Poutre en porte-à-faux | C'est un aperçu complet et des questions et réponses

Contenu: Poutre cantilever

  • Définition de poutre en porte-à-faux
  • Diagramme de corps libre de poutre en porte-à-faux
  • Conditions aux limites des poutres en porte-à-faux
  • Déterminer le cisaillement interne et le moment de flexion dans la poutre en porte-à-faux en fonction de x
  • Recherche de la force de cisaillement et du moment de flexion agissant à une distance de 2 m de l'extrémité libre sur une poutre en porte-à-faux avec une charge uniformément répartie (UDL)
  • L'équation de la courbe de déflexion pour une poutre en porte-à-faux avec un chargement uniformément réparti
  • Poutre en porte-à-faux Rigidité et vibration
  • Flexion de la poutre en porte-à-faux due au moment de flexion pur induisant une contrainte de flexion
  • Recherche de la contrainte de flexion en porte-à-faux induite par une charge uniformément répartie (UDL)
  • Questions et réponses sur la poutre cantilever

Définition de poutre en porte-à-faux

«Un porte-à-faux est un élément structurel rigide qui s'étend horizontalement et est supporté à une seule extrémité. En règle générale, il s'étend d'une surface verticale plane telle qu'un mur, auquel il doit être fermement fixé. Comme d'autres éléments structurels, un porte-à-faux peut être formé comme une poutre, une plaque, une ferme ou une dalle. »

https://en.wikipedia.org/wiki/Cantilever

Une poutre en porte-à-faux est une poutre dont une extrémité est fixe et une autre extrémité est libre. Le support fixe empêche le déplacement et le mouvement de rotation de la poutre à cette extrémité. La poutre en porte-à-faux permet la fonction de surplomb sans aucun support supplémentaire. Lorsque la charge est appliquée à l'extrémité libre de la poutre, le porte-à-faux transmet cette charge au support où il applique la force de cisaillement [V] et le moment de flexion [BM] à l'extrémité fixe.

Diagramme de corps libre de poutre en porte-à-faux

Considérons une poutre en porte-à-faux avec une charge ponctuelle agissant sur l'extrémité libre de la poutre.

Fig.1 Poutre en porte-à-faux avec charge ponctuelle W

Le diagramme de corps libre pour la poutre en porte-à-faux est dessiné ci-dessous:

Diagramme corporel gratuit

Conditions aux limites des poutres en porte-à-faux

Les forces de réaction et le moment en A peuvent être calculés en appliquant les conditions d'équilibre de

\ sum F_y = 0, \ sum F_x = 0, \ sum M_A = 0

Pour l'équilibre horizontal

\ somme F_x = 0
R_ {HA} = 0

Pour l'équilibre vertical

\ sum F_y = 0 \\ R_ {VA} -W = 0 \\ R_ {VA} = W

Prendre le moment sur A, le moment dans le sens des aiguilles d'une montre positif et le moment dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est considéré comme négatif

WL-M_A = 0
M_A = WL

Déterminer le cisaillement interne et le moment de flexion dans la poutre en porte-à-faux en fonction de x

Considérez la poutre en porte-à-faux avec une charge uniformément répartie illustrée dans la figure ci-dessous.

Poutre en porte-à-faux avec charge uniformément répartie
Poutre en porte-à-faux avec UDL

La charge résultante agissant sur la poutre due à UDL peut être donnée par

W = Aire d'un rectangle

W = L * w

W = wL

La charge ponctuelle équivalente wL agira au centre de la poutre. c'est-à-dire à L / 2

Le diagramme du corps libre de la poutre devient

La valeur de la réaction en A peut être calculée en appliquant les conditions d'équilibre

\ sum F_y = 0, \ sum F_x = 0, \ sum M_A = 0

Pour l'équilibre horizontal

\ sum F_x = 0 \\ R_ {HA} = 0

Pour l'équilibre vertical

\ sum F_y = 0 \\ R_ {VA} -wL = 0 \\ R_ {VA} = wL

Prendre le moment sur A, le moment dans le sens des aiguilles d'une montre positif et le moment dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est considéré comme négatif

wL * \ frac {L} {2} -M_A = 0 \\ M_A = \ frac {wL ^ 2} {2}

Soit XX la section d'intérêt à une distance de x d'une extrémité libre

Selon la convention Sign discutée précédemment, si nous commençons à calculer la force de cisaillement à partir de Côté gauche ou Extrémité gauche de la poutre, Force d'action ascendante est pris comme Positif, ET Force agissant vers le bas est pris comme Négatif.

La force de cisaillement en A est 

S.F_A = R_ {VA} = wL

à la région XX est

S.F_x = R_ {VA} -w [Lx] \\ S.F_x = wL-wL + wx = wx

La force de cisaillement en B est

SF = R_ {VA} -wL \\ S.F_B = wL-wL = 0

Les valeurs de la force de cisaillement en A et B indiquent que la force de cisaillement varie linéairement d'une extrémité fixe à l'autre.

Pour la DMO, si nous commençons à calculer le moment de flexion à partir du Côté gauche ou Extrémité gauche de la poutre, Moment dans le sens des aiguilles d'une montre est pris comme Positif ET Moment anti-horaire est pris comme Négatif.

BM chez A

B.M_A = M_A = \ frac {wL ^ 2} {2}

BM chez X

B.M_x = M_A-w [Lx] \\ B.M_x = \ frac {wL ^ 2} {2} - \ frac {w (Lx) ^ 2} {2}
\\ B.M_x = wx (L- \ frac {x} {2})

BM chez B

B.M_B = M_A- \ frac {wL ^ 2} {2}
\\B.M_B=\frac{wL^2}{2}-\frac{wL^2}{2}=0
SFD et BMD

Recherche de la force de cisaillement et du moment de flexion agissant à une distance de 2 m de l'extrémité libre sur une poutre en porte-à-faux avec une charge uniformément répartie (UDL)

Considérez la poutre en porte-à-faux avec une charge uniformément répartie illustrée dans la figure ci-dessous. w = 20 N / m uniquement. L = 10 m, x = 2 m

La charge résultante agissant sur la poutre due à UDL peut être donnée par

W = Aire d'un rectangle

W = 20 * 10

W = 200 N

La charge ponctuelle équivalente wL agira au centre de la poutre. c'est-à-dire à L / 2

Le diagramme du corps libre de la poutre devient,

La valeur de la réaction en A peut être calculée en appliquant les conditions d'équilibre

\ sum F_y = 0, \ sum F_x = 0, \ sum M_A = 0

Pour l'équilibre horizontal

\ sum F_x = 0 \\ R_ {HA} = 0

Pour l'équilibre vertical

\ sum F_y = 0 \\ R_ {VA} -wL = 0 \\ R_ {VA} = 200 N

Prendre le moment sur A, le moment dans le sens des aiguilles d'une montre positif et le moment dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est considéré comme négatif

200*\frac{10}{2}-M_A=0
\\M_A=1000 \;N-m

Soit XX la section d'intérêt à une distance de x d'une extrémité libre

Selon la convention Sign discutée précédemment, si nous commençons à calculer la force de cisaillement à partir de Côté gauche ou Extrémité gauche de la poutre, Force d'action ascendante est pris comme Positif, ET Force agissant vers le bas est pris comme Négatif.

La force de cisaillement en A est 

S.F_A = R_ {VA} = wL \\ S.F_A = 200 N

à la région XX est

S.F_x = R_ {VA} -w [Lx] \\ S.F_x = wL-wL + wx = wx

pour x = 2 m

\\ S.F_x = wx = 20 * 2 = 40 \; N

La force de cisaillement en B est

SF = R_ {VA} -wL \\ S.F_B = wL-wL = 0

Les valeurs de la force de cisaillement en A et B indiquent que la force de cisaillement varie linéairement d'une extrémité fixe à l'autre.

Pour la DMO, si nous commençons à calculer le moment de flexion à partir du Côté gauche ou Extrémité gauche de la poutre, Moment dans le sens des aiguilles d'une montre est pris comme Positif ET Moment anti-horaire est pris comme Négatif.

BM chez A

B.M_A = M_A
B.M_A = 1000 \; Nm

BM chez X

B.M_x = M_A-w [Lx]

\\B.M_x=\frac{wL^2}{2}-\frac{w(L-x)^2}{2}=wx[L-\frac{x}{2}]
\\B.M_x=20*2*[10-\frac{2}{2}]=360\;N.m

BM chez B

B.M_B=M_A-\frac{wL^2}{2}=1000-\frac{20*10^2}{2}=0

L'équation de la courbe de déflexion pour une poutre en porte-à-faux avec un chargement uniformément réparti

Considérez la poutre en porte-à-faux de longueur L illustrée dans la figure ci-dessous avec une charge uniformément répartie. Nous dériverons l'équation pour la pente et déviation pour cette poutre en utilisant la méthode Double intégration.

Le moment de flexion agissant à la distance x de l'extrémité gauche peut être obtenu comme suit:

M = -wx * \ frac {x} {2}

En utilisant l'équation différentielle de la courbe,

\ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = M = \ frac {-wx ^ 2} {2}

S'intégrer une fois que nous obtenons,

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-wx ^ 3} {6} + C_1 ……… .. [1]

En intégrant l'équation [1], nous obtenons,

EIy= \frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

Les constantes des intégrations peuvent être obtenues en utilisant les conditions aux limites,

À x = L, dy / dx = 0; puisque le soutien à A résiste aux mouvements. Ainsi, à partir de l'équation [1], nous obtenons,

C_1 = \ frac {wL ^ 3} {6}

À x = L, y = 0, pas de déflexion au support ou à l'extrémité fixe A Ainsi, à partir de l'équation [2], on obtient,

0= \frac{-wL^4}{24}+\frac{wL^3}{6} *L+C_2
C_2 = \ frac {-wL ^ 4} {8}

En substituant la valeur de la constante dans [1] et [2], nous obtenons de nouveaux ensembles d'équations comme

EI \frac{dy}{dx}= \frac{-wx^3}{6}+\frac{wL^3}{6}………..[3]
EIy= \frac{-wx^4}{24}+\frac{wL^3}{6} -\frac{wL^4}{8}……..[4]

Évaluer la pente à x = 12 m et la déflexion maximale à partir des données données: je = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

D'après les équations ci-dessus: à x = 12 m,

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-wx ^ 3} {6} + \ frac {wL ^ 3} {6}
210*10^9*722*10^{-8}* \frac{dy}{dx}= \frac{-20*12^3}{6}+\frac{20*20^3}{6}
\ frac {dy} {dx} = 0.01378 \; radians

De l'équation [4]

EIy= \frac{-wx^4}{24}+\frac{wL^3}{6} -\frac{wL^4}{8}
210*10^9*722*10^{-8}*y= \frac{-20*12^4}{24}+\frac{20*20^3}{6} -\frac{20*20^4}{8}
y = -0.064 \; m

Poutre en porte-à-faux Rigidité et vibration

La rigidité peut être définie comme la résistance à la flexion ou à la déformation au moment de flexion. Le rapport de la charge maximale appliquée à la flèche maximale d'une poutre peut être appelé la rigidité de la poutre.

Pour une poutre en porte-à-faux avec une Force W à l'extrémité libre, la flèche maximale est donnée par

δ = \ frac {WL ^ 3} {3EI}

Où W = charge appliquée, L = longueur de la poutre, E = module de young, I = le deuxième moment d'inertie

La rigidité est donnée par,

k = W / δ \\ k = W / \ frac {WL ^ 3} {3EI}

\\ k = \ frac {3EI} {L ^ 3} 

La fréquence propre peut être définie comme la fréquence à laquelle un système a tendance à vibrer en l'absence de toute force motrice ou résistante.

ω_n = \ sqrt {k / m} \\ ω_n = \ sqrt {\ frac {3EI} {L ^ 3m}}

Où m = masse de la poutre.

Flexion de poutre en porte-à-faux due au moment de flexion pur induisant une contrainte de flexion

Lorsqu'un élément est soumis à des couples égaux et opposés dans le plan de l'élément, il est défini comme une flexion pure. En flexion pure, la force de cisaillement agissant sur la poutre est nulle.

Hypothèses: le matériau est homogène

La loi de Hook est applicable

Le membre est prismatique

Un couple est appliqué dans le plan du membre

Aucun gauchissement de la section transversale de la poutre n'a lieu après le pliage

Le profil de déformation doit être linéaire à partir de l'axe neutre

La distribution des contraintes est linéaire de l'axe neutre aux fibres supérieures et inférieures de la poutre.

L'équation d'Euler-Bernoulli pour le moment de flexion est donnée par

\ frac {M} {I} = \ frac {\ sigma_b} {y} = \ frac {E} {R}

M = Moment fléchissant appliqué sur la section transversale de la poutre.

I = Moment d'inertie du deuxième domaine

σ = contrainte de flexion induite dans la barre

y = Distance verticale entre l'axe neutre de la poutre et la fibre ou l'élément souhaité en mm

E = module de Young en MPa

R = rayon de courbure en mm

Contrainte de flexion pour poutre en porte-à-faux avec diamètre d, et la charge appliquée W peut être donnée comme,

La contrainte de flexion agira sur le support fixe de la poutre

Le moment appliqué M = WL

Moment d'inertie de la deuxième zone

I = \ frac {\ pi} {64} d ^ 4

La distance verticale entre l'axe neutre du faisceau et la fibre ou l'élément souhaité

y = d / 2

La contrainte de flexion est donnée comme

σ = \ frac {Mon} {I}
\\ σ = \ frac {32WL} {\ pi d ^ 3}

Recherche de la contrainte de flexion agissant sur une poutre en porte-à-faux avec une charge uniformément répartie (UDL)

Considérons une poutre en porte-à-faux avec une charge uniformément répartie illustrée dans la figure ci-dessous a je = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Les forces de réaction et le moment en A peuvent être calculés en appliquant les conditions d'équilibre de

\ sum F_y = 0, \ sum F_x = 0, \ sum M_A = 0

Pour l'équilibre horizontal

\ sum F_x = 0 \\ R_ {HA} = 0

Pour l'équilibre vertical

\ sum F_y = 0 \\ R_ {VA} -wL = 0 \\ R_ {VA} = 200 N

Prendre le moment sur A, le moment dans le sens des aiguilles d'une montre positif et le moment dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est considéré comme négatif

200*\frac{10}{2}-M_A=0
\\M_A=1000 \;N-m

Contrainte de flexion

σ = \ frac {Mon} {I}
σ=\frac{1000*50*10^{-3}}{2*722*10^{-8}}
σ = 3.238 \; MPa

Questions et réponses sur la poutre cantilever

Q.1 Quel est le rapport de la charge maximale appliquée à la flèche maximale d'une poutre appelée?

Réponse: La rigidité peut être définie comme la résistance à la flexion ou à la déformation au moment de flexion. Le rapport de la charge maximale appliquée à la flèche maximale d'une poutre peut être appelé la rigidité de la poutre.

Q.2 Définir une poutre en porte-à-faux?

Réponse: Une poutre en porte-à-faux est une poutre dont une extrémité est fixe et l'autre est libre. Le support fixe empêche le déplacement et le mouvement de rotation de la poutre à cette extrémité. La poutre en porte-à-faux permet la fonction de surplomb sans aucun support supplémentaire. Lorsque la charge est appliquée à l'extrémité libre de la poutre, le porte-à-faux transmet cette charge au support où il applique la force de cisaillement [V] et le moment de flexion [BM] vers l'extrémité fixe.

Q.3 Une poutre en porte-à-faux est soumise à une charge uniformément répartie sur la longueur de la poutre, quelle sera la forme du diagramme de force de cisaillement et de moment de flexion?

Réponse: Pour une poutre en porte-à-faux soumise à une charge uniformément répartie sur la longueur de la poutre, la forme du diagramme de force de cisaillement sera une courbe linéaire et le diagramme du moment de flexion sera une courbe parabolique.

Q.4 Un porte-à-faux est soumis à une charge uniformément variable sur la longueur de la poutre en commençant à zéro à partir d'une extrémité libre, quelle sera la forme du diagramme de force de cisaillement et de moment de flexion?

Réponse: Pour une poutre en porte-à-faux soumise à une charge variant uniformément sur la longueur de la poutre, la forme du diagramme de force de cisaillement sera une courbe parabolique et le diagramme du moment de flexion sera une courbe cubique ou au troisième degré.

Q.5 Où la tension et la compression agissent-elles lors de la flexion des poutres en porte-à-faux?

Ans: Pour une poutre en porte-à-faux d'une portée donnée, la contrainte de flexion maximale sera à l'extrémité fixe de la poutre. Pour la charge nette vers le bas, la contrainte de flexion de traction maximale est appliquée sur le dessus de la section transversale et la contrainte de compression maximale est appliquée sur la fibre inférieure de la poutre.

Q.6 Un porte-à-faux est soumis au Moment (M) sur la longueur de la poutre, quelle sera la force de cisaillement et le moment de flexion?

Ans: Pour une poutre en porte-à-faux soumise à un moment M sur la longueur de la poutre, la force de cisaillement sera nulle, car aucune force de flexion externe n'agira sur la poutre et le moment de flexion restera constant sur toute la longueur de la poutre.

Pour connaître la résistance du matériau (cliquer ici)et diagramme des moments de flexion Cliquez ici

À propos de Hakimuddin Bawangaonwala

Je suis Hakimuddin Bawangaonwala, un ingénieur en conception mécanique avec une expertise en conception et développement mécanique. J'ai terminé M. Tech en ingénierie de conception et j'ai 2.5 ans d'expérience en recherche. Jusqu'à maintenant publié Deux documents de recherche sur le tournage dur et l'analyse par éléments finis des appareils de traitement thermique. Mon domaine d'intérêt est la conception de machines, la résistance des matériaux, le transfert de chaleur, l'ingénierie thermique, etc. En dehors de la recherche.
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