- Contenu
- Distribution conditionnelle
- Distribution conditionnelle discrète
- Exemple de distribution conditionnelle discrète
- Distribution conditionnelle continue
- Exemple de distribution conditionnelle continue
- Distribution conditionnelle de la distribution normale bivariée
- Distribution de probabilité conjointe de la fonction de variables aléatoires
- Exemples sur la distribution de probabilité conjointe de la fonction de variables aléatoires
Distribution conditionnelle
Il est très intéressant de discuter du cas conditionnel de la distribution lorsque deux variables aléatoires suivent la distribution satisfaisant l'une étant donnée l'autre, on voit d'abord brièvement la distribution conditionnelle à la fois dans le cas des variables aléatoires, discrètes et continues puis après avoir étudié quelques prérequis nous nous concentrons sur le attentes conditionnelles.
Distribution conditionnelle discrète
À l'aide de la fonction de masse de probabilité conjointe dans la distribution conjointe, nous définissons la distribution conditionnelle pour les variables aléatoires discrètes X et Y en utilisant la probabilité conditionnelle pour X étant donné Y comme distribution avec la fonction de masse de probabilité
à condition que la probabilité du dénominateur soit supérieure à zéro, en similaire, nous pouvons l'écrire comme
dans la probabilité conjointe, si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes, cela se transformera en
donc la distribution conditionnelle discrète ou la distribution conditionnelle pour les variables aléatoires discrètes X étant donné Y est la variable aléatoire avec la fonction de masse de probabilité ci-dessus de la même manière pour Y étant donné X que nous pouvons définir.
Exemple de distribution conditionnelle discrète
- Trouvez le fonction de masse de probabilité d'une variable aléatoire X étant donné Y = 1, si la fonction de masse de probabilité conjointe pour les variables aléatoires X et Y a des valeurs telles que
p(0,0)=0.4 , p(0,1)=0.2, p(1,0)= 0.1, p(1,1)=0.3
Maintenant tout d'abord pour la valeur Y = 1 nous avons
donc en utilisant la définition de la fonction de masse de probabilité
nous avons
et
- obtenir la distribution conditionnelle de X étant donné X + Y = n, où X et Y sont des distributions de Poisson avec les paramètres λ1 et λ2 et X et Y sont des variables aléatoires indépendantes
Puisque les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, la distribution conditionnelle aura donc la fonction de masse de probabilité comme
puisque la somme de la variable aléatoire de Poisson est à nouveau poisson, donc
ainsi la distribution conditionnelle avec la fonction de masse de probabilité ci-dessus sera une distribution conditionnelle pour de telles distributions de Poisson. Le cas ci-dessus peut être généralisé pour plus de deux variables aléatoires.
Distribution conditionnelle continue
La distribution conditionnelle continue de la variable aléatoire X étant donné y déjà définie est la distribution continue avec la fonction de densité de probabilité
la densité du dénominateur est supérieure à zéro, ce qui pour la fonction de densité continue est
ainsi la probabilité d'une telle fonction de densité conditionnelle est
De la même manière qu'en discret si X et Y sont indépendants en continu alors aussi
et donc
afin que nous puissions l'écrire comme
Exemple de distribution conditionnelle continue
- Calculer la fonction de densité conditionnelle de la variable aléatoire X donnée Y si la fonction de densité de probabilité conjointe avec l'intervalle ouvert (0,1) est donnée par
Si pour la variable aléatoire X donnée Y à l'intérieur de (0,1), alors en utilisant la fonction de densité ci-dessus, nous avons
- Calculer la probabilité conditionnelle
si la fonction de densité de probabilité conjointe est donnée par
Pour trouver la probabilité conditionnelle, nous avons d'abord besoin de la fonction de densité conditionnelle, donc par définition, ce serait
en utilisant maintenant cette fonction de densité dans la probabilité probabilite conditionnelle is
Distribution conditionnelle de la distribution normale bivariée
Nous savons que la distribution normale bivariée des variables aléatoires normales X et Y avec les moyennes et les variances respectives en tant que paramètres a la fonction de densité de probabilité conjointe
donc trouver la distribution conditionnelle pour une telle distribution normale bivariée pour X donné Y est défini en suivant la fonction de densité conditionnelle de la variable aléatoire continue et la fonction de densité conjointe ci-dessus, nous avons
En observant cela, nous pouvons dire que cela est normalement distribué avec la moyenne
et variance
de la même manière la fonction de densité conditionnelle pour Y étant donné X déjà défini va simplement intervertir les positions des paramètres de X avec Y,
La fonction de densité marginale pour X que nous pouvons obtenir à partir de la fonction de densité conditionnelle ci-dessus en utilisant la valeur de la constante
substituons dans l'intégrale
la fonction de densité sera maintenant
puisque la valeur totale de
par la définition de la probabilité donc la fonction de densité sera maintenant
qui n'est rien d'autre que la fonction de densité de la variable aléatoire X avec la moyenne et la variance habituelles comme paramètres.
Distribution de probabilité conjointe de la fonction de variables aléatoires
Jusqu'à présent, nous connaissons la distribution de probabilité conjointe de deux variables aléatoires, maintenant si nous avons des fonctions de ces variables aléatoires, quelle serait la distribution de probabilité conjointe de ces fonctions, comment calculer la fonction de densité et de distribution parce que nous avons des situations réelles où nous avoir des fonctions des variables aléatoires,
Si O1 Andy2 sont les fonctions des variables aléatoires X1 et X2 respectivement qui sont conjointement continues, alors la fonction de densité continue conjointe de ces deux fonctions sera
De Jacobien
Andy1 =g1 (X1X2) Andy2 =g2 (X1X2) pour certaines fonctions g1 et g2 . Ici g1 et g2 satisfait les conditions du jacobien comme continu et ont des dérivées partielles continues.
Maintenant, la probabilité pour de telles fonctions de variables aléatoires sera
Exemples sur la distribution de probabilité conjointe de la fonction de variables aléatoires
- Trouver la fonction de densité conjointe des variables aléatoires Y1 =X1 +X2 Andy2=X1 -X2 , où X1 et X2 sont la fonction de densité de probabilité conjointe continue et conjointe. discutez également de la nature différente de la distribution.
Ici, nous allons d'abord vérifier Jacobian
depuis g1(x1, X2) = x1 +x2 et g2(x1, X2) = x1 - X2 so
simplifier Y1 =X1 +X2 Andy2=X1 -X2 , pour la valeur de X1 = 1/2 (Oui1 +Y2 ) et X2 = Y1 -Y2 ,
si ces variables aléatoires sont des variables aléatoires uniformes indépendantes
ou si ces variables aléatoires sont des variables aléatoires exponentielles indépendantes avec des paramètres usuels
ou si ces variables aléatoires sont des variables aléatoires normales indépendantes, alors
- Si X et Y sont les variables normales standard indépendantes telles que données
calculer la distribution conjointe pour les coordonnées polaires respectives.
Nous convertirons par la conversion habituelle X et Y en r et θ comme
donc les dérivées partielles de ces fonctions seront
donc le jacobien utilisant ces fonctions est
si les deux variables aléatoires X et Y sont supérieures à zéro, la fonction de densité conjointe conditionnelle est
maintenant la conversion de la coordonnée cartésienne en coordonnée polaire en utilisant
donc la densité de probabilité fonction pour les valeurs positives seront
pour les différents комбинации de X et Y les fonctions de densité de manière similaire sont
maintenant à partir de la moyenne des densités ci-dessus, nous pouvons énoncer la fonction de densité comme
et la fonction de densité marginale à partir de cette densité conjointe de coordonnées polaires sur l'intervalle (0, 2π)
- Trouvez la fonction de densité conjointe pour la fonction de variables aléatoires
U = X + Y et V = X / (X + Y)
où X et Y sont les distribution gamma avec les paramètres (α + λ) et (β +λ) respectivement.
En utilisant la définition de distribution gamma et fonction de distribution conjointe, la fonction de densité pour la variable aléatoire X et Y sera
considérer les fonctions données comme
g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),
donc la différenciation de ces fonctions est
maintenant le Jacobien est
après avoir simplifié les équations données, les variables x=uv et y=u(1-v) la fonction de densité de probabilité est
nous pouvons utiliser la relation
- Calculer la fonction de densité de probabilité conjointe pour
Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- X2 , Y3 =X1 - X3
où les variables aléatoires X1 , X2, X3 sont la norme variables aléatoires normales.
Calculons maintenant le jacobien en utilisant des dérivées partielles de
Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- X2 , Y3 =X1 - X3
as
simplification pour les variables X1 X2 et X3
X1 = (O1 + O2 + O3) / 3, X2 = (O1 - 2 ans2 + O3) / 3, X3 = (O1 + O2 -2 ans3) / 3
nous pouvons généraliser la fonction de densité articulaire comme
donc nous avons
pour la variable normale, la fonction de densité de probabilité conjointe est
d'où
où se trouve l'index
calculer la fonction de densité conjointe de Y1 …… On et fonction de densité marginale pour Yn De
et Xi sont des variables aléatoires exponentielles indépendantes à distribution identique de paramètre λ.
pour les variables aléatoires de la forme
Y1 =X1 , Y2 =X1 + X2 , ……, Ouin =X1 + ……+Xn
le jacobien sera de la forme
et donc sa valeur est un, et la fonction de densité conjointe pour la variable aléatoire exponentielle
et les valeurs de la variable Xi ce sera
donc la fonction de densité articulaire est
Maintenant, pour trouver la fonction de densité marginale de Yn nous intégrerons un par un comme
et
de même
si nous continuons ce processus, nous obtiendrons
qui est la fonction de densité marginale.
Conclusion:
La distribution conditionnelle pour la variable aléatoire discrète et continue avec différents exemples considérant certains des types de ces variables aléatoires discutés, où la variable aléatoire indépendante joue un rôle important. De plus l'articulation distribution pour la fonction des variables aléatoires continues conjointes également expliqué avec des exemples appropriés, si vous avez besoin d'une lecture plus approfondie, consultez les liens ci-dessous.
Pour plus d'articles sur les mathématiques, veuillez consulter notre Page de mathématiques
Wikipédiahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org
Un premier cours de probabilité par Sheldon Ross
Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum
Une introduction aux probabilités et aux statistiques par ROHATGI et SALEH
Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
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