Comment calculer la vitesse instantanée, formule de vitesse instantanée

Comment calculer la vitesse instantanée

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En physique et en mathématiques, vélocité instantanée fait référence à la vitesse d’un objet à un moment précis. C'est un concept fondamental en cinématique, l'étude du mouvement. Comprendre comment calculer la vitesse instantanée est crucial pour analyser le comportement des objets en mouvement.

Calcul de la vitesse instantanée à l'aide du calcul

Le calcul joue un rôle essentiel dans la détermination de la vitesse instantanée. En prenant la dérivée de la fonction position par rapport au temps, on peut obtenir la fonction vitesse. La dérivée représente le taux de changement d'une fonction, qui dans ce cas est le taux de changement de position par rapport au temps.

Pour calculer la vitesse instantanée à l'aide du calcul, procédez comme suit :

Commencez par la fonction de position, qui décrit la position de l'objet au fil du temps. Notons-le comme s (t), Où t représente le temps.
Prenons la dérivée de la fonction de position par rapport au temps, notée Vermont). Cette dérivée représente la fonction vitesse instantanée.
Simplifiez la dérivée pour obtenir la fonction de vitesse instantanée.

Illustrons ce processus avec un exemple :

Supposons que la fonction de position d'un objet soit donnée par s (t) = 2t ^ 3 - 3t ^ 2 + 4t + 1. Pour trouver la vitesse instantanée à un instant donné, nous devons prendre la dérivée de la fonction de position :

$v (t) = frac {d} {dt} (2t ^ 3 - 3t ^ 2 + 4t + 1)$

En simplifiant la dérivée, nous obtenons la fonction de vitesse instantanée :

$v(t) = 6t^2 - 6t + 4$

Ainsi, la fonction de vitesse instantanée est v(t) = 6t^2 – 6t + 4.

Calcul de la vitesse instantanée sans calcul

Bien que le calcul constitue une méthode puissante pour calculer la vitesse instantanée, des méthodes alternatives peuvent être utilisées lorsque le calcul n'est pas applicable ou préféré. Une de ces méthodes consiste à utiliser la vitesse moyenne sur des intervalles de temps de plus en plus petits pour se rapprocher de la vitesse instantanée.

Pour calculer la vitesse instantanée sans calcul, procédez comme suit :

Choisissez une heure initiale t1 et une dernière fois t2, avec t2 étant un peu plus tard que t1.
Calculer la vitesse moyenne v_moy sur l'intervalle de temps [T1, T2] en utilisant la formule :

$v_{text{avg}} = frac{{Delta x}}{{Delta t}}$

Diminuer l'intervalle de temps [T1, T2] pour le rendre de plus en plus petit, se rapprochant de zéro.
À mesure que l’intervalle de temps se rapproche de zéro, la vitesse moyenne se rapproche de la vitesse instantanée.

Voir aussi Comment trouver la force nette : diverses méthodes, problèmes et faits

Prenons un exemple :

Supposons qu’une voiture parcourt une distance de 100 mètres en 10 secondes. Nous voulons calculer la vitesse instantanée au bout de 5 secondes. Pour ce faire, nous pouvons utiliser le méthode de vitesse moyenne.

Nous recommandons t1 = 4 secondes ainsi que t2 = 6 secondes. En utilisant la formule de vitesse moyenne, nous calculons la vitesse moyenne sur l'intervalle [4, 6]:

$v_{text{avg}} = frac{{Delta x}}{{Delta t}} = frac{{s(6) - s(4)}}{{6 - 4}} = frac{{s(6 ) - s(4)}}{2}$

Ensuite, nous répétons le processus avec des intervalles de temps de plus en plus petits, tels que [4.5, 5.5], [4.9, 5.1], et ainsi de suite. À mesure que les intervalles diminuent, les valeurs de vitesse moyenne se rapprochent de la vitesse instantanée au bout de 5 secondes.

Calcul de la vitesse instantanée à partir d'une table

Dans certains cas, les valeurs de vitesse peuvent être données sous forme de tableau plutôt que sous forme de fonction. Pour calculer la vitesse instantanée à partir d’un tableau, on peut utiliser la notion de vitesse moyenne sur des intervalles de temps plus petits, tout comme dans la méthode précédente.

Suivez ces étapes pour calculer la vitesse instantanée à partir d'un tableau :

Identifiez les moments les plus proches de l’heure souhaitée.
Déterminez les valeurs de vitesse correspondantes à ces moments-là.
Calculez la vitesse moyenne sur l’intervalle défini par les points temporels les plus proches.
Répétez le processus avec des intervalles de temps de plus en plus petits jusqu'à ce que la précision souhaitée soit atteinte.

Prenons un exemple:

Supposons que nous ayons le tableau suivant montrant la vitesse d'un objet à différents moments :

Heure (s)	Vitesse (m/s)
1	4
2	7
3	10
4	14

Nous voulons calculer la vitesse instantanée à t = 2.5 secondes. Pour ce faire, nous pouvons utiliser la méthode de la vitesse moyenne.

Les points temporels les plus proches de 2.5 secondes sont t1 = 2 secondes ainsi que t2 = 3 secondes. Les valeurs de vitesse correspondantes sont v1 = 7 m / s ainsi que v2 = 10 m / s. En utilisant la formule de vitesse moyenne, nous calculons la vitesse moyenne sur l'intervalle [2, 3]:

$v_ {texte {avg}} = frac {{delta x}} {{delta t}} = frac {{v_2 - v_1}} {{t_2 - t_1}} = frac {{10 - 7}} {{3 - 2 - 3}} = XNUMX$

À mesure que l'intervalle de temps se rapproche de zéro, la vitesse moyenne se rapproche de la vitesse instantanée à 2.5 secondes.

Calcul de la vitesse instantanée à un point ou à un moment spécifique

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Dans certaines situations, nous pouvons avoir besoin de calculer la vitesse instantanée à un point ou à un moment spécifique, plutôt qu'à un intervalle. Cela peut être fait en trouvant la dérivée de la fonction de position et en l'évaluant au point souhaité.

Voir aussi Solubilité de l'EDTA : une exploration complète pour les débutants

Pour calculer la vitesse instantanée en un point spécifique, procédez comme suit :

Commencez par la fonction de position, notée s (t).
Prenons la dérivée de la fonction de position par rapport au temps, notée Vermont).
Simplifiez la dérivée pour obtenir la fonction de vitesse instantanée.
Évaluez la fonction de vitesse instantanée au moment souhaité.

Prenons un exemple :

Supposons que la fonction de position d'un objet soit donnée par s(t) = 3t^2 – 2t + 5. Nous voulons calculer la vitesse instantanée à t = 2 secondes.

Tout d’abord, nous prenons la dérivée de la fonction de position pour obtenir la fonction de vitesse instantanée :

$v (t) = frac {d} {dt} (3t ^ 2 - 2t + 5)$

En simplifiant la dérivée, nous obtenons la fonction de vitesse instantanée :

$v (t) = 6t - 2$

Pour trouver la vitesse instantanée à t = 2 secondes, nous évaluons la fonction de vitesse instantanée à ce moment-là :

$v(2) = 6(2) - 2 = 10$

Par conséquent, la vitesse instantanée à t = 2 secondes is 10 m/s.

Comment la formule de calcul de la vitesse instantanée peut-elle être appliquée au concept de mouvement du projectile ?

La « Calcul du mouvement du projectile – Guide étape par étape » fournit un aperçu complet de la façon de calculer le mouvement d'un projectile, qui implique le mouvement d'un objet selon une trajectoire parabolique. En utilisant la formule de la vitesse instantanée, nous pouvons déterminer la vitesse de l’objet à n’importe quel point donné de sa trajectoire. En décomposant le mouvement en intervalles plus petits et en calculant les vitesses instantanées, nous pouvons mieux comprendre le mouvement de l’objet et analyser divers aspects tels que sa hauteur, sa portée et son temps de vol.

Problèmes numériques sur la façon de calculer la vitesse instantanée

Problème 1:

Considérons une particule se déplaçant le long d’une ligne droite avec la fonction de position donnée par :
$x (t) = 3t ^ 2 - 2t + 5$
De $x$ est en mètres et $t$ est en secondes.

Trouver la vitesse de la particule à un moment donné $t = 2$ secondes.

Solution:

Pour trouver la vitesse à un instant précis, nous devons différencier la fonction de position par rapport au temps :

$v(t) = frac{dx}{dt}$

En différenciant la fonction de position donnée, nous avons :

Voir aussi Qu'est-ce qu'un robot parallèle ? 9 réponses que vous devez savoir

$v (t) = frac {d} {dt} (3t ^ 2 - 2t + 5)$

En utilisant la règle de différenciation puissance, on obtient :

$v (t) = 6t - 2$

En substituant $t = 2$ dans la fonction vitesse, on trouve :

$v(2) = 6(2) - 2 = 10$

Par conséquent, la vitesse de la particule à $t = 2$ les secondes sont $10$ m / s.

Problème 2:

Une voiture se déplace sur une route droite avec une fonction de position donnée par :
$x(t) = 5t^3 - 2t^2 + 3$
De $x$ est en mètres et $t$ est en secondes.

Déterminer la vitesse de la voiture lorsque $t = 1$ seconde.

Solution:

Pour calculer la vitesse à un instant précis, on différencie la fonction de position par rapport au temps :

$v(t) = frac{dx}{dt}$

En prenant la dérivée de la fonction de position donnée, nous avons :

$v (t) = frac {d} {dt} (5t ^ 3 - 2t ^ 2 + 3)$

En utilisant la règle de différenciation puissance, on obtient :

$v (t) = 15t ^ 2 - 4t$

En substituant $t = 1$ dans la fonction vitesse, on trouve :

$v(1) = 15(1)^2 - 4(1) = 11$

Par conséquent, la vitesse de la voiture lorsque $t = 1$ la seconde est $11$ m / s.

Problème 3:

Une particule se déplace le long d’une ligne droite avec la fonction de position donnée par :
$x (t) = 2t ^ 4 - 3t ^ 2 + 4t - 1$
De $x$ est en mètres et $t$ est en secondes.

Calculer la vitesse de la particule à un moment donné $t = 3$ secondes.

Solution:

Pour trouver la vitesse à un instant précis, nous devons différencier la fonction de position par rapport au temps :

$v(t) = frac{dx}{dt}$

En prenant la dérivée de la fonction position donnée, on a :

$v (t) = frac {d} {dt} (2t ^ 4 - 3t ^ 2 + 4t - 1)$

En utilisant la règle de différenciation puissance, on obtient :

$v(t) = 8t^3 - 6t + 4$

En substituant $t = 3$ dans la fonction vitesse, on trouve :

$v(3) = 8(3)^3 - 6(3) + 4 = 190$

Par conséquent, la vitesse de la particule à $t = 3$ les secondes sont $190$ m / s.

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Raghavi Acharya

Je m'appelle Raghavi Acharya, j'ai complété mon post-diplôme en physique avec une spécialisation dans le domaine de la physique de la matière condensée. J'ai toujours considéré la physique comme un domaine d'étude captivant et j'aime explorer les différents domaines de cette matière. Pendant mon temps libre, je me consacre à l'art numérique. Mes articles visent à transmettre les concepts de physique d'une manière très simplifiée aux lecteurs.