INTRODUCTION
Qu'est-ce que les mathématiques? Est-ce un calcul? Est-ce logique? S'agit-il de symboles? Des photos? Des graphiques? Il s'avère que c'est tout cela et bien plus encore. C'EST MAIS UNE LANGUE. La langue universelle, ayant ses symboles, caractères, expressions, vocabulaire, grammaire, tout ce qui fait une langue, le tout parfaitement raisonné, unique et sans ambiguïté dans leur sens. C'est la langue dans laquelle les lois de l'univers sont écrites. C'est donc le langage que nous devons apprendre et explorer pour percer les mystères de la nature. Nous devons commencer notre discussion sur l'un des sujets mathématiques les plus beaux et les plus fondamentaux, la THÉORIE DES FONCTIONS, avec cette philosophie.
QUE SONT LES EXPRESSIONS, LES ÉQUATIONS ET LES IDENTITÉS?
Comme toutes les langues bien définies, les mathématiques sont livrées avec leur propre ensemble de symboles et de caractères, numériques et alphabétiques. Une expression en mathématiques est une combinaison de ces symboles et caractères. Tout cela sera expliqué dans ce théorie des fonctions en ligne.
5 + 2 / (9-3)
7a + 2b-3c
2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β)
Ce sont toutes des expressions mathématiques. Peu importe si elles peuvent être évaluées ou non, si elles sont significatives et si elles suivent la syntaxe appropriée, ce sont des expressions.
Maintenant, lorsque nous comparons deux expressions avec un signe '=', nous avons quelque chose comme…
(1+x)2 = 1+2x+x2
Qui est une expression d'égalité de deux expressions écrites de chaque côté d'un signe =. Notez que cette égalité est vraie pour toutes les valeurs de x. Ces sortes d'égalités sont appelées IDENTITÉS.
(1+x)2 = 2+3x+2x2…………..(sept)
Ou comme
(1+x)2 = 7-3x+2x2…………(2)
Ensuite, elles ne seront pas vraies pour toutes les valeurs de x, elles le seraient plutôt pour certaines valeurs de x comme (2) ou elles seraient vraies pour AUCUNE valeur de x, comme (1). Celles-ci sont appelées EQUATIONS.
Donc, pour résumer, les égalités qui ont pour toutes les valeurs des variables, sont des IDENTITÉS. Et les égalités qui valent pour certaines ou aucune valeur des variables sont des EQUATIONS.
POURQUOI AVONS-NOUS BESOIN DU CONCEPT DE FONCTION?
N'est-il pas étonnant que l'univers soit si parfaitement équilibré? Un système d'une telle taille énorme fait de tant de systèmes plus petits, chacun ayant tant de variables interagissant les uns avec les autres, mais si bien comporté. Ne semble-t-il pas que tout soit régi par un ensemble de règles, invisibles mais existant partout? Prenons l'exemple de la force gravitationnelle. Elle est inversement proportionnelle à la distance entre les corps, et cette règle est suivie par toutes les matières, partout dans l'univers. Donc, nous devons avoir un moyen d'exprimer de telles règles, telles que les connexions entre les variables.
Nous sommes entourés de telles variables qui dépendent d'autres variables. La longueur de l'ombre d'un bâtiment dépend de sa hauteur et de l'heure de la journée. La distance parcourue par la voiture dépend du couple généré par son moteur. C'est le concept de théorie des fonctions qui nous permet d'exprimer mathématiquement ces relations.
QU'EST-CE QU'UNE FONCTION EN MATHÉMATIQUES?
Règle de fonction ou FONCTION comme règle
Pour faire simple, une fonction est une règle qui lie deux ou plusieurs variables. Si les variables ne sont autorisées à prendre que des valeurs réelles, il s'agit simplement d'une expression qui définit une règle ou un ensemble de règles qui attribue un nombre réel à chacun de certains nombres réels.
Maintenant, cette définition nécessite sûrement quelques éclaircissements qui sont donnés à travers les exemples tels que
1. La règle qui attribue le cube de ce nombre à chaque nombre.
f(x) = x3
2. La règle qui attribue (x2-x-1)/x3 à chaque x
f(x) = (x2-x-1)/x3
3. La règle qui attribue (x2-x-1)/(x2+ x + 1) à tous les x qui ne sont pas égaux à 1 et le nombre 0 à 1
f(x) = (x2-x-1)/(x2+x+1) pour x ≠ 1
= 0 pour x = 1
- f(x) = x2
pour -1 <x <π / 3
- La règle qui attribue
2 au numéro 5
3 au numéro 8/3
π / 2 au numéro 1
et au reste
- La règle qui affecte à un nombre x, le nombre de 1 dans son développement décimal si le nombre est fini et 0 s'il y a une infinité de 1 dans le développement.
Ces exemples devraient clarifier une chose : une fonction est une règle qui attribue des nombres à d'autres nombres spécifiques. Ces règles ne peuvent pas toujours être exprimées par une formulation algébrique. Ceux-ci peuvent même ne pas pointer vers une condition unique qui s'applique à tous les nombres. Et il n'est pas nécessaire que ce soit une règle que l'on puisse trouver dans la pratique ou dans le monde réel, comme celle de la règle 6. Personne ne peut dire quel nombre cette règle attribue au nombre π ou √2. La règle peut également ne pas s'appliquer à certains numéros. Par exemple, la règle 2 ne s'applique pas à x=0. L'ensemble de nombres auquel s'applique la règle est appelé le DOMAINE de la fonction.
ALORS QUE SIGNIFIE y = f (x)?
Notez que nous utilisons l'expression y=f(x) pour écrire une fonction. Chaque fois que nous commençons une expression avec 'f(x) = y', nous voulons dire que nous sommes sur le point de définir une fonction qui relie un ensemble de nombres à un ensemble de valeurs de la variable x.
FONCTION comme relation
Donc, en d'autres termes, et peut-être dans un sens plus général, une fonction est une relation entre deux ensembles A et B, où tous les éléments de l'ensemble A ont un élément qui leur est attribué à partir de l'ensemble B. Les éléments de l'ensemble B sont appelés les Démarche Qualité et les éléments de l'ensemble A sont appelés les PRÉ-IMAGES.
Le processus de mise en relation des éléments est appelé CARTOGRAPHIE. Bien sûr, il pourrait y avoir de nombreuses façons de faire ces mappages, mais nous ne les appellerions pas toutes comme des fonctions. Seuls les mappages qui relient les éléments de telle manière que chaque élément de l'ensemble A a exactement une image dans l'ensemble B doivent être appelés fonctions. Il s'écrit parfois f: A–> B. Ceci doit être lu comme «f est une fonction de A à B».
L'ensemble A est appelé le DOMAINE de la fonction et l'ensemble B est appelé le CO-DOMAINE de la fonction. Si f est tel que l'image d'un élément a de l'ensemble A est l'élément b de l'ensemble B, alors on écrit f (a) = b, lu comme 'f de a est égal à b', ou 'b est la valeur de f en a ', ou' b est l'image de a sous f '.
TYPES DE FONCTIONS
Les fonctions peuvent être classées selon la façon dont elles relient les deux ensembles.
One - one ou fonction injective
Le chiffre dit tout. C'est lorsqu'une fonction relie chaque élément d'un ensemble à un élément unique d'un autre ensemble, c'est une fonction un à un ou une fonction injective.
Plusieurs - une fonction
Encore une fois, le chiffre est assez explicite. De toute évidence, il y a plus d'une pré-image à une image particulière. Par conséquent, la cartographie est multiple à un. Notez que cela ne viole pas la définition d'une fonction car aucun élément de l'ensemble A n'a plus d'une image dans l'ensemble B.
Fonction ONTO ou fonction SURJECTIVE
Lorsque tous les éléments de l'ensemble B ont au moins une pré-image, alors la fonction est appelée Onto ou surjective. Le mappage Onto peut être un à un ou plusieurs à un. Celui décrit ci-dessus est évidemment plusieurs à un sur la cartographie. Notez que l'image utilisée précédemment pour représenter un mappage un à un est également sur le mappage. Ce type de cartographie un à un est également connu sous le nom de BIJECTIF cartographie.
En fonction
Lorsqu'il y a au moins une image sans pré-image, c'est une fonction INTO. Dans la fonction peut être un à un ou plusieurs à un. Celui décrit ci-dessus est évidemment un à un.
GRAPHIQUE D'UNE FONCTION
Comme il est dit précédemment qu'une fonction attribue des nombres réels à certains nombres réels, il est tout à fait possible et pratique de tracer la paire de nombres sur le plan cartésien XY. La trace obtenue en reliant les points, est le graphe de la fonction.
Considérons une fonction f(x) = x + 3. Ensuite, nous pourrions évaluer f(x) à x=1,2,3 pour obtenir trois paires de x et f(x) comme (1,4) , ( 3,6) et (5,8). Le traçage de ces points et leur connexion montre que la fonction trace une ligne droite dans le plan xy. Cette ligne est le graphique de la fonction.
Évidemment, la nature de la trace variera en fonction de l'expression de la fonction. Ainsi, nous obtenons une gamme de graphiques pour différents types d'expressions. Quelques-uns sont donnés.
Les graphiques de f(x) = sin x, f(x) = x2 et f(x) = ex de gauche à droite
À ce stade, on peut voir que l'expression d'une fonction ressemble en fait à celle d'une équation. Et c'est vrai, par exemple y = x + 3 est bien une équation ainsi qu'une définition de fonction. Cela nous amène à la question : toutes les équations sont-elles des fonctions ? Si non alors
Comment savoir si une équation est une fonction?
Toutes les équations décrites dans les graphiques précédents sont en fait des fonctions, car pour toutes celles-ci, il y a exactement une valeur de f(x) ou y pour une certaine valeur de x. Cela signifie que l'expression de f(x) ne doit produire qu'une seule valeur lorsqu'elle est évaluée pour n'importe quelle valeur de x. Ceci est vrai pour toute équation linéaire. Mais si l'on considère l'équation y2 = 1-x2, nous constatons qu'il y a toujours deux solutions pour tout x entre 0 et 1, en d'autres termes, deux images sont attribuées à chaque valeur de x dans sa plage. Cela viole la définition d'une fonction et ne peut donc pas être appelé une fonction.
Cela devrait sembler plus clair à partir du graphique qu'il y a exactement deux images de chaque x, car une ligne verticale dessinée à n'importe quel point sur l'axe x coupera le graphique en exactement deux points.
Donc, cela nous amène à une conclusion importante que toutes les équations ne sont pas des fonctions. Et si une équation est une fonction, peut être vérifiée par le test de ligne verticale, qui consiste simplement à imaginer une ligne verticale variable à chaque point sur l'axe des x et à voir si elle rencontre le graphique en un seul point.
Cela répond également à une autre question importante, à savoir: comment savoir si une fonction est un à un? Assez sûrement, cette réponse est également dans le graphique et peut être vérifiée par le test de la ligne verticale.
Maintenant, on pourrait se demander s’il existe un moyen de dire la même chose sans obtenir le graphique ou si cela pourrait être dit algébriquement, car il n’est pas toujours facile de tracer des graphiques de fonctions. Eh bien, la réponse est oui, cela peut être fait simplement en testant que f(a)=f(b) implique a=b. C’est-à-dire que même si f(x) prend la même valeur pour deux valeurs de x, alors les deux valeurs de x ne peuvent pas être différentes. Prenons un exemple de la fonction
y = (x-1) / (x-2)
Comme on peut le remarquer, il est difficile de tracer le graphique de cette fonction car elle est de nature non linéaire et ne correspond à la description d'aucune courbe familière et de plus n'est pas définie à x=2 . Ainsi, ce problème appelle définitivement une approche différente du test de la ligne verticale.
Alors, on commence par laisser
f (a) = f (b)
=> (a-1) / (a-2) = (b-1) / (b-2)
=> (a-1) (b-2) = (b-1) (a-2)
=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2
=> 2a + b = 2b + a
=> 2 (ab) = (ab)
Ceci n'est possible que pour a-b=0 ou a=b
Donc, la fonction est en effet un à un, et nous l'avons prouvé sans graphisme.
Maintenant, nous voudrions voir quand une fonction échoue à ce test. Nous pourrions vouloir tester l'équation du cercle que nous avons testé auparavant. On commence par écrire
f (a) = f (b)
f(x) = x2
=> un2=b2
a2 =b2
=> a = b ou a = -b
Ce qui signifie simplement qu'il existe des solutions autres que a = b, donc f (x) n'est pas une fonction.
EST-CE SI DIFFICILE À TRACER y = (x-1) / (x-2)?
Nous allons discuter de la représentation graphique d'une fonction plus en détail dans les articles à venir, mais ici, il est nécessaire de se familiariser avec les bases de la représentation graphique car elle aide énormément à la résolution de problèmes. Une interprétation visuelle d'un problème de calcul rend souvent le problème très facile et savoir comment représenter graphiquement une fonction est la clé d'une bonne interprétation visuelle.
Donc, pour tracer le graphique de (x-1)/(x-2), nous commençons par faire quelques observations critiques telles que
1. La fonction devient 0 à x=1.
2. La fonction devient indéfinie à x=2 .
3. La fonction est positive partout sauf pour 1
Parce que dans cet intervalle (x-1) est positif et (x-2) est négatif, cela rend leur rapport négatif.
4. Lorsque x va vers -∞, la fonction se rapproche de l'unité du côté inférieur, ce qui signifie qu'elle se rapproche de 1 mais est toujours inférieure à 1.
Parce que pour x <0, (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (| x | +2) <1 as | x | +2> | x | +1
5. Lorsque x va vers + ∞, la fonction se rapproche de l'unité du côté supérieur, ce qui signifie qu'elle se rapproche de 1 mais est toujours supérieure à 1.
6. Lorsque x passe à 2 depuis le côté gauche, la fonction passe à -∞.
7. Lorsque x passe à 2 depuis le côté droit, la fonction passe à + ∞.
8. La fonction est toujours décroissante pour x> 2.
PREUVE:
Nous prenons deux valeurs proches de x comme (a, b) telles que (a, b)> 2 et b> a
maintenant, f (b) - f (a)
= (b-1) / (b-2) - (a-1) / (a-2)
={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)
= (ab) / {(a-2) (b-2)}
<0 comme (ab) <0 pour b> a
et (a-2) (b-2)> 0 lorsque (a, b)> 2
Cela implique f (b) 2, en d'autres termes f (x) est strictement décroissante pour x> 2
- 9. La fonction est toujours décroissante pour x <2
- PREUVE: comme avant. Nous vous laissons essayer.
La combinaison de ces observations rend la représentation graphique assez facile. En combinant 4,9 et 6, nous pouvons dire que lorsque x passe de -∞ à 2, la trace commence à partir de l'unité et tombe progressivement pour toucher 0 à x = 1 et tombe encore à -∞ à x = 2. En combinant à nouveau 7,5 et 8, il est facile de voir que lorsque x passe de 2 à + ∞, la trace commence à tomber de + ∞ et continue de se rapprocher de l'unité sans jamais vraiment la toucher.
Cela donne au graphique complet un aspect
Maintenant, il devient évident que la fonction est en effet un à un.
CONCLUSION
Jusqu'à présent, nous avons discuté des bases de la théorie des fonctions. Nous devons maintenant être clairs sur les définitions et les types de fonctions. Nous avons également eu une petite idée de l'interprétation graphique des fonctions. Le prochain article couvrira beaucoup plus de détails sur des concepts tels que la plage et le domaine, les fonctions inverses, diverses fonctions et leurs graphiques, ainsi que de nombreux problèmes résolus. Pour approfondir l'étude, nous vous encourageons à lire
Calcul par Michael Spivak.
Algèbre par Michael Artin.
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