Caractéristiques des graphes de fonctions : 5 faits importants

Caractéristiques des graphes de fonctions

Caractéristiques des graphes de fonctions, cet article abordera la notion de présentation graphique des fonctions en plus de la valeur d'une variable présente dans une fonction. Pour que les lecteurs puissent facilement comprendre la méthodologie.

Quel graphe représente les fonctions f (X) = | x-2 | - 1 ?

Un regard sur l'expression de droite nous fait nous demander quelles sont ces deux barres autour de -2? Eh bien, ces barres sont la notation d'une fonction très spéciale en mathématiques, connue sous le nom de fonction de module ou de fonction de valeur absolue. Cette fonction est si importante dans théorie des fonctions qu'il vaut quelques mots sur son origine.

Disons que nous devons décider du temps nécessaire pour passer d'une ville à une autre. Dans ce cas, ne nous intéresserons-nous pas uniquement à la distance entre les deux villes? La direction aura-t-elle une importance quelconque? De même, dans l'étude du calcul, nous sommes souvent amenés à analyser la proximité de deux nombres, qui est la valeur absolue de leur différence. Peu importe si la différence est positive ou négative. Mathématicien allemand Karl Weierstrass fut celui qui réalisa la nécessité d'une fonction qui exprimerait la valeur absolue d'un nombre. En 1841, Weierstrass définit la fonction Modulus et utilise les deux barres comme symbole. 

f (x) = x pour tout x> 0

= -x pour tout x <0

= 0 pour x = 0

Abrégé par f (x) = | x |

D'après la définition, il est clair que cette fonction n'a aucun effet sur un nombre positif. Il change cependant un nombre négatif en un nombre positif ayant la même valeur absolue. Par conséquent

| 5 | = 5

 = 7-2 5

| -5 | = 5

| 2-7 | = 5

Pour dessiner le graphique de | x |, nous devons commencer par le graphique de f (x) = x qui est simplement une ligne droite passant par l'origine, inclinée à 45 degrés par rapport au côté positif de l'axe X

On peut dire que la moitié supérieure de ce graphe sera retenue par f (x) = | x | car cette fonction ne change pas les nombres positifs. Cependant, la moitié inférieure du graphique doit changer de côté, car | x | doit toujours être positif. Ainsi, tous les points de la moitié inférieure de f (x) = x seront désormais remplacés sur la moitié supérieure, en gardant la même distance par rapport à l'axe X. En d'autres termes, l'ensemble MOITIÉ GAUCHE DE f (x) = | x | EST VRAIMENT LA REFLEXION DE LA MOITIE INFERIEURE DE f (x) = x autour de l'axe X.

Dans la figure ci-dessus, la moitié droite montre les graphiques de | x | et x superposés, tandis que la moitié gauche montre l'un comme le reflet d'un autre. Il est essentiel de noter que cette technique peut être étendue à n'importe quelle fonction. En d'autres termes, il est facile d'imaginer le graphe de | f (x) | si nous connaissons déjà le graphe de f (x). Le remplacement de la moitié inférieure avec son reflet sur l'axe X est la clé.

Nous savons maintenant tracer |x|. Mais notre problème initial exige le tracé de |x-2|. Eh bien, ce n'est rien d'autre qu'un changement d'origine de (0,0) à (2,0) car il diminue simplement la lecture X de tous les points de 2 unités, transformant ainsi f(x) en f(x-2).

Maintenant, le -1 est la seule chose qui reste à prendre en compte. Cela signifie soustraire 1 de tous les points sur | x-2 |. En d'autres termes, cela signifie tirer le graphique verticalement d'une unité vers le bas. Ainsi, le nouveau sommet serait (1, -2) au lieu de (1)

Quel graphe représente les fonctions f (X) = - | x-2 | - 1 ?

Eh bien, cela devrait être assez facile après l'analyse que nous venons de faire. La seule différence ici est un signe moins avant |x-2|. Le signe moins inverse simplement le graphique de |x-2| par rapport à l'axe X. Donc, nous pouvons recommencer le précédent problème juste après le point où nous avions un graphe de |x-2|. Mais, cette fois avant de considérer le -1, nous allons inverser le graphique.

Après cela, nous allons le faire glisser d'une unité vers le bas pour incorporer le -1. Et c'est fait.

Le graphe d'une fonction doit être linéaire si elle a quelle caractéristique?

Qu'est-ce qu'une ligne droite? Normalement, elle est définie comme la distance minimale entre deux points sur une surface plane. Mais il peut aussi être défini sous un autre angle. Puisque le plan XY est une collection de points, nous pouvons considérer n'importe quelle ligne sur ce plan comme le lieu ou la trace d'un point mobile, ou un point dont les coordonnées X, Y changent.

Se déplacer le long d'une ligne droite implique que le mouvement se produit sans changement de direction. En d'autres termes, si un point commence à se déplacer à partir d'un point donné et ne se déplace que dans une direction donnée, alors on dit qu'il suit une ligne droite. Donc, si nous voulons exprimer le graphe linéaire comme une fonction, alors nous devons trouver une équation pour la condition de direction constante.

Mais comment exprimer mathématiquement la direction? Eh bien, comme nous avons déjà deux axes de référence dans le plan XY, une direction d'une ligne peut être exprimée par l'angle qu'elle fait avec l'un des deux axes. Supposons donc qu'une droite soit inclinée d'un angle α. Mais cela signifierait une famille de lignes parallèles et pas seulement une seule. Ainsi, α ne peut pas être le seul paramètre d'une ligne.

Notez que les lignes ne diffèrent que par leur intersection Y. L'ordonnée à l'origine est la distance de l'origine du point où la ligne rencontre l'axe Y. Appelons ce paramètre, C. Donc, nous avons deux paramètres, α et C. Maintenant, essayons de dériver l'équation de la droite.

D'après la figure, il devrait être clair d'après le triangle rectangle que pour tout point (x, y) sur la ligne, la condition dominante doit être                      

(yc) / x = tanα.

y = xtanα + c

⟹y = mx + c où m = tanα

Par conséquent, toute équation de la forme y = ax + b doit représenter une ligne droite. En d'autres termes, f (x) = ax + b est la forme souhaitée d'une fonction pour être linéaire.

La même chose peut être dérivée également de la définition conventionnelle d'une ligne droite qui déclare qu'une ligne est le chemin le plus court entre deux points sur une surface plane. Donc, soit (x1, y1) et (x2, y2) deux points sur une ligne droite.

Pour tout autre point de la ligne, une condition peut être dérivée en assimilant les pentes des deux segments de ligne formés par les trois points, car la ligne doit maintenir sa pente sur tous les segments. D'où l'équation                                 

                                                                   (yy₁) / (xx₁) = (y₂-y₁)/(X₂-x₁)

                                                            ⟹y (x₂-x₁) + x (y₁-y₂) + (x₁y₂-y₁x₂) = 0

Cette équation est de la forme Ax + By + C = 0 qui peut s'écrire sous la forme y = ax + b, que nous appelons la forme d'une fonction linéaire.

Quel graphique est utilisé pour montrer le changement dans une variable fournie lorsqu'une deuxième variable est modifiée?

Pour dessiner un graphe idéal d'une fonction, nous aurions besoin soit d'une expression algébrique définie, soit d'un nombre infini de points de données. Dans la vraie vie, les deux ne sont pas disponibles la plupart du temps. Les données dont nous disposons sont dispersées. En d'autres termes, nous pouvons avoir une liste de (x, y) points qui peuvent être tracés sur le graphique, mais les points peuvent ne pas être très densément localisés. Mais nous devons de toute façon relier ces points, car il n'y a pas d'autre moyen de regarder le modèle ou la tendance des variables. Un graphe ainsi obtenu est appelé graphe linéaire.

Il est ainsi nommé parce que les points voisins sont joints par des lignes droites. Ce graphique est le mieux adapté pour illustrer une connexion entre deux variables où l'une dépend de l'autre et sont toutes les deux changeantes. Les graphiques de séries temporelles sont des exemples de graphique linéaire où l'axe X représente le temps en unités d'heures / jours / mois / années et l'axe Y représente la variable dont la valeur change au fil du temps.

Fonction périodique

Lorsque la variable dépendante répète sa valeur à une période ou à un intervalle défini de la variable indépendante, la fonction est appelée périodique. L'intervalle est appelé période ou période fondamentale, parfois aussi période de base ou période principale. Le critère pour qu'une fonction soit périodique est pour une constante réelle T, f (x + T) = f (x). Ce qui signifie que f (x) répète sa valeur après chaque T unités de x. Nous pouvons noter la valeur de la fonction à tout moment, et nous trouverons la même valeur à T unités à droite et à gauche jusqu'à ce point. C'est la caractéristique d'une fonction périodique.

La figure ci-dessus illustre le comportement périodique de Sinx. Nous prenons deux valeurs aléatoires de x, comme x1 et x2 et dessinons des lignes parallèles à l'axe des x à partir de sin (x1) et sin (x2). Nous notons que les deux lignes rencontrent à nouveau le graphique à une distance d'exactement 2π. La période de Sinx est donc 2π. Nous pouvons donc écrire sin (x + 2 π) = sinx pour tout x. Les autres fonctions trigonométriques sont également périodiques. Cosine a la même période que Sin, tout comme Cosec et Sec. Tan a une période π et Cot aussi.

Quel terme donne le nombre de cycles d'une fonction périodique qui se produisent dans une unité horizontale?

Une période complète est appelée un cycle. Donc, il y a exactement un cycle en unités T de x. Il y a donc des cycles 1 / T dans une unité de x. Le nombre 1 / T est d'une importance particulière dans l'étude des fonctions périodiques car il indique à quelle fréquence la fonction répète ses valeurs. Par conséquent, le terme «fréquence» est attribué au nombre 1 / T. La fréquence est notée «f», ce qui ne doit pas être confondu avec le «f» de la fonction Plus la fréquence est élevée, plus il y a de cycles par unité. La fréquence et la période sont inversement proportionnelles l'une à l'autre, liées par f = 1 / T ou T = 1 / f. Pour Sin (X), la période est de 2π, donc la fréquence serait de 1 / 2π.

Exemples :

1. Calculez la période et la fréquence de Sin (3x)

Comme Sin (x) a un cycle en 2π, Sin (3x) aura 3 cycles en 2π alors que x progresse 3 fois plus vite dans Sin (3x). La fréquence serait donc 3 fois celle de Sin (x), soit 3 / 2π. Cela fait la période 1 / (3 / 2π) = 2π / 3

2. Calculez la période de Sin2x + sin3x

Notez que tout multiple entier de la période fondamentale est également un point. Dans ce problème, il existe deux composants de la fonction. Le premier a une période de π et le second 2π / 3. Mais ces deux sont différents, donc la période de la fonction composite ne peut pas non plus être la même. Mais quelle que soit la période de la composition, il faut aussi que ce soit une période des composants. Donc, il doit s'agir d'un multiple entier commun aux deux. Mais il pourrait y en avoir une infinité. La période fondamentale serait donc le plus petit multiple commun des périodes des composants. Dans ce problème, c'est Lcm (π, 2π / 3) = 2π 

3. Calculez la période de (Sin2x + Sin5x) / (Sin3x + Sin4x)

Il est trivial mais assez intéressant d'observer que la règle que nous avons inventée dans le problème précédent, s'applique en fait à toute composition de fonctions périodiques. Ainsi, dans ce cas également, la période effective serait la LCM des périodes des composants. Soit LCM (π, 2π / 5,2π / 3, π / 2) = 2π

4. Calculez la période de Sinx + sin πx

Au début, il semble évident que la période devrait être LCM (2π, 2), mais ensuite on se rend compte qu'un tel nombre n'existe pas car 2π est irrationnel de même que ses multiples et 2 est rationnel, de même que ses multiples. Ainsi, il ne peut y avoir de multiple entier commun à ces deux nombres. Par conséquent, cette fonction n'est pas périodique.

La fonction de partie fractionnaire {x} est périodique.

f (x) = {x}

C'est ce qu'on appelle la fonction de partie fractionnaire. Il laisse la plus grande partie entière d'un nombre réel et ne laisse de côté que la partie fractionnaire. Ainsi, sa valeur est toujours comprise entre 0 et 1 mais jamais égale à 1. Ce graphique doit indiquer clairement qu'il a une période 1.

CONCLUSION

Jusqu'à présent, nous avons discuté des caractéristiques des graphes de fonctions. Nous devrions maintenant être clairs sur les caractéristiques et les différents types de graphiques. Nous avons également eu une idée d'interprétation graphique des fonctions. Le prochain article couvrira beaucoup plus de détails sur des concepts tels que la plage et le domaine, les fonctions inverses, diverses fonctions et leurs graphiques, ainsi que de nombreux problèmes résolus. Pour approfondir l'étude, nous vous encourageons à lire ci-dessous

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