Variable aléatoire discrète et espérance mathématique

Habituellement, nous ne sommes pas intéressés par tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire ou non aléatoire au lieu de cela, nous nous intéressons à une probabilité ou à une valeur numérique pour les événements favorables, par exemple supposons que nous lançons deux dés pour la somme 8 alors nous ne sommes pas intéressé par le résultat en tant que premier dé ayant 2 seconds dés comme 6 ou (3,5), (5,3), (4,4), (6,2), etc. de même pour l'expérience aléatoire de réservoir dans la vie quotidienne, nous ne sommes pas intéressés par l'augmentation ou la diminution quotidienne du niveau d'eau mais uniquement par le niveau d'eau de la saison des pluies après achèvement.

Ainsi, les quantités numériques qui nous intéressent sont considérées comme des variables aléatoires de l'expérience aléatoire respective. À cette fin, nous attribuons numériquement les valeurs réelles possibles aux résultats de l'expérience aléatoire. Pour illustrer l'attribution d'une valeur numérique au résultat, considérons l'expérience de lancer une pièce de monnaie, nous attribuons une valeur numérique 0 et 1 pour la tête et la traînée respectivement dans l'espace échantillon de l'expérience aléatoire. 

Variable aléatoire discrète

Variable aléatoire discrète peut être définie comme la variable aléatoire dont le nombre est fini ou dénombrable et ceux qui ne sont pas finis ou infinis dénombrables sont des variables aléatoires non discrètes. Pour chaque élément de l'espace échantillon auquel nous attribuons un nombre réel, cela peut être interprété en termes de fonction à valeur réelle notée X, c'est-à-dire X: S → R. Nous appelons cette fonction une variable aléatoire ou une fonction stochastique, qui a une certaine importance physique, géométrique ou autre.

Exemple: Considérons une expérience de lancer deux dés puis supposons une variable aléatoire ou fonction stochastique représentent la somme des points apparus sur les dés puis les valeurs possibles pour l'espace échantillon

S={(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5) , (1,6) ,

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

sera X = 2, pour (1,1)

X = 3 pour (1,2), (2,1) etc. de ce qui suit, nous pouvons comprendre facilement

Dans le tableau ci-dessus, les éléments diagonaux de droite à gauche donneront la somme exprimée par la variable aléatoire ou la fonction stochastique.

La probabilité pour la variable aléatoire respective peut être exprimée comme suit

Distribution de probabilité discrète

Distribution de probabilité discrète sont les probabilités des variables aléatoires qui sont de nature discrète, en particulier si x₁, X₂, X₃, X₄, ………., X_k sont les valeurs de variable aléatoire discrète X puis P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_k) sont les probabilités correspondantes.

Fonction de probabilité / distribution de probabilité que nous pouvons désigner par 

P (X = x) = f (x)

et suivant la définition de la probabilité, cette fonction satisfait les conditions suivantes.

1. f (x) ≥0
2. Σ f (x) = 1, où cette sommation est la somme totale pour x.

Mise en situation : Si une pièce est lancée deux fois, alors si nous exprimons le nombre de traînées comme une variable aléatoire X, alors ce serait 

Si nous prenons la bonne pièce, alors ce qui précède sera le résultat du lancer deux fois et la probabilité d'une telle variable aléatoire sera

P (X = 0) = P (H, H) = 1/4

P (X=1) = P (TH ou HT) = P (TH ∪ HT) = P ( TH) + P ( HT)=1/4+1/4=1/2

et P ( X = 2) = P (TT) = 1/4

Cette distribution de probabilité, nous pouvons tabuler comme suit

Fonction de distribution cumulative (cdf) / fonction de distribution

Nous définirons Fonction de distribution or Fonction de distribution cumulative (cdf) pour la variable aléatoire discrète X notée F (x), pour-∞≤x≤∞ comme

F (x) = P (X≤x)

À condition qu'il suive

1. Pour tout x,y , x≤y, F(x) ≤ F(y), c'est-à-dire que la fonction de distribution cumulative F(x) est non décroissante.
2. F (x) = 0 et F (x) = 1
3. F (x + h) = F (x), ∀ x ie. la fonction de distribution cumulative F (x) est continue à droite.

Depuis pour le variable aléatoire discrète probabilité pour X = x est P (X = x), pour x₁<X<x₂ sera P (x₁<X<x₂) et pour X≤x est P (X≤x).

Nous pouvons écrire la fonction de distribution pour la fonction de distribution discrète comme suit

nous pouvons obtenir la fonction de probabilité à partir de la fonction de distribution comme

P (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

Mise en situation : La probabilité pour la variable aléatoire discrète est donnée comme suit

Trouver F2, F5, F (7)?

Solution:

Attente mathématique 

   Espérance mathématique est un concept très important pour le théorie des probabilités ainsi que du point de vue statistique, elle est également connue sous le nom d'espérance ou valeur attendue, elle peut être définie comme la somme de variables aléatoires et ses probabilités en multiplication, c'est-à-dire si x₁, X₂, X₃, X₄, ……….X_n sont les valeurs de la variable aléatoire discrète X puis P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄),……….P(xn) sont les probabilités correspondantes alors espérance mathématique d'une variable aléatoire X noté E(x) comme

Mise en situation : A partir d'un paquet de 72 cartes numérotées de 1 à 72 à la fois 8 cartes sont tirées, trouvez la valeur attendue de la somme des nombres sur les billets tirés.

Solution:. considérer les variables aléatoires x₁, X₂, X₃, X₄,……….X_n représentant les cartes numérotées 1, 2, 3, 4, ………, 72

donc la probabilité d'une carte x sur 72 est 

P (x_i) = 1 / n = 1/72

depuis lors, l'attente sera

E (x) = x₁. (1 / n) + x₂. (1 / n) + x₃. (1 / n) + …………… + x_n. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Désormais, la valeur attendue pour 8 de ces cartes sera 

E (x) = x₁. (1 / n) + x₂. (1 / n) + x₃. (1 / n) + …………… + x₈. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

Variance, L'écart-type et Écart moyen par attente mathématique

La concepts importants de la statistique écart-type et variance nous pouvons exprimer en termes d'espérance mathématique, donc si les variables aléatoires x₁, X₂, X₃, X₄, ……….X_n avec les probabilités correspondantes P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_n) alors la variance sera

Mise en situation : Dans un jeu, si un bon dé est utilisé et le joueur gagnera si une valeur impaire vient sur les dés et le prix en argent sera donné Rs 20 si 1 vient, Rs 40 pour 3, et Rs 60 pour 5 et si une autre face des dés est venu Rs 10 perte pour le joueur. trouver l'argent attendu qui peut être gagné avec la variance et l'écart type.

Solution:

Pour les bons dés, nous connaissons la distribution des probabilités,

Soit X la variable aléatoire pour la conversion des dés selon les exigences du jeu, l'argent gagné ou perdu lorsque le visage est venu comme suit,

donc le montant attendu gagné par n'importe quel joueur sera

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

donc le montant attendu gagné par n'importe quel joueur serait μ = 15

Le résultat de l'espérance mathématique ainsi que la variance peuvent être généralisés pour plus de deux variables selon l'exigence.

Conclusion:

   Dans cet article, nous avons principalement discuté de la variable aléatoire discrète, de la distribution de probabilité et de la fonction de distribution connue sous le nom de fonction de distribution cumulative cdf, ainsi que du concept de Espérance mathématique pour une variable aléatoire discrète et quel serait l'écart moyen, la variance et l'écart type pour une telle variable aléatoire discrète est expliqué à l'aide d'exemples appropriés dans le prochain article, nous discuterons de la même chose pour la variable aléatoire continue, si vous voulez en savoir plus, passez à:

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Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
J'aime contribuer à Lambdageeks pour rendre les mathématiques simples, intéressantes et explicites pour les débutants comme pour les experts.