Variable aléatoire continue | Sa distribution importante

Variable aléatoire continue, types et sa distribution

     La variable aléatoire qui prend les valeurs finies ou infinies dénombrables est connue sous le nom de variable aléatoire discrète et sa paire avec la probabilité forme la distribution de la variable aléatoire discrète. Maintenant, pour la variable aléatoire qui prend les valeurs comme indénombrables, quelle serait la probabilité et les caractéristiques restantes dont nous allons discuter. Ainsi, en bref, la variable aléatoire continue est la variable aléatoire dont l'ensemble de valeurs est indénombrable. L'exemple réel de la variable aléatoire continue est la durée de vie des composants électriques ou électroniques et l'arrivée d'un véhicule public spécifique sur les arrêts, etc.

Variable aléatoire continue et fonction de densité de probabilité

                Variable aléatoire  sera une variable aléatoire continue si pour une fonction réelle non négative f sur x et B ⊆  et  

    \ [P \ left \ {X \ in B \ right \} = \ int_ {B} f (x) dx \]

cette fonction f est connue sous le nom de Fonction de densité de probabilité  de la variable aléatoire X donnée.

La fonction de densité de probabilité satisfait évidemment les axiomes de probabilité suivants

    \[1. \ \ f (x) \ geq 0 \]

    \ [2. \ \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx = 1 \]

Puisque d'après les axiomes de la probabilité, nous savons que la probabilité totale est un, donc

\ 1 = P [X \ in (- \ infty, \ infty)] = \ \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx \

Pour la variable aléatoire continue, la probabilité sera calculée en fonction d'une telle fonction f, supposons que nous voulions trouver la probabilité pour l'intervalle continu, disons [a, b] alors ce serait

P \ left {a \ leq X \ leq b \ right} = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx

Comme nous le savons, l'intégration représente l'aire sous la courbe, donc cette probabilité montre une aire pour la probabilité comme

Variable aléatoire continue | Sa distribution importante
Variable aléatoire continue

en égalant a = b la valeur sera

P {\ left {X = a \ right}} = \ int_ {a} ^ {a} f (x) dx = 0

et de la même manière, la probabilité pour la valeur inférieure ou égale à la valeur spécifique en suivant celle-ci sera

P \ left {X <a \ right} = P \ left {X \ leq a \ right} = F (a) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx

Mise en situation : Le temps de travail continu du composant électronique est exprimé sous forme de variable aléatoire continue et la fonction de densité de probabilité est donnée par

x = \ begin {cases} \ lambda e ^ {- x / 100} & \ x \ geq 0 \ 0 & \ x \ geq 0 \ end {cases}

trouver la probabilité que le composant fonctionne efficacement entre 50 et 150 heures et la probabilité de moins de 100 heures.

puisque la variable aléatoire représente la variable aléatoire continue, la fonction de densité de probabilité donnée dans la question donne la probabilité totale comme

1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx = \ lambda \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x / 100} dx

Nous obtiendrons donc la valeur de λ

1=-\lambda (100)e^{-x/100}\lvert_{\infty }^{0}=100\lambda

λ = 1/100

pour la probabilité de 50 heures à 150 heures, nous avons

P \ left {50 <X <150 \ right} = \ int_ {50} ^ {150} \ frac {1} {100} e ^ {- x / 100} dx

= - e ^ {- x / 100} \ lvert_ {150} ^ {50}

=e^{-1/2} -e^{-3/2}\approx .384

de la même manière, la probabilité inférieure à 100 sera

P \ left {X <100 \ right} = \ int_ {0} ^ {100} \ frac {1} {100} e ^ {- x / 100} dx

= - e ^ {- x / 100} \ lvert_ {0} ^ {100}

= 1- e ^ {- 1} \ environ 633

Mise en situation : Le périphérique informatique a un nombre de chipsets dont la durée de vie est donnée par la fonction de densité de probabilité

f (x) = \ begin {cases} 0 & \ x \ leq 100 \ \ frac {100} {x ^ {2}} & \ x> 100 \ end {cases}

puis après 150 heures, trouvez la probabilité que nous devions remplacer 2 chipsets sur un total de 5 puces.

considérons Ei être l'événement pour remplacer le chipset i-ème. donc la probabilité d'un tel événement sera

P (E_ {i}) = \ int_ {0} ^ {150} f (x) dx

=100\int_{100}^{150} x^{-2}dx =\frac{1}{3}

comme fonctionnant de toutes les puces indépendantes de sorte que la probabilité que 2 soient remplacées sera

p(X) = \binom{5}{2} (\frac{1}{3})^{2}(\frac{2}{3})^{3}=\frac{80}{243}

Fonction de distribution cumulative

  La fonction de distribution cumulative pour la variable aléatoire continue est définie à l'aide de la fonction de distribution de probabilité comme

F (x) = P (X \ leq x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} f (u) du

sous une autre forme

F (a) = P (X \ in (- \ infty, a)) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx

nous pouvons obtenir la fonction de densité de probabilité à l'aide de la fonction de distribution comme

\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} F (a) = f (a)

Espérance mathématique et variance de la variable aléatoire continue

Attente

L'espérance mathématique ou la moyenne de la variable aléatoire continue  avec fonction de densité de probabilité  peut être défini comme

E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) dx

  • Pour toute fonction réelle de la variable aléatoire continue X, l'espérance sera

E [g (X)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f (x) dx

où g est la fonction réelle valorisée.

  1. Pour toute variable aléatoire continue Y non négative, l'espérance sera

E [Y] = \ int_ {0} ^ {\ infty} P \ left {Y> y \ right} dy

  • Pour toutes les constantes a et b

E [aX + b] = aE [X] + b

Variance

                La variance de la variable aléatoire continue X avec le paramètre moyen ou espérance  peut être définie de la même manière qu'une variable aléatoire discrète est

Var (X) = E [(X - \ mu) ^ {2}]

Var (X) = E [X ^ {2}] - (E [X]) ^ {2}

Pour toutes les constantes a et b

Var (aX + b) = a ^ {2} Var (X)

   La preuve de toutes les propriétés d'espérance et de variance ci-dessus, nous pouvons facilement obtenir en suivant simplement les étapes que nous avons dans la variable aléatoire discrète et les définitions de l'espérance, de la variance et de la probabilité en termes de variable aléatoire continue

Mise en situation : Si la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire continue X est donnée par

f (x) = \ begin {cases} 2x & \ if \ \ 0 \ leq x \ leq 1 \ 0 & \ sinon \ end {cases}

puis trouvez l'espérance et la variance de la variable aléatoire continue X.

Solution:  Pour la fonction de densité de probabilité donnée

f (x) = \ begin {cases} 2x & \ if \ \ 0 \ leq x \ leq 1 \ 0 & \ sinon \ end {cases}

la valeur attendue par la définition sera

E [X] = \ int xf (x) dx = \ int_ {0} ^ {1} 2 x ^ {2} dx = \ frac {2} {3}

Maintenant, pour trouver la variance dont nous avons besoin EX2]

E [X ^ {2}] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} f (x) dx = \ int_ {0} ^ {1} 2 x ^ {3} dx = \ frac {1} {2}

Depuis que

Var (X) = E [X ^ {2}] - (E [X]) ^ {2}

so

Var (X) = \ frac {1} {2} - (\ frac {2} {3}) ^ {2} = \ frac {1} {18}

Variable aléatoire uniforme

    Si la variable aléatoire continue X a la fonction de densité de probabilité donnée par

f (x) = \ begin {cases} 1 & \ 0 <x <1 \\ 0 & \ sinon \ end {cases}

sur l'intervalle (0,1) alors cette distribution est connue sous le nom de distribution uniforme et la variable aléatoire est connue sous le nom de variable aléatoire uniforme.

  • Pour toutes les constantes a et b telles que 0

P \ left {a \ leq X \ leq b \ right} = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx = ba

  • Au lieu de l'intervalle (0,1), nous pouvons généraliser la distribution uniforme à n'importe quel intervalle général (α, β)  si la fonction de densité de probabilité pour la variable aléatoire est

f (x) = \ begin {cases} \ frac {1} {\ beta - \ alpha} & \ if \ \ \ alpha

Variable aléatoire continue
Variable aléatoire continue: variable aléatoire uniforme

Attente et variance de la variable aléatoire uniforme

      Pour la variable aléatoire X uniformément continue sur l'intervalle général (α, β) l'espérance par la définition sera

E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) dx

= \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ frac {x} {\ beta - \ alpha} dx

= \ frac {\ beta ^ {2} - \ alpha ^ {2}} {2 (\ beta - \ alpha)}

= \ frac {\ beta + \ alpha} {2}

et la variance que nous obtiendrons si nous trouvons d'abord EX2]

E [X ^ {2}] = \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ frac {x ^ {2}} {\ beta - \ alpha} dx

= \ frac {\ beta ^ {3} - \ alpha ^ {3}} {3 (\ beta - \ alpha)}

= \ frac {\ beta ^ {2} + \ beta \ alpha + \ alpha ^ {2}} {3}

so

Var (X) = \ frac {\ beta ^ {2} + \ beta \ alpha + \ alpha ^ {2}} {3} - \ frac {(\ alpha + \ beta) ^ {2}} {4}

= \ frac {(\ beta - \ alpha) ^ {2}} {12}

Exemple: Dans une gare particulière, les trains pour la destination donnée arrivent avec une fréquence de 15 minutes à 7 heures du matin. et quelle sera la probabilité pendant plus de 7 minutes.

Solution: Comme le temps de 7 à 7.30 h 0 est réparti uniformément pour que le passager se trouve à la gare, notez cela par une variable aléatoire uniforme X. de sorte que l'intervalle sera (30, XNUMX)

Étant donné que pour obtenir le train dans les 5 minutes, le passager doit être à la gare entre 7.10h7.15 et 7.25h7.30 ou XNUMXhXNUMX à XNUMXhXNUMX, la probabilité sera donc

P \ left {10 <X <15 \ right} + P \ left {25 <X <30 \ right} = \ int_ {10} ^ {15} \ frac {1} {30} dx + \ int_ {25} ^ {30} \ frac {1} {30} dx

= 1 / 3

De la même manière, pour obtenir le train après avoir attendu plus de 10 minutes, le passager doit être à la gare de 7h à 7.05h7.15 ou de 7.20hXNUMX à XNUMXhXNUMX, donc la probabilité sera

P \ gauche {0 <X <5 \ droite} + P \ gauche {15 <X <20 \ droite} = \ frac {1} {3}

Mise en situation : Trouvez la probabilité pour la variable aléatoire uniforme X distribuée sur l'intervalle (0,10)

pour X <3, X> 6 et 3

Solution: puisque la variable aléatoire est donnée comme uniformément distribuée, les probabilités seront

P \ left \ {X <3 \ right \} = \ int_ {0} ^ {3} \ frac {1} {10} dx = \ frac {3} {10}

P \ left {X> 6 \ right} = \ int_ {6} ^ {10} \ frac {1} {10} dx = \ frac {4} {10}

P \ left {3 <X <8 \ right} = \ int_ {3} ^ {8} \ frac {1} {10} dx = \ frac {1} {2}

Exemple: (Paradoxe de Bertrands) Pour tout accord aléatoire d'un cercle. quelle serait la probabilité que la longueur de cette corde aléatoire soit plus grande que le côté du triangle équilatéral inscrit dans le même cercle.

Ce problème n'a pas de jeu par rapport à la corde aléatoire, ce problème a donc été reformulé en termes de diamètre ou d'angle, puis la réponse était de 1/3.

Conclusion:

   Dans cet article, le concept de variable aléatoire continue et sa distribution avec la fonction de densité de probabilité ont été discutés et la moyenne du paramètre statistique, la variance pour la variable aléatoire continue est donnée. La variable aléatoire uniforme et sa distribution avec exemple est donnée qui est le type de variable aléatoire continue dans l'article suivant, nous allons nous concentrer sur certains types importants de variable aléatoire continue avec des exemples et des propriétés appropriés. , si vous voulez plus de lecture, passez par:

Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

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À propos de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque , Maître de Conférences en Mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l'immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
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