Le polynôme Hermite est largement utilisé dans les applications en tant que fonction orthogonale. Le polynôme d'Hermite est la solution en série de l'équation différentielle d'Hermite.
L'équation d'Hermite
L'équation différentielle du second ordre avec des coefficients spécifiques comme
d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2xy = 0
est connue sous le nom d'équation d'Hermite, en résolvant cette équation différentielle nous obtiendrons le polynôme qui est Polynôme de l'Hermite.
Trouvons la solution de l'équation
d2y/dx2 – 2x jour/dx + 2ny = 0
à l'aide de la solution en série de l'équation différentielle
en substituant maintenant toutes ces valeurs dans l'équation de l'Hermite, nous avons
Cette équation satisfait pour la valeur de k=0 et comme nous avons supposé que la valeur de k ne sera pas négative, maintenant pour le terme de degré le plus bas xm-2 prendre k=0 dans la première équation car la seconde donne une valeur négative, donc le coefficient xm-2 is
a0m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1
en tant que0 0
maintenant de la même manière égalisant le coefficient de xm-1 à partir de la deuxième sommation
et égaliser les coefficients de xm + m à zéro,
ak + 2(m+k+2)(m+k+1)-2ak(m+kn) = 0
nous pouvons l'écrire comme
ak + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) unek
si m=0
ak + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) unek
si m=1
ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) unek
pour ces deux cas, nous discutons maintenant les cas pour k
Lorsque $m=0, unk + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} unek$
Si $k=0 a2 =-2 n/2 un0=-na0$
$k=1, un3=2(1-n)/6 une1 =-2(n-1)/3 ! un1$
Si $k=2, un4 =2(2-n)/12 une2 =2 (2-n)/12 (-na0) = 22 n(n-2)/4 ! un0$
jusqu'à présent m=0 nous avons deux conditions quand un1=0, alors un3=a5=a7=….=un2r+1=0 et quand un1 n'est pas nul alors
en suivant ceci mettre les valeurs d'un0,a1,a2,a3,a4 et5 nous avons
et pour m=1 a1=0 en mettant k=0,1,2,3,….. on obtient
ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)unek
donc la solution sera
donc la solution complète est
où A et B sont les constantes arbitraires
Polynôme de l'Hermite
La solution de l'équation d'Hermite est de la forme y(x)=Ay1(x)+Par2(x) où y1(x) et y2(x) sont les termes de la série tels que discutés ci-dessus,
une de ces séries se termine si n est un entier non négatif si n est pair y1 se termine autrement y2 si n est impair, et on peut facilement vérifier que pour n=0,1,2,3,4…….. ces polynômes sont
1,x,1-2x2, x-2/3x3, 1-4x2+4/3x4, x-4/3x3+ 4/15x5
on peut donc dire ici que les solutions de l'équation d'Hermite sont des multiples constants de ces polynômes et que les termes contenant la plus grande puissance de x sont de la forme 2nxn noté Hn(x) est connu comme Polynôme hermite
Fonction génératrice du polynôme d'Hermite
Polynôme d'Hermite généralement défini à l'aide d'une relation utilisant une fonction génératrice
[n/2] est le plus grand entier inférieur ou égal à n/2 donc il suit la valeur de Hn(X) as
cela montre que Hn(X) est un polynôme de degré n en x et
Hn(x) = 2nxn +n-2 (X)
De πn-2 (x) est le polynôme de degré n-2 dans x, et ce sera une fonction paire de x pour une valeur paire de n et une fonction impaire de x pour une valeur impaire de n, donc
Hn(-x) = (-1)n Hn(X)
certains des polynômes d'Hermite de départ sont
H0(x) = 1
H1(x) = 2x
H2(x) = 4x2 au 2 Février
H3(x) = 8x3- 12
H4(x) = 16x4 - 48x2+12
H5(x) = 32x2 - 160x3+ 120x
Fonction génératrice du polynôme d'Hermite par la formule de Rodrigue
Le polynôme d'Hermite peut également être défini à l'aide de la formule de Rodrigue en utilisant la fonction génératrice
puisque la relation de fonction génératrice
En utilisant le théorème de Maclaurin, on a
or
en mettant z=xt et
pour t=0, donc z=x donne
cela, nous pouvons le montrer d'une autre manière comme
différenciation
par rapport à t donne
prendre la limite t tend vers zéro
maintenant en différenciant par rapport à x
prendre la limite t tend vers zéro
à partir de ces deux expressions on peut écrire
de la même manière on peut écrire
en différenciant n fois mis t=0, on obtient
à partir de ces valeurs, nous pouvons écrire
à partir de ceux-ci, nous pouvons obtenir les valeurs
Exemple sur le polynôme d'Hermite
- Trouver le polynôme ordinaire de
Solution : en utilisant la définition polynomiale d'Hermite et les relations que nous avons
2. Trouvez le polynôme d'Hermite du polynôme ordinaire
Solution: L'équation donnée que nous pouvons convertir en Hermite comme
et à partir de cette équation égalant le même coefficient de puissance
donc le polynôme d'Hermite sera
Orthogonalité du polynôme d'Hermite | Propriété orthogonale du polynôme d'Hermite
La caractéristique importante du polynôme d'Hermite est son orthogonalité qui indique que
Pour prouver cette orthogonalité, rappelons que
qui est la fonction génératrice du polynôme d'Hermite et nous savons
donc en multipliant ces deux équations, nous obtiendrons
multiplier et intégrer dans des limites infinies
et depuis
so
en utilisant cette valeur dans l'expression ci-dessus, nous avons
qui donne
égaliser maintenant les coefficients des deux côtés
qui montre la propriété orthogonale du polynôme d'Hermite.
Le résultat de la propriété orthogonale du polynôme d'Hermite peut être montré d'une autre manière en considérant la relation de récurrence
Exemple sur l'orthogonalité du polynôme d'Hermite
1.Évaluer l'intégrale
Solution : En utilisant la propriété d'orthogonalité du polynôme hermite
puisque les valeurs ici sont m=3 et n=2 donc
2. Évaluer l'intégrale
Solution : En utilisant la propriété d'orthogonalité du polynôme d'Hermite, nous pouvons écrire
Relations de récurrence du polynôme d'Hermite
La valeur du polynôme d'Hermite peut être facilement découverte par les relations de récurrence
Ces relations peuvent facilement être obtenues à l'aide de la définition et des propriétés.
Preuves:1. Nous connaissons l'équation d'Hermite
y”-2xy'+2ny = 0
et le rapport
en prenant partiellement la différenciation par rapport à x, nous pouvons l'écrire sous la forme
de ces deux équations
maintenant remplacer n par n-1
en égalant le coefficient de tn
donc le résultat recherché est
2. De la même manière en différenciant partiellement par rapport à t l'équation
nous obtenons
n=0 disparaîtra donc en mettant cette valeur de e
égalant maintenant les coefficients de tn
ainsi
3. Pour prouver ce résultat, nous éliminerons Hn-1 de
et
donc on obtient
on peut donc écrire le résultat
4. Pour prouver ce résultat, nous différencions
on obtient la relation
en remplaçant la valeur
et en remplaçant n par n+1
qui donne
Exemples de relations de récurrence du polynôme d'Hermite
1.Montrez que
H2n(0) = (-1)n. 2/XNUMX/XNUMX2n (1 / 2)n
Solution:
Pour montrer le résultat on a
H2n(x) =
en prenant x=0 ici nous obtenons
2. Montrez que
H'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (3 / 2)2
Solution:
Depuis la relation de récurrence
H'n(x) = 2nHn-1(X)
ici remplacer n par 2n+1 donc
H'2n-1(x) = 2(2n+1)H2n(X)
prenant x=0
3. Trouvez la valeur de
H2n + 1(0)
Solution
Puisque nous savons
utiliser x=0 ici
H2n-1(0) = 0
4. Trouvez la valeur de H'2n (0).
Solution :
on a la relation de récurrence
H'n(x) = 2nHn-1(X)
ici remplacer n par 2n
H'2n(x) = =2(2n)H2n-1(X)
mettre x=0
H'2n(0) = (4n)H2n-1(0) = 4n*0=0
5. Montrez le résultat suivant
Solution :
Utilisation de la relation de récurrence
H'n(x) = 2nHn-1 (X)
so
et
d3/dx3 {Hn(x)} = 23n(n-1)(n-2)Hn-3(X)
différencier ce m fois
qui donne
6. Montrez que
Hn(-x) = (-1)n Hn(X)
Solution :
nous pouvons écrire
du coefficient de tn nous avons
et pour -x
7. Évaluer l'intégrale et montrer
Solution : Pour résoudre cette intégrale, utilisez les parties d'intégration comme
Maintenant la différenciation sous le signe Intégral différencie avec
par rapport à x
en utilisant
H'n(x) = 2nHn-1 (X)
et
H'm(x) = 2mHm-1 (X)
nous avons
et depuis
???? n,m-1 = ????n+1,m
donc la valeur de l'intégrale sera
Conclusion:
Le polynôme spécifique qui apparaît fréquemment dans l'application est le polynôme d'Hermite, donc la définition de base, la fonction génératrice, les relations de récurrence et les exemples liés au polynôme d'Hermite ont été discutés brièvement ici, si vous avez besoin de lectures plus approfondies, parcourez
https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
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Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
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