Distribution gamma : 7 propriétés importantes à connaître

Distribution gamma

L'une des variables aléatoires continues et de la distribution continue est la distribution Gamma.Comme nous le savons, la variable aléatoire continue traite des valeurs continues ou des intervalles, de même que la distribution Gamma avec fonction de densité de probabilité spécifique et fonction de masse de probabilité, dans la discussion successive que nous discutons dans détailler le concept, les propriétés et les résultats avec des exemples de variable aléatoire gamma et de distribution gamma.

Variable aléatoire gamma ou distribution gamma | qu'est-ce que la distribution gamma | définir la distribution gamma | fonction de densité de distribution gamma | fonction de densité de probabilité de distribution gamma | preuve de distribution gamma

Une variable aléatoire continue avec fonction de densité de probabilité

est connue pour être une variable aléatoire Gamma ou une distribution Gamma où α> 0, λ> 0 et la fonction gamma

on a la propriété très fréquente de fonction gamma par intégration par parties comme

Si nous continuons le processus à partir de n alors

et enfin la valeur de gamma de un sera

ainsi la valeur sera

cdf de distribution gamma | distribution gamma cumulée | intégration de la distribution gamma

La distribution cumulative fonction (cdf) de la variable aléatoire gamma ou simplement la fonction de distribution de la variable aléatoire gamma est la même que celle de la variable aléatoire continue à condition que la fonction de densité de probabilité soit différente, c'est-à-dire

ici la fonction de densité de probabilité est telle que définie ci-dessus pour la distribution gamma, la fonction de distribution cumulative que nous pouvons également écrire comme

dans les deux formats ci-dessus, la valeur de pdf est la suivante

où α> 0, λ> 0 sont des nombres réels.

Formule de distribution gamma | formule de distribution gamma | équation de distribution gamma | dérivation de la distribution gamma

Pour trouver la probabilité de la variable aléatoire gamma, la fonction de densité de probabilité que nous devons utiliser pour différentes données α> 0, λ> 0 est comme

et en utilisant le pdf ci-dessus, la distribution de la variable aléatoire gamma que nous pouvons obtenir par

Ainsi, la formule de distribution gamma nécessite la valeur pdf et les limites de la variable aléatoire gamma conformément à l'exigence.

Exemple de distribution gamma

montrer que la probabilité totale pour le distribution gamma est un avec la fonction de densité de probabilité donnée, c'est-à-dire

pour λ> 0, α> 0.
Solution:
en utilisant la formule de la distribution gamma

puisque la fonction de densité de probabilité pour la distribution gamma est

qui est zéro pour toute la valeur inférieure à zéro donc la probabilité sera maintenant

en utilisant la définition de la fonction gamma

et la substitution nous obtenons

ainsi

Moyenne et variance de la distribution gamma | espérance et variance de la distribution gamma | valeur attendue et variance de la distribution gamma | Moyenne de la distribution gamma | valeur attendue de la distribution gamma | attente de distribution gamma

Dans la discussion suivante, nous trouverons la moyenne et la variance de la distribution gamma à l'aide de définitions standard de l'espérance et de la variance des variables aléatoires continues,

Voir aussi Géométrie de coordonnées 2D : 11 faits importants

La valeur attendue ou la moyenne de la variable aléatoire continue X avec fonction de densité de probabilité

ou la variable aléatoire gamma X sera

moyenne de la preuve de distribution gamma | valeur attendue de la preuve de distribution gamma

Pour obtenir la valeur attendue ou la moyenne de la distribution gamma, nous suivrons la définition et la propriété de la fonction gamma,
d'abord par la définition de l'espérance de la variable aléatoire continue et de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire gamma, nous avons

en annulant le facteur commun et en utilisant la définition de la fonction gamma

maintenant que nous avons la propriété de la fonction gamma

la valeur de l'attente sera

ainsi la valeur moyenne ou attendue de la variable aléatoire gamma ou de la distribution gamma que nous obtenons est

variance de la distribution gamma | variance d'une distribution gamma

La variance de la variable aléatoire gamma avec la fonction de densité de probabilité donnée

ou la variance de la distribution gamma sera

variance de la preuve de distribution gamma

Comme nous savons que la variance est la différence des valeurs attendues comme

pour la distribution gamma, nous avons déjà la valeur de moyenne

calculons d'abord la valeur de E [X²], donc par définition de l'espérance pour la variable aléatoire continue, nous avons
puisque la fonction f (x) est la fonction de distribution de probabilité de la distribution gamma comme

donc l'intégrale sera de zéro à l'infini seulement

donc par définition de la fonction gamma on peut écrire

Ainsi, en utilisant la propriété de la fonction gamma, nous obtenons la valeur comme

Mettre maintenant la valeur de ces attentes dans

ainsi, la valeur de la variance de la distribution gamma ou de la variable aléatoire gamma est

Paramètres de distribution gamma | distribution gamma à deux paramètres | Distribution gamma variable

La distribution Gamma avec les paramètres λ>0, α>0 et la fonction de densité de probabilité

a la moyenne et la variance des paramètres statistiques comme

puisque λ est un nombre réel positif, pour simplifier et faciliter la manipulation, une autre façon est de définir λ = 1 / β, ce qui donne la fonction de densité de probabilité sous la forme

en bref la fonction de distribution ou la fonction de distribution cumulative pour cette densité que nous pouvons exprimer comme

cette fonction de densité gamma donne la moyenne et la variance comme

ce qui est évident par la substitution.
Les deux méthodes sont couramment utilisées soit la distribution gamma avec les paramètres α et λ notés par gamma (α, λ) ou la distribution gamma avec les paramètres β et λ notés gamma (β, λ) avec la moyenne et la variance des paramètres statistiques respectifs dans chacun des formulaires.
Les deux ne sont rien d'autre que la même chose.

Voir aussi Variable aléatoire normale : 3 faits importants

Diagramme de distribution gamma | graphe de distribution gamma | histogramme de distribution gamma

La nature de la distribution gamma, nous pouvons facilement visualiser à l'aide d'un graphique pour certaines des valeurs spécifiques des paramètres, ici nous dessinons les graphiques pour la fonction de densité de probabilité et la fonction de densité cumulative pour certaines valeurs de paramètres
prenons la fonction de densité de probabilité comme

alors la fonction de distribution cumulative sera

Description: graphiques pour la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution cumulative en fixant la valeur de alpha à 1 et en faisant varier la valeur de bêta.

Description: graphiques pour la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution cumulative en fixant la valeur de alpha à 2 et en faisant varier la valeur de bêta

Description: graphiques pour la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution cumulative en fixant la valeur de alpha à 3 et en faisant varier la valeur de bêta

Description: graphiques pour la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution cumulative en fixant la valeur de bêta à 1 et en faisant varier la valeur de alpha

Description: graphiques pour la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution cumulative en fixant la valeur de bêta à 2 et en faisant varier la valeur de alpha

Description: graphiques pour la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution cumulative en fixant la valeur de bêta à 3 et en faisant varier la valeur de alpha.

En général, différentes courbes comme pour l'alpha variant est

Table de distribution gamma | table de distribution gamma standard

La valeur numérique de la fonction gamma

connu sous le nom de valeurs numériques de fonction gamma incomplète comme suit

La valeur numérique de distribution gamma pour esquisser le graphique pour la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution cumulative pour certaines valeurs initiales sont les suivantes

1x	f (x), α = 1, β = 1	f (x), α = 2, β = 2	f (x), α = 3, β = 3	P (x), α = 1, β = 1	P (x), α = 2, β = 2	P (x), α = 3, β = 3
0	1	0	0	0	0	0
0.1	0.904837418	0.02378073561	1.791140927E-4	0.09516258196	0.001209104274	6.020557215E-6
0.2	0.8187307531	0.0452418709	6.929681371E-4	0.1812692469	0.00467884016	4.697822176E-5
0.3	0.7408182207	0.06455309823	0.001508062363	0.2591817793	0.01018582711	1.546530703E-4
0.4	0.670320046	0.08187307531	0.00259310613	0.329679954	0.01752309631	3.575866931E-4
0.5	0.6065306597	0.09735009788	0.003918896875	0.3934693403	0.02649902116	6.812970042E-4
0.6	0.5488116361	0.1111227331	0.005458205021	0.4511883639	0.03693631311	0.001148481245
0.7	0.4965853038	0.1233204157	0.007185664583	0.5034146962	0.04867107888	0.001779207768
0.8	0.4493289641	0.1340640092	0.009077669195	0.5506710359	0.06155193555	0.002591097152
0.9	0.4065696597	0.1434663341	0.01111227331	0.5934303403	0.07543918015	0.003599493183
1	0.3678794412	0.1516326649	0.01326909834	0.6321205588	0.09020401043	0.004817624203
1.1	0.3328710837	0.1586611979	0.01552924352	0.6671289163	0.1057277939	0.006256755309
1.2	0.3011942119	0.1646434908	0.01787520123	0.6988057881	0.1219013822	0.007926331867
1.3	0.272531793	0.1696648775	0.0202907766	0.727468207	0.1386244683	0.00983411477
1.4	0.2465969639	0.1738048563	0.02276101124	0.7534030361	0.1558049836	0.01198630787
1.5	0.2231301601	0.1771374573	0.02527211082	0.7768698399	0.1733585327	0.01438767797
1.6	0.201896518	0.1797315857	0.02781137633	0.798103482	0.1912078646	0.01704166775
1.7	0.1826835241	0.1816513461	0.03036713894	0.8173164759	0.2092823759	0.01995050206
1.8	0.1652988882	0.1829563469	0.03292869817	0.8347011118	0.2275176465	0.02311528775
1.9	0.1495686192	0.1837019861	0.03548626327	0.8504313808	0.2458550043	0.02653610761
2	0.1353352832	0.1839397206	0.03803089771	0.8646647168	0.2642411177	0.03021210849
2.1	0.1224564283	0.1837173183	0.04055446648	0.8775435717	0.2826276143	0.03414158413
2.2	0.1108031584	0.183079096	0.04304958625	0.8891968416	0.3009707242	0.03832205271
2.3	0.1002588437	0.1820661424	0.04550957811	0.8997411563	0.3192309458	0.04275032971
2.4	0.09071795329	0.1807165272	0.04792842284	0.9092820467	0.3373727338	0.04742259607
2.5	0.08208499862	0.179065498	0.05030071858	0.9179150014	0.3553642071	0.052334462
2.6	0.07427357821	0.1771456655	0.05262164073	0.9257264218	0.373176876	0.05748102674
2.7	0.06720551274	0.1749871759	0.05488690407	0.9327944873	0.3907853875	0.0628569343
2.8	0.06081006263	0.1726178748	0.05709272688	0.9391899374	0.4081672865	0.06845642568
2.9	0.05502322006	0.1700634589	0.05923579709	0.9449767799	0.4253027942	0.07427338744
3	0.04978706837	0.1673476201	0.0613132402	0.9502129316	0.4421745996	0.08030139707

trouver alpha et bêta pour la distribution gamma | comment calculer alpha et bêta pour la distribution gamma | estimation des paramètres de distribution gamma

Pour une distribution gamma trouvant alpha et bêta, nous prendrons la moyenne et la variance de la distribution gamma

Voir aussi Variable aléatoire binomiale : 3 faits intéressants à connaître

maintenant, nous obtiendrons la valeur de la version bêta en tant que

ainsi

en ne prenant que quelques fractions de la distribution gamma, nous obtiendrons la valeur alpha et bêta.

problèmes de distribution gamma et solutions | problèmes d'exemple de distribution gamma | tutoriel de distribution gamma | question de distribution gamma

1. Considérez que le temps nécessaire pour résoudre le problème pour un client est gamma distribué en heures avec une moyenne de 1.5 et une variance de 0.75 quelle serait la probabilité que le problème le temps de résolution dépasse 2 heures, si le temps dépasse 2 heures, quelle serait la probabilité que le problème soit résolu en au moins 5 heures.

sur mesure: puisque la variable aléatoire est distribuée gamma avec une moyenne de 1.5 et une variance de 0.75 afin que nous puissions trouver les valeurs de alpha et bêta et avec l'aide de ces valeurs la probabilité sera

P (X> 2) = 13e^-4= 0.2381

P (X> 5 | X> 2) = (61/13) e^-6= 0.011631

2. Si la rétroaction négative en semaine des utilisateurs est modélisée dans la distribution gamma avec les paramètres alpha 2 et bêta comme 4 après la rétroaction négative de 12 semaines est venue après la restructuration de la qualité, à partir de cette information, la restructuration peut-elle améliorer les performances?

sur mesure: Comme cela est modélisé en distribution gamma avec α = 2, β = 4

nous trouverons la moyenne et l'écart type comme μ = E (x) = α * β = 4 * 2 = 8

étant donné que la valeur X = 12 se situe dans l'écart-type de la moyenne, nous ne pouvons donc pas dire qu'il s'agit d'une amélioration ou non de la restructuration de la qualité, pour prouver que l'amélioration causée par les informations de restructuration fournies est insuffisante.

3. Soit X le distribution gamma avec les paramètres α=1/2, λ=1/2 , trouver la fonction de densité de probabilité pour la fonction Y=Racine carrée de X

Solution: calculons la fonction de distribution cumulative pour Y comme

maintenant la différenciation par rapport à y donne la fonction de densité de probabilité pour Y comme

et la plage pour y sera de 0 à l'infini

Conclusion:

Le concept de distribution gamma dans la probabilité et la statistique est celui de l'importante distribution quotidienne applicable de la famille exponentielle, tous les concepts de niveau de base à plus élevé ont été discutés jusqu'à présent liés à distribution gamma, si vous avez besoin de lectures supplémentaires, veuillez consulter les livres mentionnés. Vous pouvez également visiter mathématiques page pour plus de sujet

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Un premier cours de probabilité par Sheldon Ross
Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum
Une introduction aux probabilités et aux statistiques par ROHATGI et SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
J'aime contribuer à Lambdageeks pour rendre les mathématiques simples, intéressantes et explicites pour les débutants comme pour les experts.