Équation de continuité : 7 concepts importants

Liste de contenu

• Équation de continuité
• Forme différentielle d'équation de continuité
• Équation de continuité pour écoulement incompressible
• Équation de continuité pour un écoulement coplanaire bidimensionnel
• Exemple d'équation de continuité
• Questions et réponses
• Mcq
• Conclusion

Équation de continuité

Le fluide s'écoulant à travers le tube d'écoulement est supposé être le fluide idéal. Il n'y a pas d'écoulement à travers la ligne de rationalisation. Cela signifie que le fluide entre à une extrémité et sort à l'autre extrémité, il n'y a pas de sortie intermédiaire. Tenez compte de la condition d'écoulement à la section d'entrée 1-1 comme ci-dessous,

La masse de fluide qui s'écoule entre ces deux sections considérées est donnée par la formule suivante,

dm = (AV ? dt ) – ( ​​A + dA ) ( V+ dV ) ( ? + d? ) dt Eq … 1

en simplifiant l'équation ci-dessus, nous obtenons,

dm/dt = – (AV d? + V ? dA + A ? dV) Eq … 2

Comme nous savons qu'un débit constant signifie un débit massique constant, cela signifie ici dm / dt = 0. Maintenant Eq. 2 tourné comme ci-dessous,

(AV d? + V ? dA + A ? dV) = 0 Eq … 3

Maintenant, divisez l'équation. 3 avec ? AV, l'équation sera comme,

( d?/? ) + ( dA/A ) + ( dV/V ) = 0 Eq … 4

d ( ? AV ) = 0 Éq … 5

? AV = équation constante … 6

Ici, l'Eq. 6 nous fait savoir que la masse de fluide traversant le tube d'écoulement est constante à chaque section.

Supposons que le fluide soit incompressible (liquide), alors la densité du fluide ne changera à aucun moment. Cela signifie que la densité du fluide est constante.

AV = constante

A₁ V₁ = A₂ V₂                                                                                                                           Éq… 7

Eq. 7 représente l'équation de continuité pour un écoulement incompressible constant à l'intérieur du tube d'écoulement. L'équation de continuité donne une compréhension de base de l'aire et de la vitesse. Le changement de l'aire de la section transversale affecte la vitesse de l'écoulement à l'intérieur du tube d'écoulement, du tuyau, du canal creux, etc. Ici, ce qui est excitant est un produit de la vitesse et de l'aire de la section transversale. Ce produit est constant en tout point du tube d'écoulement. La vitesse est inversement proportionnelle à la surface de la section transversale du tube ou de la canalisation.

Forme différentielle d'équation de continuité

Pour dériver la forme différentielle de l'équation de continuité, considérez un objet comme indiqué sur la figure. Les dimensions sont dx, dy et dz. Il y a quelques hypothèses pour cette formation. La masse de fluide n'est ni créée ni détruite, pas de cavité ni de bulles dans le fluide (écoulement continu). Nous considérons dx dans la direction x, dy dans y et dz dans les directions z pour faciliter la dérivation.

Si u est la vitesse d'écoulement du fluide selon la face illustrée sur la figure. On suppose que la vitesse est uniforme sur toute la surface de la section transversale de la face. La vitesse du fluide à la surface 1-2-3-4 est u. à présent; la surface 5-6-7-8 est à une distance dx éloignée de 1-2-3-4. Ainsi, la vitesse à 5-6-7-8 est donnée comme

u + ∂u / ∂x dx

Comme on sait qu'il y a changement de densité en utilisant un fluide compressible. Si le fluide compressible traverse un objet, la densité changera.

Le débit massique entrant dans l'objet est donné comme

Débit massique = ? UN V

Débit massique = ? Dt AV

Le fluide entrant sur 1-2-3-4

Fluide d'entrée = densité (surface * vitesse) dt

Fluide d'entrée = ρ u dy dz dt

Éq… 1

Le fluide partant du 5-6-7-8

Liquide de sortie

fluide de sortie = [ρu+ ∂/∂x (ρu)dx] dy dz dtt

Éq… 2

Maintenant, la différence entre le fluide d'entrée et le fluide de sortie est la masse restée dans la direction x du flux.

= ρ u dy dz dt- [ρu + ∂ / ∂x (ρu) dx] dy dz dt

= - ∂ / ∂x (ρu) dx dy dz dt

Éq… 3

De même, nous considérons la masse de fluide dans la direction y et z est donnée comme ci-dessous,

= - ∂ / ∂y (ρv) dx dy dz dt

Éq… 4

= - ∂ / ∂z (ρw) dx dy dz dt

Éq… 5

Ici, v et w sont les vitesses du fluide dans les directions y et z, respectivement.

Pour le débit massique de fluide dans les trois directions, les axes sont donnés par l'addition de l'Eq. 3, 4 et 5. Il est donné sous la masse totale de fluide,

= - [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt

Éq… 6

Le taux de changement de masse dans l'objet est donné par,

∂m / ∂t dt = ∂ / ∂t (ρ × volume) dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Éq… 7

Selon la compréhension de la conservation de masse Eq. 6 égal à Eq. 7

- [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

En résolvant l'équation ci-dessus et en la simplifiant, nous obtenons,

∂ρ / ∂t + ∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw) = 0

Éq… 8

Eq. 8 est. Équation de continuité pour l'écoulement général. Il peut être stable ou instable, compressible ou incompressible.

Équation de continuité pour écoulement incompressible

Si l'on considère que le flux est stable et incompressible. On sait que dans le cas d'un écoulement stationnaire ??/?t = 0. Si l'écoulement est incompressible, alors la densité ? reste constant. Ainsi, en considérant cette condition, l'équation. 8 peut être écrit comme,

∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Équation de continuité pour un écoulement coplanaire bidimensionnel

Dans un flux bidimensionnel, il existe deux directions x et y. Alors, u vitesse dans la direction x et v vitesse dans la direction y. Il n'y a pas de direction z, donc la vitesse dans la direction z est nulle. En considérant ces conditions, l'Eq. 8 tourné comme ci-dessous,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

Écoulement compressible

∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0 

Débit incompressible, la densité est nulle

Exemple d'équation de continuité

Il y a un flux d'air dans le tuyau au débit de 0.25 kg / s à une pression absolue de 2.25 bar et à une température de 300 K. Si la vitesse d'écoulement est de 7.5 m / s, quel sera le diamètre minimum du tuyau?

Les données,

m = 0.25 kg / s,

P = 2.25 bar,

T = 300K,

V = 7.5 m / s,

Calculez la densité de l'air,

P = ? RT

? = P/RT

? = (2.25 * 10⁵ ) / (287 * 300) = 2.61 kg / m³

Débit massique d'air,

m = ? UN V

UNE = m /? V

A = 0.25 / (2.61 * 7.5) = 0.012 m²

Comme nous connaissons ce domaine,

A = D² / 4

D = √ ((A * 4) / π)

D = √ ((0.012 * 4) / 3.14)

D = 0.127 m = 12.7 cm

Un jet d'eau vers le haut laisse la pointe de la buse à la vitesse de 15 m / s. Le diamètre de la buse est de 20 mm. supposons qu'il n'y ait aucune perte d'énergie pendant le fonctionnement. Quel sera le diamètre du jet d'eau à 5 m au-dessus de la pointe de la buse.

Ans.

Tout d'abord, imaginez le système; l'écoulement est dans une direction verticale.

Les données,

V1 = vitesse du jet à la pointe de la buse

V2 = vitesse du jet à 5 m au-dessus de la pointe de la buse

De même, les zones A1 et A2.

Nous avons l'équation générale du mouvement comme ci-dessous,

〖V2〗^2-〖V1〗^2=2 g s

〖V2〗^2-〖15〗^2=2*(-9.8)*5

V2 = 11.26 m / s

Maintenant, appliquez l'équation de continuité,

A1 V1 = A2 V2

A2 = (A1 V1) / V2

A2 = ((π / 4) * (0.02) ^ 2 * 15) /11.26=4.18* 10 ^ -4 m ^ 2

π / 4 * 〖d2〗 ^ 2 = 4.18 * 10 ^ -4 m ^ 2

Diamètre = 0.023 m = 23 mm

Questions et réponses

Quelle est la différence entre l'équation de continuité et l'équation de Navier Stokes?

Les fluides, par définition, peuvent s'écouler mais ils sont fondamentalement incompressibles dans la nature. Le équation de continuité est une conséquence du fait que ce qui entre dans un tuyau / tuyau doit également se libérer. Ainsi, à la fin, la surface multipliée par la vitesse à l'extrémité d'un tuyau / tuyau doit rester constante.

Dans une conséquence nécessaire si la surface du tuyau / tuyau diminue, la vitesse du fluide doit également augmenter pour maintenir le débit constant.

Tandis que le Équation de Navier-Stokes décrit les relations entre la vitesse, la pression, les températures et la densité d'un fluide en mouvement. Cette équation est généralement associée à diverses formes d'équations différentielles. Habituellement, c'est assez complexe à résoudre analytiquement.

Sur quoi repose l'équation de continuité?

L'équation de continuité dit que le volume de fluide entrant dans le tuyau de toute section doit être égal au volume de fluide quittant l'autre côté de la section transversale, ce qui signifie que le débit doit être constant et doit suivre la relation

Supposons que le fluide soit incompressible (liquide), alors la densité du fluide ne changera à aucun moment. Cela signifie que la densité du fluide est constante.

AV = constante

Débit = A₁ V₁ = A₂ V₂

À quoi sert l'équation de continuité?

Équation de continuité a de nombreuses applications dans le domaine de l'hydrodynamique, de l'aérodynamique, de l'électromagnétisme, de la mécanique quantique. C'est un concept important pour la règle fondamentale du principe de Bernoulli, il est indirectement impliqué dans le principe et les applications de l'aérodynamique.

L'équation de continuité exprime une loi de conservation locale en fonction du contexte. Il s'agit simplement d'un énoncé mathématique à la fois subtile et très puissant concernant la conservation locale de quantités spécifiques.

L'équation de continuité est-elle valable pour le flux supersonique?

Oui, il peut être utilisé pour un flux supersonique. Il peut être utilisé pour d'autres flux tels que hypersonique, supersonique et subsonique. La différence est que vous devez utiliser la forme conservatrice de l'équation.

Quelle est la forme tridimensionnelle de l'équation de continuité pour un écoulement incompressible constant?

Si l'on considère que le flux est stable et incompressible. On sait que dans le cas d'un écoulement stationnaire ??/?t = 0. Si l'écoulement est incompressible, alors la densité ? reste constant. Ainsi, en considérant cette condition, l'équation. 8 peut être écrit comme,

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Quelle est la forme 3D de l'équation de continuité pour un écoulement compressible et incompressible constant?

Dans un flux bidimensionnel, il existe deux directions x et y. Donc, u vitesse dans la direction x et v vitesse dans la direction y. Il n'y a pas de direction z, donc la vitesse dans la direction z est nulle. En considérant ces conditions, l'Eq. 8 tourné comme ci-dessous,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0

Questions à choix multiple

Laquelle des propositions suivantes est une forme d'équation de continuité?

1. v₁ A₁ = v₂ A₂
2. v₁ t₁ = v₂ t₂
3. V / t
4. v₁ / UNE₁ = v₂ / UNE₂

Que donne l'équation de continuité au concept de mouvement d'un fluide idéal?

1. À mesure que la section transversale augmente, la vitesse augmente.
2. Lorsque la section transversale diminue, la vitesse augmente.
3. Lorsque la section transversale diminue, la vitesse diminue.
4. À mesure que la section transversale augmente, le volume diminue.
5. À mesure que le volume augmente, la vitesse diminue.

L'équation de continuité repose sur le principe de

a) conservation de la masse

b) conservation de l'élan

c) conservation de l'énergie

d) conservation de la force

Deux diamètres de tuyau similaires de d convergent pour obtenir un tuyau de diamètre D. Quelle peut être l'observation entre d et D ?. La vitesse d'écoulement dans le nouveau tuyau sera le double de celle de chacun des deux tuyaux?

a) ré = ré

b) D = 2d

c) D = 3d

d) D = 4d

Les tuyaux de différents diamètres d1 et d2 convergent pour obtenir un tuyau de diamètre 2d. Si la vitesse du liquide dans les deux tuyaux est v1 et v2, quelle sera la vitesse d'écoulement dans le nouveau tuyau?

a) v1 + v2

b) v1 + v2 / 2

c) v1 + v2 / 4

d) 2 (v1 + v2)

Conclusion

Cet article comprend les dérivations d'équation de continuité avec leurs différentes formes et conditions. Des exemples de base et des questions sont donnés pour une meilleure compréhension du concept de l'équation de continuité.

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En savoir plus Principes scientifiques.

Dr Deepakkumar Jani

Je m'appelle Deepak Kumar Jani, je poursuis un doctorat en mécanique et énergie renouvelable. J'ai cinq ans d'expérience en enseignement et deux ans en recherche. Mes domaines d'intérêt sont le génie thermique, l'ingénierie automobile, la mesure mécanique, le dessin technique, la mécanique des fluides, etc. J'ai déposé un brevet sur « L'hybridation de l'énergie verte pour la production d'électricité ». J'ai publié 17 articles de recherche et deux livres.
Je suis heureux de faire partie de Lambdageeks et j'aimerais présenter une partie de mon expertise de manière simpliste aux lecteurs.
Outre les universitaires et la recherche, j'aime me promener dans la nature, capturer la nature et sensibiliser les gens à la nature.
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