Variable aléatoire binomiale | Ses propriétés importantes

Variable aléatoire binomiale et de Poisson et ses propriétés

    La variable aléatoire qui traite du succès et du résultat de l'échec de l'expérience aléatoire pour n répétitions était connue pour être une variable aléatoire binomiale la définition de sa fonction de masse de probabilité traite de la probabilité de succès p et de la probabilité d'échec q uniquement, la définition avec des exemples déjà nous l'avons vu, maintenant avec la compréhension que nous voyons certaines des propriétés d'une telle variable aléatoire discrète,

Attente et variance de la variable aléatoire binomiale

L'espérance et la variance de la variable aléatoire binomiale avec n répétition et p comme probabilité de succès sont

E [X] = np

et Var (X) = np (1-p)

considérons maintenant pour montrer ces deux l'espérance d'une variable aléatoire de puissance k en suivant la définition de la fonction de masse de probabilité pour la variable aléatoire binomiale comme,

E [X ^ {k}] = \ sum_ {i = 0} ^ {n} i ^ {k} \ binom {n} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni}

E [X ^ {k}] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ {k} \ binom {n} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni}

i \ binom {n} {i} = n \ binom {n-1} {i-1}

Variable aléatoire binomiale
Variable aléatoire binomiale

où Y est une autre variable aléatoire binomiale avec n-1 essais et p comme probabilité de succès, si nous prenons la valeur de k = 1 alors nous obtiendrons

E [X] = np

et si nous substituons k = 2, nous obtiendrons

EX2] = npE [Y + 1]

= np [(n-1) p + 1]

donc nous allons facilement

Var (X) = E [X2] - (EX])2

= np [(n-1) p + 1] - (np)2

= np (1-p)

Mise en situation : Pour une pièce non biaisée, faites l'expérience de lancer 100 fois et pour le nombre de queues qui apparaissent dans ce cas, trouvez la moyenne, la variance et l'écart type d'une telle expérience.

La queue pour un tirage au sort a la probabilité de succès p = 1/2 = 0.5

donc la moyenne d'une telle expérience est

E [X] = np

puisque l'expérience est binomiale comme seul succès ou échec, nous obtiendrons pour n nombre de répétitions

comme μ = np

μ = 100x (0.5) = 50

De même, la variance et l'écart type seront

Var (X) = np (1-p)

\ sigma ^ {^ {2}} = np (1-p)

\ sigma = \ sqrt {np (1-p)}

La valeur serait

σ2 = (100) (0.5) (0.5) = 25

Mise en situation :     Trouvez la moyenne et l'écart type de la probabilité de défectuosité de 0.1 dans une entreprise de fabrication de boulons à partir du lot de 400 boulons.

ici n = 400, p = 0.1, moyenne = np = 400 × 0.1 = 40

depuis

\ sigma ^ {2} = np (1-p)

\ sigma = \ sqrt {np (1-p)}

donc l'écart type sera

=\sqrt{(400)(0.1)(1-0.1)}=\sqrt{400*0.1*0.9}=20*0.3=6

Mise en situation : Trouvez la probabilité d'exactement, moins de et au moins 2 succès si la moyenne et l'écart type de la variable aléatoire binomiale sont respectivement de 4 et 2.

Puisque moyenne = np = 4

et d' variance = np (1-p) = 2,

so 4 (1-p) = 2

(1-p) = 1/2

p = 1- (1/2)

mettre cette valeur signifie que nous obtenons

np = 4

n (1/2) = 4

n = 8

la probabilité d'exactement 2 succès sera

P(2)=\binom{8}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{8-2}=\binom{8}{2}(\frac{1}{2})^{8}=(\frac{8<em>7}{2})</em>(\frac{1}{256})=\frac{7}{64}

la probabilité de moins de 2 succès sera

p (X <2)

= P (0) + P (1) = 8C0 p0q8 + 8C1 p1q7

= (1/256) +8 x (1/2) x (1/2)7 = 9 / 256

Probabilité d'au moins 2 succès

p (X> 2) = 1- p (X <2)

= 1-P (0) - P (1) = 1- [P (0) + P (1)] = 1- (9/256) = 247/256

Variable aléatoire de Poisson

    La variable aléatoire discrète X qui prend les valeurs 0,1,2 …… .. est connue pour être une variable aléatoire de Poisson à condition que pour tout λ> 0 sa fonction de masse de probabilité soit

f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {^ {- \ lambda}}} {x!} \ espace pour \ \ all \ \ x = 0,1,2 , XNUMX ...

or

p (i) = P (X = i) = e ^ {- \ lambda} \ frac {\ lambda ^ {i}} {i!} \ \ pour \ \ tous \ \ x = 0,1,2 .. .

as

\ sum \ limits_ {i = 0} ^ \ infty P (i) = e ^ {- \ lambda} \ sum \ limits_ {i = 0} ^ \ infty \ frac {\ lambda ^ {i}} {i!} = e ^ {- \ lambda} e ^ {\ lambda} = 1

Lorsque n est très grand et que la probabilité de succès p est très faible dans ce cas, la variable aléatoire de Poisson avec sa fonction de probabilité de masse est devenue l'approximation de la variate aléatoire binomiale avec pmf respective car l'espérance dans ce cas qui est np sera être λ = np .

Mise en situation : Trouvez la probabilité qu'il y ait au moins une erreur de frappe sur chaque page du livre qui a une distribution de Poisson avec une moyenne de 1/2 pour une seule page.

Soit la variable aléatoire discrète X dénote les erreurs sur la page. donc la variable aléatoire de Poisson a la fonction de masse de probabilité comme

f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {- \ lambda}} {x!} \ \ où \ \ x = 0,1,2,…

\ lambda = \ frac {1} {2}

p(X\geqslant 0)=1-p(X=0)=1-\frac{\lambda ^{0}e^{-\lambda }}{0!}=1-e^-\frac{1}{2}=0.3934

p (X \ leq 1) = p (X = 0) + p (X = 1) = \ frac {\ lambda ^ {0} e ^ {- \ lambda}} {0!} + \ frac {\ lambda ^ {0} e ^ {- \ lambda}} {1!} = E ^ {^ {- 1}} + e ^ {^ {- 1}} = 0.7358

Mise en situation : Trouvez la probabilité que l'échantillon de 10 articles produits par une machine avec 0.1 chance de production défectueuse ait au plus un article défectueux.

f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {- \ lambda}} {x!} \ \ où \ \ x = 0,1,2….

Nous pouvons résoudre cela à la fois par la fonction de masse de probabilité binomiale et par la fonction de masse de probabilité de Poisson, donc nous résolvons cela par Poisson

Attente et variance de la variable aléatoire de Poisson

L'espérance et la variance de la variable aléatoire de Poisson avec n répétition et p comme probabilité de succès sont

E [X] = np = λ

et d'          

Var (X) = np = λ

Avant de montrer le résultat, nous devons garder à l'esprit que la variable aléatoire de Poisson n'est rien d'autre que l'approximation de la variable aléatoire binomiale donc np = λ maintenant l'espérance en utilisant la fonction de masse de probabilité sera

E [X] = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ \ infty i \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i}} {i!}

E [X] = \ lambda \ sum \ limits_ {i = 1} ^ \ infty i \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i-1}} {(i-1)!}

E [X] = \ lambda {e ^ {- \ lambda}} \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty i \ frac {\ lambda ^ {j}} {j!} \ \ Par \ \ letting \ \ j = i-1

E [X] = \ lambda \ \ depuis \ \ \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty \ frac {\ lambda ^ {j}} {j!} = E ^ {\ lambda}

Cela signifie que la valeur mathématique attendue de la variable aléatoire de Poisson est égale à son paramètre, de même pour le calcul de la variance et de l'écart type de la variable aléatoire de Poisson, nous avons besoin de l'espérance du carré de X donc,

E [X ^ {2}] = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ \ infty i ^ {2} \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i}} {i!}

E [X ^ {2}] = \ lambda \ sum \ limits_ {i = 1} ^ \ infty i \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i-1}} {(i-1)! }

E [X ^ {2}] = \ lambda \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty (j + 1) \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {j}} {j!} \ \ par \ \ letting \ \ j = i-1

E [X ^ {2}] = \ lambda [\ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty (j) \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {j}} {j!} + \ somme \ limites_ {j = 0} ^ \ infty \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {j}} {j!}]

E [X ^ {2}] = \ lambda (\ lambda +1)

La somme ci-dessus est évidente car deux des sommes sont l'espérance et la somme des probabilités.

Ainsi, la valeur de la variance que nous obtiendrons est

Var (X) = E [X2] - (EX])2

= λ

donc dans le cas de la variable aléatoire de Poisson, la moyenne et la variance ont la même valeur, c'est-à-dire np en tant que paramètre.

Le produit Variable aléatoire de Poisson est l'approximation bonne pour la découverte de divers processus, par exemple, trouver l'occurrence du nombre de tremblements de terre dans une certaine durée de temps spécifique, trouver le nombre d'électrons pendant un temps fixe à partir de la cathode chauffée, trouver le nombre possible de décès pendant un temps spécifié, ou le nombre des guerres au cours d'une année spécifique, etc.

Exemple : Calculez la probabilité que le nombre total de passagers en deux jours soit inférieur à 2. Si le nombre d'arrivée de passagers avec une moyenne de 5 suit la variable aléatoire de Poisson. moyenne = np = 5

P (r) = \ frac {e ^ {- 5} {(5) ^ {r}}} {r!}

Si l'on considère le nombre de passagers en deux jours inférieur à 2, ce serait

Premier jourDeuxième jourEn tout
000
011
101

donc la probabilité sera la combinaison de ces deux jours comme

P(X< 2)= P(0)P(0)+P(0)P(1)+P(1)P(0)

=\frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}. \frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}+ \frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}. \frac{e^{-5}{5^{1}}}{{1!}} + \frac{e^{-5}{5^{1}}}{{1!}}. \frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}

= e ^ {- 5} .e ^ {- 5} + e ^ {- 5}. e ^ {- 5} .5+ e ^ {- 5} .5. e ^ {- 5}

= e ^ {- 10} [1 + 5 + 5]

= 11e ^ {- 10}

= 11 4.54 10 ^ {- 5}

= 4.994 * 10 ^ {- 4}

Exemple: Calculez la probabilité de 4 condenseurs défectueux ou plus à partir d'un pack de 100 condenseurs à condition que le défaut de fabrication des condenseurs soit de 1%.

Ici p = 1% = 0.01 et n = 100 * 0.01 = 1

nous pouvons donc utiliser la fonction de masse de probabilité de variables aléatoires de Poisson PMF

moyenne = np = 100 * 0.01 = 1

P (r) = \ frac {e ^ {- 1} (1) ^ {r}} {r!} = \ Frac {e ^ {- 1}} {r!}

donc la probabilité de 4 condenseurs défectueux ou plus sera

p (X \ geq 4) = 1-p (X <4)

=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]

=1-[\frac{e^{-1}}{0!} + \frac{e^{-1}}{1!} + \frac{e^{-1}}{2!} + \frac{e^{-1}}{3!}] =1- e^{-1} [1+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{6}]=1-\frac{8}{3e}=1-0.981=0.019

Exemple: s'il y a 0.002 chances pour qu'un produit soit défectueux à la fabrication, pour un paquet contenant 10 de ces produits, quelle serait la probabilité qu'un tel paquet n'ait aucun produit défectueux, un défectueux et deux produits défectueux de l'envoi de 50000 paquets du même produit.

Ici, pour une probabilité de défaut d'un seul paquet, c'est à dire p = 0.002, n = 10

alors la moyenne np = 0.002 * 10 = 0.020

f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {- \ lambda}} {x!} \ \ où \ \ x = 0,1,2 ..

nous trouverons pour chaque cas comme

variable aléatoire binomiale
Variable aléatoire binomiale: exemple

Ainsi, d'après le tableau, il est clair que le nombre de lames défectueuses dans les paquets zéro, un et deux sera de 4900,980,10 respectivement.

Conclusion:

   Dans cet article, nous avons discuté de certaines propriétés de l'un des Variable aléatoire binomiale, Variable aléatoire de Poisson et expérience aléatoire. Une autre variable aléatoire discrète, c'est-à-dire une variable aléatoire de Poisson, discutée avec les propriétés. L'exemple de distribution pour la fonction de masse de probabilité, l'espérance, la variance et l'écart type est également pris pour une meilleure compréhension.Dans les articles suivants, nous essayons de couvrir des variables aléatoires plus discrètes si vous voulez plus de lecture, passez en revue Page de mathématiques.

Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

À propos de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque , Maître de Conférences en Mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l'immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
J'aime contribuer à Lambdageeks pour rendre les mathématiques simples, intéressantes et explicites pour les débutants comme pour les experts.
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