité de probabilité individuelles pour X et Y peuvent être obtenues à l'aide d'une telle fonction de masse ou de densité de probabilité conjointe, comme en termes de variables aléatoires discrètes as
et en termes de variable aléatoire continue la fonction de densité de probabilité conjointe sera
où C est n'importe quel plan bidimensionnel, et la fonction de distribution conjointe pour une variable aléatoire continue sera
la fonction de densité de probabilité à partir de cette fonction de distribution peut être obtenue en différenciant
et la probabilité marginale de la fonction de densité de probabilité conjointe
as
et
par rapport aux variables aléatoires X et Y respectivement
Exemples de distribution conjointe
- Les probabilités conjointes pour les variables aléatoires X et Y représentant le nombre de livres de mathématiques et de statistiques d'un ensemble de livres qui contient 3 livres de mathématiques, 4 statistiques et 5 livres de physique si 3 livres pris au hasard
- Trouver l'articulation fonction de masse pour l'échantillon de familles ayant 15% sans enfant, 20% 1 enfant, 35% 2 enfant et 30% 3 enfant si la famille on choisit au hasard dans cet échantillon pour enfant garçon ou fille ?
La probabilité conjointe que nous trouverons en utilisant la définition comme
et cela nous pouvons illustrer sous forme tabulaire comme suit
- Calculez les probabilités
si pour les variables aléatoires X et Y la fonction de densité de probabilité conjointe est donnée par
à l'aide de la définition de la probabilité conjointe pour une variable aléatoire continue
et la fonction de densité de joint donnée, la première probabilité pour la plage donnée sera
de la même manière la probabilité
et enfin
- Trouvez la fonction de densité conjointe pour le quotient X / Y des variables aléatoires X et Y si leur fonction de densité de probabilité conjointe est
Pour trouver la fonction de densité de probabilité pour la fonction X / Y, nous trouvons d'abord la fonction de distribution conjointe puis nous différencierons le résultat obtenu,
donc par la définition de la fonction de distribution conjointe et de la fonction de densité de probabilité donnée, nous avons
ainsi en différenciant cette fonction de distribution par rapport à a, nous obtiendrons la fonction de densité comme
où a est compris entre zéro et l'infini.
Variables aléatoires indépendantes et distribution conjointe
Dans le distribution conjointe la probabilité pour deux variables aléatoires X et Y est dite indépendante si
où A et B sont les ensembles réels. Comme déjà en termes d'événements, nous savons que les variables aléatoires indépendantes sont les variables aléatoires dont les événements sont indépendants.
Ainsi, pour toutes les valeurs de a et b
et la distribution conjointe ou la fonction de distribution cumulative pour les variables aléatoires indépendantes X et Y sera
si nous considérons les variables aléatoires discrètes X et Y alors
depuis
de même pour la variable aléatoire continue
Exemple de distribution conjointe indépendante
- Si, pour un jour spécifique dans un hôpital, les patients entrés sont distribués poisson avec le paramètre λ et la probabilité de patient de sexe masculin comme p et la probabilité de patient de sexe féminin comme (1-p), alors montrez que le nombre de patients de sexe masculin et de patient de sexe féminin entrés à l'hôpital sont des variables aléatoires de poisson indépendantes avec les paramètres λp et λ (1-p)?
considérer le nombre de patients masculins et féminins par les variables aléatoires X et Y puis
comme X + Y sont le nombre total de patients entrés dans l'hôpital qui est distribué selon le poisson
comme la probabilité du patient masculin est p et celle du patient féminin est (1-p), donc exactement à partir du nombre total de correctifs, l'homme ou la femme montre la probabilité binomiale comme
en utilisant ces deux valeurs, nous obtiendrons la probabilité conjointe ci-dessus comme
ainsi la probabilité des patients masculins et féminins sera
et
ce qui montre que les deux sont des variables aléatoires de Poisson avec les paramètres λp et λ(1-p).
2. trouver la probabilité qu'une personne doive attendre plus de dix minutes à la réunion pour un client comme si chaque client et cette personne arrivaient entre 12 h et 1 h après distribution uniforme.
considérez les variables aléatoires X et Y pour désigner le temps pour cette personne et ce client entre 12 et 1, de sorte que la probabilité conjointement pour X et Y sera
calculer
où X, Y et Z sont des variables aléatoires uniformes sur l'intervalle (0,1).
ici la probabilité sera
pour la distribution uniforme la fonction de densité
pour la plage donnée donc
SOMME DES VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES PAR DISTRIBUTION CONJOINTE
La somme des variables indépendantes X et Y avec les fonctions de densité de probabilité en tant que variables aléatoires continues, la fonction de distribution cumulative sera
en différenciant cette fonction de distribution cumulative pour la fonction de densité de probabilité de ces sommes indépendantes sont
en suivant ces deux résultats, nous verrons quelques variables aléatoires continues et leur somme comme des variables indépendantes
somme de variables aléatoires uniformes indépendantes
pour le Variables aléatoires X et Y uniformément répartis sur l'intervalle (0,1) la fonction de densité de probabilité pour ces deux variables indépendantes est
donc pour la somme X + Y nous avons
pour toute valeur a se situe entre zéro et un
si nous restreignons un entre un et deux, ce sera
cela donne la fonction de densité de forme triangulaire
si nous généralisons pour les n variables aléatoires uniformes indépendantes 1 à n alors leur fonction de distribution
par induction mathématique sera
somme des variables aléatoires gamma indépendantes
Si nous avons deux variables aléatoires gamma indépendantes avec leur fonction de densité habituelle
puis en suivant la densité pour la somme des variables aléatoires gamma indépendantes
ceci montre la fonction de densité pour la somme des variables aléatoires gamma qui sont indépendantes
somme de variables aléatoires exponentielles indépendantes
De la même manière que la variable aléatoire gamma, la somme des variables aléatoires exponentielles indépendantes, nous pouvons obtenir une fonction de densité et une fonction de distribution en attribuant simplement spécifiquement des valeurs de variables aléatoires gamma.
Somme des variables aléatoires normales indépendantes | somme de la distribution normale indépendante
Si nous avons n nombre de variables aléatoires normales indépendantes Xi , i=1,2,3,4….n de moyennes respectives μi et variances σ2i puis leur somme est aussi une variable aléatoire normale avec la moyenne comme Σμi et les variances Σσ2i
Nous montrons d'abord la somme indépendante normalement distribuée pour deux variables aléatoires normales X avec les paramètres 0 et σ2 et Y avec les paramètres 0 et 1, trouvons la fonction de densité de probabilité pour la somme X + Y avec
dans la fonction de densité de distribution conjointe
à l'aide de la définition de la fonction de densité de la distribution normale
ainsi la fonction de densité sera
qui n'est rien d'autre que la fonction de densité d'un distribution normale avec moyenne 0 et variance (1+σ2) suivant le même argument on peut dire
avec la moyenne et les variances habituelles. Si nous prenons l'expansion et observons que la somme est normalement distribuée avec la moyenne comme somme des moyennes respectives et la variance comme somme des variances respectives,
ainsi de la même manière la nième somme sera la variable aléatoire normalement distribuée avec la moyenne comme Σμi et variances Σσ2i
Sommes de variables aléatoires de Poisson indépendantes
Si nous avons deux variables aléatoires de Poisson indépendantes X et Y avec des paramètres λ1 et λ2 alors leur somme X + Y est aussi variable aléatoire de Poisson ou distribuée de Poisson
puisque X et Y sont distribués de Poisson et nous pouvons écrire leur somme comme l'union d'événements disjoints
en utilisant la probabilité de variables aléatoires indépendantes
on obtient donc la somme X + Y est également distribuée de Poisson avec la moyenne λ1 + λ2
Sommes de variables aléatoires binomiales indépendantes
Si nous avons deux variables aléatoires binomiales indépendantes X et Y avec des paramètres (n, p) et (m, p) alors leur somme X + Y est également une variable aléatoire binomiale ou binomiale distribuée avec le paramètre (n + m, p)
utilisons la probabilité de la somme avec la définition du binôme comme
qui donne
donc la somme X + Y est également distribuée de manière binomiale avec le paramètre (n + m, p).
Conclusion:
Le concept de variables aléatoires distribuées conjointement qui donne la distribution comparativement pour plus d'une variable dans la situation est discuté en outre le concept de base de variable aléatoire indépendante à l'aide de la distribution conjointe et de la somme des variables indépendantes avec un exemple de distribution leurs paramètres, si vous avez besoin de lecture supplémentaire, parcourez les livres mentionnés. Pour plus d'articles sur les mathématiques, veuillez cliquer ici.
Un premier cours de probabilité par Sheldon Ross
Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum
Une introduction aux probabilités et aux statistiques par ROHATGI et SALEH
Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
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