Dans la théorie des probabilités, le L'inégalité de Chebyshev & le théorème central limite traitent des situations où nous voulons trouver la distribution de probabilité de la somme d'un grand nombre de variables aléatoires dans des conditions approximativement normales. Avant de regarder les théorèmes limites, nous voyons certaines des inégalités, qui fournissent les limites des probabilités si le moyenne et la variance est connue.
L'inégalité de Markov
L'inégalité de Markov pour la variable aléatoire X qui ne prend qu'une valeur positive pour a>0 est
pour prouver cela pour a>0 considérer
Depuis que
maintenant en tenant compte de cette inégalité, nous obtenons
la raison est
ce qui donne l'inégalité de Markov pour a>0 comme
L'inégalité de Chebyshev
Pour le fini moyenne et variance de la variable aléatoire X l'inégalité de Chebyshev pour k>0 est
où sigma et mu représentent la variance et la moyenne de la variable aléatoire, pour le prouver, nous utilisons le L'inégalité de Markov comme variable aléatoire non négative
pour la valeur de a comme carré constant, d'où
cette équation est équivalente à
aussi clairement
Exemples d'inégalités de Markov et Chebyshev :
- Si la production d'un article spécifique est prise comme variable aléatoire pour la semaine avec une moyenne de 50 , trouvez la probabilité de production dépassant 75 en une semaine et quelle serait la probabilité si la production d'une semaine est comprise entre 40 et 60 à condition que la variance pour la semaine c'est 25 ?
Solution : Considérons la variable aléatoire X pour la production de l'article pendant une semaine puis pour trouver la probabilité de production dépassant 75 nous utiliserons L'inégalité de Markov as
Maintenant, la probabilité pour la production entre 40 et 60 avec une variance 25, nous allons utiliser L'inégalité de Chebyshev as
so
cela montre que la probabilité pour la semaine si la production est comprise entre 40 et 60 est de 3/4.
2. Montrez que le l'inégalité de Tchebychev qui fournit la limite supérieure de la probabilité n'est pas particulièrement proche de la valeur réelle de la probabilité.
Solution:
Considérons que la variable aléatoire X est uniformément distribuée avec une moyenne de 5 et une variance de 25/3 sur l'intervalle (0,1) puis par le l'inégalité de Tchebychev nous pouvons écrire
mais la probabilité réelle sera
ce qui est loin de la probabilité réelle, de même si nous prenons la variable aléatoire X comme normalement distribuée avec moyenne et variance alors L'inégalité de Chebyshev sera
mais la probabilité réelle est
Loi faible des grands nombres
La loi faible pour la séquence de variables aléatoires sera suivie du résultat que L'inégalité de Chebyshev peut être utilisé comme outil pour les preuves par exemple pour prouver
si la variance est nulle c'est-à-dire que les seules variables aléatoires ayant des variances égales à 0 sont celles qui sont constantes avec une probabilité 1 donc par L'inégalité de Chebyshev pour n supérieur ou égal à 1
as
par la continuité de la probabilité
ce qui prouve le résultat.
pour le prouver, nous supposons que la variance est également finie pour chaque variable aléatoire de la séquence, de sorte que l'espérance et la variance
maintenant de la L'inégalité de Chebyshev la borne supérieure de la probabilité comme
qui pour n tendant vers l'infini sera
Théorème central limite
La théorème de la limite centrale est l'un des résultats importants de la théorie des probabilités car il donne la distribution à la somme des grands nombres qui est approximativement normale distribution en plus de la méthode pour trouver les probabilités approximatives pour les sommes de variables aléatoires indépendantes, le théorème central limite montre également que les fréquences empiriques de tant de populations naturelles présentent des courbes normales moyennes en forme de cloche, Avant de donner l'explication détaillée de ce théorème, nous utilisons le résultat
« Si la séquence de variables aléatoires Z1,Z2,…. ont la fonction de distribution et la fonction génératrice de moment comme FZn et Mzn puis
Théorème central limite: Pour la séquence de variables aléatoires identiques et indépendantes X1,X2,……. dont chacun ayant la moyenne μ et variance σ2 puis la distribution de la somme
tend vers la normale standard lorsque n tend vers l'infini pour que a soit des valeurs réelles
Preuve : Pour prouver le résultat, considérez la moyenne comme nulle et la variance comme un, c'est-à-dire =0 & σ2=1 et le fonction génératrice de moment pour Xi existe et de valeur finie donc la fonction génératrice de moment pour la variable aléatoire Xi/√n sera
hene la fonction génératrice des moments pour la somme ΣXi/√n sera
Prenons maintenant L(t)=logM(t)
so
pour montrer la preuve, nous montrons d'abord
en montrant sa forme équivalente
depuis
par conséquent, cela montre le résultat pour le zéro moyen et la variance 1, et ce même résultat suit pour le cas général également en prenant
et pour chaque a nous avons
Exemple du théorème central limite
Pour calculer la distance en années-lumière d'une étoile depuis le laboratoire d'un astronome, il utilise certaines techniques de mesure mais à cause du changement d'atmosphère à chaque fois, la distance mesurée n'est pas exacte mais avec une certaine erreur afin de trouver la distance exacte qu'il envisage de parcourir. observer en continu dans une séquence et la moyenne de ces distances comme distance estimée, S'il considère les valeurs de mesure identiquement réparties et variable aléatoire indépendante de moyenne d et de variance 4 années-lumière, trouver le nombre de mesures à faire pour obtenir l'erreur de 0.5 dans la valeur estimée et réelle ?
Solution : Considérons les mesures comme les variables aléatoires indépendantes dans la séquence X1,X2,…….Xn donc par le Théorème central limite nous pouvons écrire
qui est l'approximation de la norme distribution normale donc la probabilité sera
donc pour obtenir la précision de la mesure à 95 pour cent, l'astronome doit mesurer n* distances où
donc à partir de la table de distribution normale, nous pouvons l'écrire comme
qui dit que la mesure doit être effectuée 62 fois, cela peut également être observé à l'aide de L'inégalité de Chebyshev en prenant
donc l'inégalité donne
donc pour n=16/0.05=320 ce qui donne la certitude qu'il n'y aura que 5 % d'erreur dans la mesure de la distance de l'étoile au laboratoire d'observations.
2. Le nombre d'étudiants admis en cours d'ingénieur est Poisson distribué avec une moyenne de 100, il a été décidé que si les étudiants admis sont 120 ou plus l'enseignement se fera en deux sections sinon dans une seule section, quelle sera la probabilité qu'il y aura être deux sections pour le cours?
Solution : En suivant la distribution de Poisson, la solution exacte sera
ce qui n'est évidemment pas donner la valeur numérique particulière, Si nous considérons la variable aléatoire X comme les étudiants admis alors par le théorème de la limite centrale
qui peut être
qui est la valeur numérique.
3. Calculez la probabilité que la somme sur dix dés lors du lancer soit comprise entre 30 et 40 dont 30 et 40 ?
Solution : Ici en considérant le dé comme Xi pour dix valeurs de i. la moyenne et la variance seront
suivant ainsi la théorème de la limite centrale nous pouvons écrire
qui est la probabilité requise.
4. Pour les variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées Xi sur l'intervalle (0,1) quelle sera l'approximation de la probabilité
Solution : Grâce à la distribution Unifrom, nous savons que la moyenne et la variance seront
Maintenant en utilisant le théorème de la limite centrale nous pouvons
ainsi la somme de la variable aléatoire sera de 14 pour cent.
5. Trouver la probabilité pour l'évaluateur de l'examen de donner des notes sera de 25 examens en commençant 450 min s'il y a 50 examens dont le temps de notation est indépendant avec une moyenne de 20 min et un écart type de 4 min.
Solution : Considérez le temps nécessaire pour noter l'examen par la variable aléatoire Xi donc la variable aléatoire X sera
puisque cette tâche pour l'examen 25 est dans 450 min donc
ici en utilisant le théorème de la limite centrale
qui est la probabilité requise.
Théorème central limite pour les variables aléatoires indépendantes
Pour la séquence qui n'est pas identiquement distribuée mais ayant des variables aléatoires indépendantes X1,X2,……. dont chacun a la moyenne et la variance σ2 à condition qu'il satisfasse
- chaque Xi est uniformément borné
- somme des variances est infinie, alors
Loi forte des grands nombres
La loi forte des grands nombres est un concept très crucial de la théorie des probabilités qui dit que la moyenne de la séquence d'une variable aléatoire communément distribuée avec probabilité un convergera vers la moyenne de cette même distribution
Déclaration: Pour la séquence de façon identique distribué et variables aléatoires indépendantes X1,X2,……. dont chacun ayant la moyenne finie avec probabilité un alors
Preuve : Pour prouver cela, considérons que la moyenne de chacune des variables aléatoires est nulle et que la série
maintenant pour cela considérer la puissance de ceci comme
après avoir pris le développement des termes de droite, nous avons les termes de la forme
puisque ce sont des indépendants, la moyenne de ceux-ci sera
avec l'aide de la combinaison de la paire, l'expansion de la série sera maintenant
depuis
so
nous obtenons
cela suggère l'inégalité
d'où
Par la convergence de la série puisque la probabilité de chaque variable aléatoire est de un donc
depuis
si la moyenne de chaque variable aléatoire n'est pas égale à zéro, alors avec un écart et une probabilité de un, nous pouvons l'écrire comme
or
qui est le résultat requis.
Inégalité unilatérale de Chebyshev
L'inégalité unilatérale de Chebysheve pour la variable aléatoire X avec une moyenne nulle et une variance finie si a>0 est
pour prouver cela, considérons pour b>0 la variable aléatoire X comme
qui donne
donc en utilisant le L'inégalité de Markov
ce qui donne l'inégalité requise. pour la moyenne et la variance, nous pouvons l'écrire comme
Ceci peut encore être écrit comme
Mise en situation :
Trouvez la borne supérieure de la probabilité que la production de l'entreprise qui est distribuée au hasard soit d'au moins 120, si la production de cette certaine entreprise a une moyenne de 100 et une variance de 400.
Solution:
Utilisation d'un côté inégalité de Tchebychev
cela donne donc la probabilité de la production dans une semaine au moins 120 est 1/2, maintenant la limite pour cette probabilité sera obtenue en utilisant L'inégalité de Markov
qui montre la borne supérieure de la probabilité.
Mise en situation :
Cent paires sont tirées de deux cents personnes ayant cent hommes et cent femmes trouvent la borne supérieure de la probabilité qu'au plus trente paires soient constituées d'un homme et d'une femme.
Solution:
Soit la variable aléatoire Xi as
donc la paire peut être exprimée comme
Étant donné que chaque homme peut également être en couple avec les personnes restantes, dont des centaines de femmes, la moyenne
de la même manière si i et j ne sont pas égaux alors
as
donc nous avons
utilisant l' inégalité de Tchebychev
ce qui indique que la possibilité de jumeler 30 hommes avec des femmes est inférieure à six, nous pouvons donc améliorer la limite en utilisant inégalité unilatérale de chebychev
Chernoff lié
Si la fonction génératrice de moment est déjà connue alors
as
de la même manière on peut écrire pour t<0 comme
Ainsi, la borne de Chernoff peut être définie comme
cette inégalité représente toutes les valeurs de t positives ou négatives.
Bornes de Chernoff pour la variable aléatoire normale standard
Les limites de Chernoff pour la norme variable aléatoire normale dont la fonction génératrice de moment
is
donc minimiser cette inégalité et les termes de puissance du côté droit donne pour a>0
et pour a<0 c'est
Bornes de Chernoff pour la variable aléatoire de Poisson
Les bornes de Chernoff pour la variable aléatoire de Poisson dont la fonction génératrice de moment
is
donc minimiser cette inégalité et les termes de puissance du côté droit donne pour a>0
et ce serait
Exemple sur les limites de Chernoff
Dans un jeu, si un joueur est également susceptible de gagner ou de perdre le jeu indépendamment de tout score passé, trouvez le chernoff lié à la probabilité
Solution : Soit Xi dénoter le gain du joueur alors la probabilité sera
pour la séquence de n jeux laissez
donc la fonction génératrice du moment sera
ici en utilisant les développements de termes exponentiels
donc nous avons
appliquant maintenant la propriété de la fonction génératrice de moment
Cela donne l'inégalité
d'où
Conclusion:
Les inégalités et le théorème limite pour les grands nombres ont été discutés et les exemples justifiables pour les limites des probabilités ont également été pris pour avoir un aperçu de l'idée. L'aide de la variable aléatoire normale, de poisson et de la fonction génératrice de moment est également utilisée pour démontrer le concept facilement, si vous avez besoin de lectures plus approfondies, parcourez les livres ci-dessous ou pour plus d'articles sur les probabilités, veuillez suivre notre Pages de mathématiques.
Un premier cours de probabilité par Sheldon Ross
Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum
Une introduction aux probabilités et aux statistiques par ROHATGI et SALEH
Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
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