Car la variable aléatoire dépendante les unes des autres nécessite le calcul des probabilités conditionnelles dont nous avons déjà parlé, nous allons maintenant discuter de quelques paramètres supplémentaires pour de telles variables aléatoires ou des expériences telles que l'espérance conditionnelle et la variance conditionnelle pour différents types de variables aléatoires.
Attente conditionnelle
La définition de la fonction de masse de probabilité conditionnelle de la variable aléatoire discrète X étant donné Y est
ici pY(y)>0 , donc la condition espérance pour la variable aléatoire discrète X étant donné Y lorsque pY (y)>0 est
dans l'attente ci-dessus probabilité est le conditionnel probabilité.
De la même manière, si X et Y sont continus, la fonction de densité de probabilité conditionnelle de la variable aléatoire X étant donné Y est
où f(x,y) est la fonction de densité de probabilité jointe et pour tout yfY(y)>0 , donc l'espérance conditionnelle pour la variable aléatoire X étant donné y sera
pour tous yfY(y)>0.
Comme nous savons que tous les les propriétés de probabilité sont applicables aux conditions probabilité même est le cas pour l'espérance conditionnelle, toutes les propriétés de l'espérance mathématique sont satisfaites par l'espérance conditionnelle, par exemple l'espérance conditionnelle de la fonction de la variable aléatoire sera
et la somme des variables aléatoires dans l'espérance conditionnelle sera
Espérance conditionnelle pour la somme des variables aléatoires binomiales
Pour trouver le conditionnel espérance de la somme des variables aléatoires binomiales X et Y avec des paramètres n et p qui sont indépendants, on sait que X+Y sera aussi une variable aléatoire binomiale avec les paramètres 2n et p, donc pour la variable aléatoire X sachant X+Y=m l'espérance conditionnelle sera obtenue en calculant la probabilite
puisque nous savons que
ainsi l'espérance conditionnelle de X étant donné X+Y=m est
Mise en situation :
Trouver l'espérance conditionnelle
si l'articulation fonction de densité de probabilité de variables aléatoires continues X et Y sont donnés comme
Solution:
Pour calculer l'espérance conditionnelle, nous avons besoin d'une fonction de densité de probabilité conditionnelle, donc
puisque pour la variable aléatoire continue le conditionnels. l'attente est
par conséquent, pour la fonction de densité donnée, l'espérance conditionnelle serait
Attente par conditionnement||Attente par attente conditionnelle
On peut calculer le attente mathématique à l'aide de l'espérance conditionnelle de X étant donné Y comme
pour les variables aléatoires discrètes ce sera
qui peut être obtenu comme
et pour l'aléatoire continu, nous pouvons montrer de la même manière
Mise en situation :
Une personne est piégée dans son immeuble sous terre car l'entrée est bloquée en raison d'une charge lourde. Heureusement, il y a trois canalisations d'où elle peut sortir, la première canalisation l'emmène en toute sécurité après 3 heures, la deuxième après 5 heures et la troisième canalisation après 7 heures, si l'un de ces pipelines est également choisi par lui, alors quelle serait l'heure à laquelle il sortira en toute sécurité.
Solution:
Soit X la variable aléatoire qui désigne le temps en heures jusqu'à ce que la personne sorte en toute sécurité et Y désigne le tuyau qu'il choisit initialement, donc
depuis
Si la personne choisit le deuxième tuyau , il y passe 5 heures mais il sort avec le temps prévu
donc l'attente sera
Espérance de la somme d'un nombre aléatoire de variables aléatoires à l'aide de l'espérance conditionnelle
Soit N le nombre aléatoire de variable aléatoire et la somme des variables aléatoires est alors l'attente
depuis
as
ainsi
Corrélation de la distribution bivariée
Si la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire bivariée X et Y est
De
alors la corrélation entre la variable aléatoire X et Y pour la distribution bivariée avec fonction de densité est
puisque la corrélation est définie comme
puisque l'espérance utilisant l'espérance conditionnelle est
pour la distribution normale, la distribution conditionnelle X étant donné Y a une moyenne
maintenant l'espérance de XY étant donné Y est
cela donne
d'où
Variation de la distribution géométrique
Dans la distribution géométrique, effectuons successivement des essais indépendants qui aboutissent à un succès avec une probabilité p , Si N représente le moment du premier succès dans ces successions alors la variance de N comme par définition sera
Soit la variable aléatoire Y=1 si le premier essai aboutit à un succès et Y=0 si le premier essai aboutit à un échec, maintenant pour trouver l'espérance mathématique ici, nous appliquons l'espérance conditionnelle comme
depuis
si le succès est au premier essai alors N=1 et N2=1 si l'échec se produit dans le premier essai, alors pour obtenir le premier succès, le nombre total d'essais aura la même distribution que 1, c'est-à-dire le premier essai qui aboutit à un échec avec plus le nombre nécessaire d'essais supplémentaires,
Ainsi, l'attente sera
puisque l'espérance de la distribution géométrique est so
d'où
et
E
donc la variance de la distribution géométrique sera
Attente du minimum de séquence de variables aléatoires uniformes
La séquence de variables aléatoires uniformes U1, ELLE EST2 … .. sur l'intervalle (0, 1) et N est défini comme
alors pour l'espérance de N, pour tout x ∈ [0, 1] la valeur de N
nous allons définir l'espérance de N comme
pour trouver l'espérance, nous utilisons la définition de l'espérance conditionnelle sur une variable aléatoire continue
conditionnant maintenant pour le premier terme de la suite nous avons
ici nous obtenons
le nombre restant de variables aléatoires uniformes est le même au point où la première valeur uniforme est y, en commençant, puis nous allions ajouter des variables aléatoires uniformes jusqu'à ce que leur somme dépasse x − y.
donc en utilisant cette valeur d'espérance, la valeur de l'intégrale sera
si on différencie cette équation
et
maintenant intégrer cela donne
d'où
la valeur de k=1 si x=0 , donc
m
et m(1) =e, le nombre attendu de variables aléatoires uniformes sur l'intervalle (0, 1) qui doivent être additionnées jusqu'à ce que leur somme dépasse 1, est égal à e
Probabilité utilisant l'espérance conditionnelle || probabilités utilisant le conditionnement
Nous pouvons également trouver la probabilité en utilisant l'espérance conditionnelle comme l'espérance que nous avons trouvée avec l'espérance conditionnelle, pour obtenir cela, considérons un événement et une variable aléatoire X comme
de la définition de cette variable aléatoire et de l'attente clairement
maintenant par attente conditionnelle dans un sens quelconque nous avons
Mise en situation :
calculer le fonction de masse de la variable aléatoire X , si U est la variable aléatoire uniforme sur l'intervalle (0,1), et considérons la distribution conditionnelle de X sachant U=p comme binomial de paramètres n et p.
Solution:
Pour la valeur de U la probabilité par conditionnement est
nous avons le résultat
donc nous allons obtenir
Mise en situation :
quelle est la probabilité de X < Y, si X et Y sont les variables aléatoires continues avec des fonctions de densité de probabilité fX et fY respectivement.
Solution:
En utilisant l'espérance conditionnelle et la probabilité conditionnelle
as
Mise en situation :
Calculer la distribution de la somme des variables aléatoires indépendantes continues X et Y.
Solution:
Pour trouver la distribution de X+Y, nous devons trouver la probabilité de la somme en utilisant le conditionnement comme suit
Conclusion:
L'espérance conditionnelle pour la variable aléatoire discrète et continue avec différents exemples en considérant certains des types de ces variables aléatoires discutés à l'aide de la variable aléatoire indépendante et de la distribution conjointe dans différentes conditions. exemples, si vous avez besoin de lectures supplémentaires, parcourez les livres ci-dessous ou pour plus d'articles sur les probabilités, veuillez suivre notre Pages de mathématiques.
https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution
Un premier cours de probabilité par Sheldon Ross
Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum
Une introduction aux probabilités et aux statistiques par ROHATGI et SALEH
Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
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