Déviation de la poutre | Aperçu complet et relations importantes

Contenu: Déviation de la poutre

• Définition de la courbe de déflexion
• Définition de l'angle de déflexion
• Définition de la déflexion
• Conditions aux limites de la déformation du faisceau
• Relation entre les forces de chargement, la force de cisaillement, le moment de flexion, la pente et la flèche
• Équations et relations de flexion de poutre
• Tableau de déviation des poutres et formules pour les cas de charge standard
• Déviation et pente de la poutre avec exemples Cas I: poutre en surplomb
• Cas II: Déterminer la flèche maximale de la poutre simplement supportée avec une charge ponctuelle au centre
• Cas III: Déterminer la flèche maximale d'une poutre simplement soutenue avec une charge ponctuelle concentrée à une distance 'a' du support A
• Méthode de double intégration
• Procédure pour la méthode de double intégration
• Méthode d'intégration double pour trouver la déviation du faisceau à l'aide de l'exemple d'un poutre en porte-à-faux avec charge uniformément répartie
• Double méthode d'intégration pour le chargement triangulaire

In ingénierie, déviation est le degré de déplacement d'un élément structurel sous une charge (en raison de sa déformation). Cela peut faire référence à un angle ou à une distance. La distance de déviation d'un élément sous une charge peut être calculée en intégrant la fonction qui décrit mathématiquement la pente de la forme déviée de l'élément sous cette charge. Des formules standard existent pour la déflexion des configurations de poutres communes et des cas de charge à des emplacements discrets. Sinon, des méthodes telles que le travail virtuel, l'intégration directe, la méthode de Castigliano, la méthode de Macaulay ou la méthode de rigidité directe sont utilisées.

Courbe de déflexion

Lorsque les poutres sont chargées par des charges latérales ou longitudinales, l'axe longitudinal droit initial est déformé en une courbe appelée courbe élastique ou courbe de déflexion de la poutre. La courbe de déflexion est l'axe déformé de la poutre sélectionnée.

Angle de déflexion

La pente peut être définie comme l'angle entre l'axe longitudinal de la poutre et la tangente construite à la courbe de déformation de la poutre à tout emplacement souhaité. C'est l'angle de rotation de l'axe neutre du faisceau. Il est mesuré en radians.

Déviation

La déflexion est la translation ou le déplacement d'un point quelconque sur l'axe de la poutre, mesuré dans la direction y depuis l'axe longitudinal droit initial jusqu'au point sur la courbe de déflexion de la poutre. Il est mesuré en mm. La déflexion représente la déviation de l'axe longitudinal rectiligne due au chargement transversal. En revanche, le flambement de la poutre représente la déviation de l'axe longitudinal droit initial dû à la charge de compression axiale. Il est généralement représenté par 'y '

Si la poutre se plie comme un arc de cercle, on parle de flexion circulaire; sinon, on parle de flexion non circulaire. Supposons qu'une poutre prismatique soit soumise à un moment de flexion variable. Dans ce cas, il en résulte une flexion de type non circulaire, et s'il est soumis à un moment de flexion constant, il en résulte une flexion circulaire de la poutre.

Conditions aux limites de la déformation du faisceau

1. y est égal à zéro sur un support de goupille ou de rouleau.
2. y est égal à zéro sur un support intégré ou en porte-à-faux.
3. Supposons que le moment de flexion et la rigidité en flexion sont des fonctions discontinues de x. Dans ce cas, une seule équation différentielle ne peut pas être écrite pour la poutre entière; les équations de la courbe pour deux segments adjacents doivent satisfaire les deux conditions données à la jonction entre segments:

• 1. Le y de la section de gauche doit être égal au y de la section de droite.
• 2. La pente de la section de gauche doit être égale à la pente de la section de droite.

Relation entre les forces de chargement, la force de cisaillement, le moment de flexion, la pente et la flèche

Considérons une poutre horizontale AB à l'état déchargé. Si AB dévie sous la charge, la nouvelle position sera A'B '. La pente en tout point C sera

je=\\frac{dy}{dx}

Habituellement, la déflexion est minime, et pour un petit rayon de courbure,

ds=dx=Rdi \\\\\\frac{di}{dx}=1/R

Mais\\;i=\\frac{dy}{dx}

Ainsi,

\\frac{d^2 y}{ dx^2}=1/R  

Selon la théorie du moment fléchissant simple

\\frac{M}{I}=\\frac{E}{R}

\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

Ainsi,

\\frac{d^2 y}{dx^2}=\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

Où,

E = module de Young du matériau

I = moment d'inertie de la zone

M = moment maximum

R = rayon de courbure de la poutre

C'est l'équation différentielle de base pour la déflexion de la poutre.

Équations et relations de flexion de poutre

Déflexion = y

Pente = \\frac{dy}{dx}

Moment de flexion =EI\\frac{d^2y}{dx^2}

Tondre\\; Force = EI\\frac{d^3y}{dx^3}

Charge \\;distribution =EI\\frac{d^4y}{dx^4}

Tableau de déviation des poutres et formules pour les cas de charge standard:

• La pente et la déflexion maximales dans une poutre en porte-à-faux se produisent à l'extrémité libre de la poutre, alors qu'aucune pente ou déviation n'est observée sur l'extrémité serrée d'une poutre en porte-à-faux.
•  Pour une poutre simplement soutenue avec des conditions de chargement symétriques, la déflexion maximale peut être trouvée au niveau de l'injecteur. La pente maximale peut être observée aux appuis de la poutre. La déflexion maximale se produit lorsque la pente est nulle.

Déviation et pente de la poutre avec exemples

Cas I: Poutre en surplomb

Considérons une poutre en acier en surplomb portant une charge concentrée P = 50 kN à l'extrémité C.

Pour la poutre en surplomb, (a) déterminer la pente et la flèche maximale, (b) évaluer la pente à 7 m de A et la flèche maximale à partir des données données I = 722 XNUMX cm² , E = 210 GPa.

Solution: Le diagramme du corps libre pour la poutre donnée est

La valeur de la réaction en A et B peut être calculée en appliquant les conditions d'équilibre

\\somme F_y=0\\;\\somme M_A=0

Pour l'équilibre vertical, F_y = 0

R_A + R_B = P

Prendre un moment sur A, le moment dans le sens des aiguilles d'une montre positif et le moment dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est pris négatif.

P(L+a)-R_B*L=0 \\\\R_B=P(1+a/L)

Ainsi,

R_A+P(1+\\frac{a}{L})=P

R_A= \\frac{-Pa}{L}

Considérons n'importe quelle section AD à une distance x du support A

Le moment au point D est

M= \\frac{-Pa}{Lx}

En utilisant l'équation différentielle de la courbe,

EI \\frac{d^2 y}{dx^2}= \\frac{-Pa}{L x}

En intégrant deux fois, nous obtenons

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+C_1……………..[1]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+C_1x+C_2……………..[2]

Nous trouvons les constantes d'intégration en utilisant les conditions aux limites dont nous disposons

À x = 0, y = 0; de l'équation [2] nous obtenons,

C_2 = 0

À x = L, y = 0; de l'équation [2] nous obtenons,

0=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*L^3+C_1*L+0

C_1= \\frac{PaL}{6}

Ainsi, l'équation de pente ainsi obtenue en substituant les valeurs de C₁ et C₂ en 1]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}…………….. [3]

Ainsi, l'équation de déflexion ainsi obtenue en substituant les valeurs de C₁ et C₂ en 2]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+\\frac{PaL}{6}x……………..[4]

La déflexion maximale a lieu lorsque la pente est nulle. Ainsi, l'emplacement du point de déviation maximale peut être trouvé à partir de [3]:

0= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}

 \\frac{1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2=\\frac{PaL}{6}

x_m=\\frac{L}{\\sqrt 3}

x_m = 0.577 L

Mettre la valeur de x dans l'équation [4]

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x_m^3+\\frac{PaL}{6}x_m

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*0.577 L^3+\\frac{PaL}{6}*0.577 L

y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

Évaluer la pente à 7m de A à partir de données données:

 I = 722 \\;cm^4=72210^{-8}\\; m^4 , E = 210\\; GPa = 210*10^9\\ ; Pennsylvanie

En utilisant l'équation [3]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2}  \\frac{50*10^3*4}{15 }*7^2+\\frac{50*10^3*4*15}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.5452 \\;radians

la déflexion maximale dans la poutre peut être donnée par

y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

y_{max}=0.064\\frac{50*10^3*4*15^2}{210*10^9*722*10^{-8}}

y_{max}=1.89 \\;m

Cas II: Déterminer la flèche maximale d'une poutre simplement soutenue avec une charge ponctuelle au centre.

Considérons une poutre en acier simplement supportée portant une charge concentrée F = 50 kN au point C.Pour la poutre simplement supportée, (a) évaluez la pente en A et la déformation maximale à partir des données données: je = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 15 m

La figure ci-dessous montre le FBD pour une poutre simplement supportée avec une charge ponctuelle dessus.

Selon les relations et la formule standard

La pente à l'extrémité de la poutre peut être donnée par

\\frac{dy}{dx}=\\frac{FL^2}{16EI}

\\frac{dy}{dx}=\\frac{50*10^3*15^2}{16*210*10^9*722*10^{-8}}

\\frac{dy}{dx}=0.463

Pour une poutre simplement supportée avec une charge ponctuelle agissant au centre, la flèche maximale peut être déterminée par

y_{max}=\\frac{FL^3}{48EI }

y_{max}=\\frac{50*10^3*15^3}{48*210*10^9*722*10^{-8} }

y_{max}=2.31 \\;m

Cas III: pour poutre simplement supportée avec une charge ponctuelle concentrée à une distance du support A

Considérons une poutre en acier simplement supportée portant une charge concentrée F = 50 kN au point C.Pour la poutre simplement supportée, (a) évaluez la pente en A et B et la déformation maximale à partir des données données: je = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 15 m, a = 7 mètres, b = 13 mètres

La figure ci-dessous montre le FBD pour une poutre simplement supportée avec une charge ponctuelle dessus.

Selon les relations et la formule standard

La pente au support A de la poutre peut être donnée par

\\theta_1=\\frac{Fb(L^2-b^2)}{6LEI}

\\theta_1=\\frac{50*10^3*13*(20^2-13^2)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}

\\theta_1=0.825 \\;radians 

La pente au support B de la poutre peut être donnée par

\\theta_2=\\frac{Fab(2L-b)}{6LEI}

\\theta_2=\\frac{50*10^3*7*13*(2*20-13)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}

\\theta_2=0.675 \\;radians

Pour une poutre simplement supportée avec une charge ponctuelle agissant au centre, la flèche maximale peut être déterminée par

y_{max}=\\frac{50*10^3*13}{48*210*10^9*722*10^{-8} }*(3*15^2-4*13^2)

y_{max}=-8.93*10^{-3}\\; m=-8.93\\;mm

Méthode de double intégration

Si la rigidité en flexion EI est constante et que le moment est fonction de la distance x, Intégration de EI (d² y) / (dx² ) = M donnera Slope

EI \\frac{dy}{dx}=\\int M dx+C_1

EIy=\\int \\int Mdxdx+C_1x+C_2

où C₁ et C₂ sont des constantes. Ils sont déterminés en utilisant les conditions aux limites ou d'autres conditions sur la poutre. L'équation ci-dessus donne la déflexion y en fonction de x; on l'appelle l'équation de la courbe d'élasticité ou de déformation.

La méthode d'analyse ci-dessus de la déflexion et de la pente de la poutre est connue sous le nom de méthode à double intégration pour calculer les déflexions de la poutre. Si le moment de flexion et la rigidité en flexion sont des fonctions continues de x, une seule équation différentielle peut être notée pour l'ensemble de la poutre. Pour un faisceau statiquement déterminé, il y a deux réactions d'appui; chacun impose un ensemble donné de contraintes sur la pente de la courbe élastique. Ces contraintes sont appelées conditions aux limites et sont utilisées pour déterminer les deux constantes d'intégration.

Conditions aux limites de la méthode de double intégration

1. y est égal à zéro sur un support de goupille ou de rouleau.
2. y est égal à zéro sur un support intégré ou en porte-à-faux.
3. Supposons que le moment de flexion et la rigidité en flexion sont des fonctions discontinues de x. Dans ce cas, une seule équation différentielle ne peut pas être écrite pour la poutre entière; les équations de la courbe pour deux segments adjacents doivent satisfaire les deux conditions données à la jonction entre segments:

• 1. Le y de la section de gauche doit être égal au y de la section de droite.
• 2. La pente de la section de gauche doit être égale à la pente de la section de droite.

Procédure pour la méthode de double intégration

• Dessinez la courbe élastique de la poutre et considérez toutes les conditions aux limites nécessaires, telles que y est nul sur un support de goupille ou de rouleau et y est égal à zéro sur un support intégré ou en porte-à-faux.
• Déterminez le moment de flexion M à une distance arbitraire x du support en utilisant la méthode des sections. Utilisez les règles de moment de flexion appropriées tout en recherchant le moment M. pour un moment discontinu, les équations de la courbe pour deux segments adjacents doivent satisfaire les deux conditions données à la jonction entre les segments: 1. Le y pour la partie gauche doit être égal à y pour la section de droite. 2. La pente de la section de gauche doit être égale à la pente de la section de droite.
• Intégrez l'équation deux fois pour obtenir la pente et la déviation, et n'oubliez pas de trouver l'intégration constante pour chaque section en utilisant des conditions aux limites.

Exemples de méthode de double intégration pour trouver la déflexion du faisceau

Considérez la poutre en porte-à-faux de longueur L illustrée dans la figure ci-dessous avec une charge uniformément répartie. Dans une poutre en porte-à-faux, une extrémité est fixe tandis qu'une autre extrémité est libre de se déplacer. Nous dériverons l'équation de la pente et du moment de flexion pour cette poutre en utilisant la méthode d'intégration Double.

Le moment de flexion agissant à la distance x de l'extrémité gauche peut être obtenu comme suit:

M=-wx* \\frac{x}{2}

En utilisant l'équation différentielle de la courbe,

\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}

S'intégrer une fois que nous obtenons,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]

En intégrant l'équation [1], nous obtenons,

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

Les constantes des intégrations peuvent être obtenues en utilisant les conditions aux limites,

À x = L, dy / dx = 0; puisque le soutien à A résiste aux mouvements. Ainsi, à partir de l'équation [1], nous obtenons,

C_1=\\frac{wL^3}{6}

À x = L, y = 0, pas de déflexion au support ou à l'extrémité fixe A Ainsi, à partir de l'équation [2], on obtient,

0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2

C_2= \\frac{-wL^4}{8}

 En substituant la valeur de la constante dans [1] et [2], nous obtenons de nouveaux ensembles d'équations comme

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]

évaluer la pente à x = 12 m et la déformation maximale à partir des données données: je = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

D'après les équations ci-dessus: à x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;radians

De l'équation [4]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}

210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}

y=-0.064 \\;m

Double méthode d'intégration pour le chargement triangulaire

Considérez la poutre simplement supportée de longueur L illustrée dans la figure ci-dessous avec un chargement triangulaire. Nous dériverons l'équation de la pente et du moment de flexion pour cette poutre en utilisant la méthode d'intégration Double.

Le chargement étant symétrique, chaque réaction d'appui supportera la moitié du chargement total. On trouve que la réaction en A et B est wL / 4.

Moment en tout point à une distance x de R_A is

M=\\frac{wL}{4} x- \\frac{wx^2}{L}\\frac{x}{3}=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x ^3 ) 

 \\frac{d^2 y}{dx^2}=M=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x^3 ) 

Intégrer deux fois nous donnera les équations,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1...........................[1]

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+C_1 x+C_2……..[2]

À x = 0, y = 0; de l'équation [2] nous obtenons,

C_2 = 0

En raison de la symétrie de la charge, la pente à mi-portée est nulle. Ainsi, dy / dx = 0 à x = L / 2

0=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2*L^2}{2*4}-(L^4/16))+C_1

C_1=\\frac{-5wL^3}{192}

En substituant la valeur des constantes dans [1] et [2], nous obtenons,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}...........................[3]

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192} x……..[4]

La flèche maximale sera observée au centre du faisceau. c'est-à-dire à L / 2

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2(L/2)^3}{2}-\\frac{(L/2)^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192}(L/2)

EIy_{max}=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^5}{16}-\\frac{L^5}{160})+\\frac{-5wL^4}{384}

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

évaluer la pente à x = 12 m et la valeur maximale de y à partir de données données: je = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

D'après les équations ci-dessus: à x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}=\\frac{20}{12*20}(\\frac{3*20^2*12^2}{2}-12^4)+\\frac{-5*20*20^3}{192}

\\frac{dy}{dx}=8.60*10^{-4 } \\;radians

De l'équation [4]

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

210*10^9*722*10^{-8}*y=\\frac{-20*20^4}{120}

y=-0.01758\\;m

Pour connaître la résistance du matériau (cliquez ici )et méthode de la zone de moment Cliquez ici.

Hakimuddin Bawangaonwala

Je m'appelle Hakimuddin Bawangaonwala, ingénieur en conception mécanique avec une expertise en conception et développement mécaniques. J'ai terminé un M. Tech en ingénierie de conception et j'ai 2.5 ans d'expérience en recherche. Jusqu'à présent publiés, deux articles de recherche sur le tournage dur et l'analyse par éléments finis des appareils de traitement thermique. Mon domaine d'intérêt est la conception de machines, la résistance des matériaux, le transfert de chaleur, l'ingénierie thermique, etc. Maîtrise des logiciels CATIA et ANSYS pour la CAO et l'IAO. En dehors de la recherche.