Variable aléatoire géométrique : 7 caractéristiques importantes

Une variable aléatoire discrète supplémentaire et ses paramètres

La variable aléatoire discrète avec sa fonction de masse de probabilité combine la distribution de la probabilité et en fonction de la nature de la variable aléatoire discrète, la distribution de probabilité peut avoir des noms différents comme la distribution binomiale, la distribution de Poisson, etc., comme nous l'avons déjà vu les types de discrets variable aléatoire, variable aléatoire binomiale et variable aléatoire de Poisson avec les paramètres statistiques de ces variables aléatoires. La plupart des variables aléatoires sont caractérisées en fonction de la nature de la fonction de masse de probabilité, nous allons maintenant voir un autre type de variables aléatoires discrètes et ses paramètres statistiques.

Variable aléatoire géométrique et sa distribution

Une variable aléatoire géométrique est la variable aléatoire qui est attribuée pour les essais indépendants effectués jusqu'à l'occurrence du succès après un échec continu, c'est-à-dire si nous effectuons une expérience n fois et obtenons initialement tous les échecs n-1 fois, puis enfin nous obtenons le succès. La fonction de masse de probabilité pour une telle variable aléatoire discrète sera

Dans cette variable aléatoire, la condition nécessaire pour le résultat de l'essai indépendant est l'initiale, tout le résultat doit être un échec avant le succès.

Ainsi, en bref, la variable aléatoire qui suit ci-dessus la fonction de masse de probabilité est connue sous le nom de variable aléatoire géométrique.

On observe facilement que la somme de ces probabilités sera de 1 comme le cas pour la probabilité.

Ainsi, la variable aléatoire géométrique avec une telle fonction de masse de probabilité est distribution géométrique.

En savoir plus sur Variable aléatoire continue

Attente de la variable aléatoire géométrique

Comme l'espérance est l'un des paramètres importants de la variable aléatoire, l'espérance de la variable aléatoire géométrique sera

E[X]=1/p

où p est la probabilité de succès.

depuis

soit la probabilité d'échec q = 1-p

Voir aussi 13 faits sur l'inégalité de Chebyshev et le théorème central limite

E[X]=qE[X]+1

(1-q)E[X]=1

pE[X]=1

ainsi nous obtenons

Ainsi, la valeur attendue ou la moyenne des informations données, nous pouvons suivre simplement la valeur inverse de la probabilité de succès dans une variable aléatoire géométrique.

Pour obtenir des détails sur Variable aléatoire normale

Variance et écart type de la variable aléatoire géométrique

De la même manière, nous pouvons obtenir l'autre variance importante des paramètres statistiques et l'écart type pour la variable aléatoire géométrique et il serait

Pour obtenir ces valeurs, nous utilisons la relation

Alors calculons d'abord

EX²]

définir q=1-p

ainsi nous avons

Variable aléatoire binomiale négative

Cet aléatoire tombe dans une autre variable aléatoire discrète en raison de la nature de sa fonction de masse de probabilité, de la variable aléatoire binomiale négative et de sa distribution à partir de n essai d'une expérience indépendante r succès doivent être obtenus initialement

En d'autres termes, une variable aléatoire avec une fonction de masse de probabilité ci-dessus est une variable aléatoire binomiale négative avec des paramètres (r, p), notez que si nous restreignons r = 1 la distribution binomiale négative se transforme en distribution géométrique, nous pouvons spécifiquement vérifier

Attente, variance et écart type de la variable aléatoire binomiale négative

La espérance et variance pour la variable aléatoire binomiale négative sera

avec l'aide de fonction de masse de la variable aléatoire binomiale négative et de la définition de l'espérance, nous pouvons écrire

ici Y n'est rien d'autre que la variable aléatoire binomiale négative maintenant mettre k = 1 nous obtiendrons

Ainsi pour la variance

Exemple: Si un dé est lancé pour obtenir 5 sur la face du dé jusqu'à ce que nous obtenions 4 fois cette valeur, trouvez l'espérance et la variance.Sine la variable aléatoire associée à cette expérience indépendante est la variable aléatoire binomiale négative pour r = 4 et la probabilité de succès p = 1/6 pour obtenir 5 en un seul lancer

comme nous le savons pour la variable aléatoire binomiale négative

Variable aléatoire hypergéométrique

Si nous choisissons en particulier un échantillon de taille n à partir d'un N total ayant deux types m et Nm, alors la variable aléatoire pour la première a été sélectionnée avec la fonction de masse de probabilité comme

par exemple supposons que nous ayons un sac dans lequel un échantillon de taille n livres pris au hasard sans remplacement contenant N livres dont m sont des mathématiques et Nm sont de la physique, si nous attribuons la variable aléatoire pour désigner le nombre de livres de mathématiques sélectionnés alors la masse de probabilité La fonction pour une telle sélection sera conforme à la fonction de masse de probabilité ci-dessus.

Voir aussi Géométrie de coordonnées 2D : 11 faits importants

En d'autres termes, la variable aléatoire avec la fonction de masse de probabilité ci-dessus est connue pour être la variable aléatoire hypergéométrique.

Découvrez notre article sur Variables aléatoires distribuées conjointement

Mise en situation : Parmi un grand nombre de composants électroniques, si 30% des lots ont quatre composants défectueux et 70% en ont un défectueux, à condition que la taille du lot soit de 10 et pour accepter le lot, trois composants aléatoires seront choisis et vérifiés si tous sont non défectueux alors lot sera sélectionné. Calculez cela à partir du lot total, quel pourcentage du lot est rejeté.

considérez ici que A est l'événement pour accepter le lot

N = 10, m = 4, n = 3

pour N=10, m=1, n=3

Ainsi, le lot de 46% sera rejeté.

Attente, variance et écart type de la variable aléatoire hypergéométrique

L'espérance, la variance et l'écart type de la variable aléatoire hypergéométrique avec les paramètres n, m et N seraient

ou pour la grande valeur de N

et l'écart type est la racine carrée de la variance.

En considérant la définition de la fonction de masse de probabilité de la fonction hypergéormétrique et l'espérance, nous pouvons l'écrire comme

ici en utilisant les relations et les identités des комбинации nous avons

ici Y joue le rôle de variable aléatoire hypergéométrique avec des paramètres respectifs maintenant si nous mettons k = 1 nous obtiendrons

Voir aussi Covariance, variance des sommes : 7 faits importants

E[X] = nm/N

et pour k = 2

donc la variance serait

pour p = m / N et

nous obtenons

pour une très grande valeur de N, il serait évidemment

Variable aléatoire Zeta (Zipf)

A variable aléatoire discrète est dit Zeta si sa fonction de masse de probabilité est donnée par

pour les valeurs positives de alpha.

De la même manière, nous pouvons trouver les valeurs de l'espérance, de la variance et de l'écart type.

De la même manière, en utilisant uniquement la définition de la fonction de masse de probabilité et l'espérance mathématique, nous pouvons résumer le nombre de propriétés pour chacune des variables aléatoires discrètes, par exemple les valeurs attendues des sommes de variables aléatoires comme

Pour les variables aléatoires

X $₁,X₂X₃…$

Conclusion:

Dans cet article, nous nous sommes principalement concentrés sur une variable aléatoire discrète supplémentaire, ses fonctions de masse de probabilité, sa distribution et les paramètres statistiques moyenne ou espérance, écart type et variance, La brève introduction et simple exemple dont nous avons discuté pour donner juste l'idée le détail l'étude reste à discuter Dans les prochains articles, nous passerons aux variables aléatoires continues et aux concepts liés à la variable aléatoire continue. Si vous souhaitez en savoir plus, consultez le lien suggéré ci-dessous. Pour plus de sujets sur les mathématiques, veuillez ceci lien.

Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
J'aime contribuer à Lambdageeks pour rendre les mathématiques simples, intéressantes et explicites pour les débutants comme pour les experts.