Formule de contrainte de flexion : plusieurs cas d'utilisation et exemples

Cet article traite de la formule de contrainte de flexion pour différents types de configurations de poutres. Nous savons tous que lorsqu'un objet se courbe en raison de l'application d'une charge, on dit qu'il est soumis à une flexion.

Il est très important de connaître l’ampleur de la contrainte de flexion subie par la pièce à travailler. La pièce à travailler se brisera si la contrainte de flexion appliquée dépasse la contrainte de flexion maximale autorisée. La flexion force du matériau est la quantité maximale de résistance à la flexion qui peut être appliquée sur la pièce à travailler avant que la pièce à travailler ne commence à se fracturer.

Qu'est-ce que la contrainte de flexion ?

Commençons notre discussion par la définition de la contrainte de flexion. C'est simplement le stress qui est responsable flexion de la pièce à travailler.

Dans d'autres sections, nous verrons les formes mathématiques de contrainte de flexion pour diverses configurations de poutres et formes de section transversale.

Qu'est-ce qu'une poutre ?

Une poutre est un élément structurel principalement utilisé pour soutenir la structure primaire. La poutre n'est pas nécessairement un support, elle peut elle-même être une structure par exemple des ponts et des balcons.

Les poutres les plus couramment utilisées dans l'industrie sont cantilever poutres, poutres simplement appuyées et poutres continues.

Formule de contrainte de flexion pour poutre

La flexion stress dépend du moment de flexion, moment d'inertie de la section transversale et de la distance par rapport à l'axe neutre où la charge est appliquée.

Mathématiquement, cela peut être représenté comme-

σ = Ma/Je

et c'est la distance par rapport à l'axe neutre

I est le moment d'inertie de la section transversale

En termes de module de section-

σ = M/Z

où,

Z est le module de section de la poutre

M est le moment fléchissant

Unités de formule de contrainte de flexion

La formule de la contrainte de flexion peut être donnée comme suit :

σ = Ma/Je

La formule en termes d'unités de chaque quantité peut être donnée comme suit :

Unités = N – mm x mm/mm⁴

De ci-dessus, nous pouvons déduire que les unités de contrainte de flexion sont-

Unités = N/mm²

Formule de contrainte de flexion admissible

La contrainte admissible est la valeur de contrainte au-delà de laquelle la contrainte ne doit pas être appliquée pour des raisons de sécurité. La contrainte de flexion admissible dépend de la rigidité à la flexion du matériel.

La contrainte de flexion admissible la formule peut être donnée comme-

σ_admissible =_max/F_s

où,

Fs est le facteur de sécurité

Dérivation de la formule de contrainte de flexion

Considérons une section de poutre comme indiqué dans le schéma ci-dessous-

Supposons un moment, M est appliqué sur la poutre. Le faisceau se courbe d'un angle thêta et fait un rayon de courbure R comme indiqué dans la figure ci-dessous-

La déformation dans l'axe neutre est nulle. Alors que la déformation agissant sur la ligne où la force est appliquée subit une déformation. En équilibrant toutes les valeurs de déformation, nous obtenons la déformation totale,

(R + y)θ – Rθ/Rθ = y/R

La contrainte est également donnée par-

Déformation = σ/E

à partir des équations ci-dessus, nous pouvons conclure que,

σ/y = E/R

Maintenant,

M = Σ E/R xy²

et,

δA = E/R Σ y² δA

M = E/R x I

D'après les équations ci-dessus, nous concluons que,

σ/y = E/R = M/I

D'où dérivé.

Formule de contrainte de flexion pour poutre rectangulaire

En fonction de la section transversale de la poutre, le moment d'inertie change et donc la formule de contrainte de flexion.

Le moment d'inertie du rectangle est donné comme-

je = bd³/ 12

D'en haut, contrainte de flexion formule pour une poutre rectangulaire peut être écrite comme-

σ = 6M/ bj²

Formule de contrainte de flexion pour poutre rectangulaire creuse

Des poutres creuses sont utilisées pour réduire le poids de la poutre. Ces poutres peuvent être utilisées dans des applications légères.

Considérons une poutre à section rectangulaire creuse avec une longueur extérieure comme D et une longueur intérieure comme d, une largeur extérieure comme B et une largeur intérieure comme b.

Le module de section de cette section sera-

Z = 1/6D x (BD³ – bd³)

Par conséquent, la formule de contrainte de flexion pour une poutre creuse peut être donnée par-

σ = 3M/(BD³ – bd³)

Formule de contrainte de flexion pour section circulaire

Considérons une poutre ayant une section circulaire de diamètre D.

Le moment d'inertie de la section circulaire peut être donné par-

je = πD⁴/ 64

D'en haut, nous pouvons écrire la formule de contrainte de flexion pour une poutre circulaire comme-

σ = 32M/ bj³

Formule de contrainte de flexion pour arbre creux

Considérons un arbre circulaire creux ayant un diamètre intérieur d et un diamètre extérieur D.

Le moment d'inertie de la section circulaire creuse peut être donné comme-

Je = π (D⁴-d⁴) / 64

D'en haut, la contrainte de flexion peut être écrite comme-

σ = 32MD/π(D⁴-d⁴)

Formule de contrainte de flexion pour tuyau

Un tuyau est simplement un arbre circulaire creux. Ainsi, la formule de contrainte de flexion est la même que celle de l'arbre circulaire creux.

Autrement dit,

σ = 32MD/π(D⁴-d⁴)

Contrainte de flexion maximale pour une poutre simplement appuyée

La formule générale de la contrainte de flexion reste la même, c'est-à-dire

σ = Ma/Je

Cependant, la formule est modifiée selon le type de chargement. Le chargement peut prendre la forme d'une charge ponctuelle, d'une charge uniformément répartie ou d'une charge uniformément variable. Dans les sections suivantes, nous verrons les différentes formules pour les poutres simplement appuyées sous différentes formes de chargement.

Qu'est-ce que le moment de flexion ?

La réaction induite dans un élément structurel ou l'effet de flexion produit lorsqu'une charge externe est appliquée sur la poutre (élément structurel).

Formule du moment de flexion pour différentes configurations de poutres sous différents types de chargement est discuté dans les sections ci-dessous.

Formule du moment de flexion pour poutre fixe

Une poutre fixe est un type de poutre qui est fixée aux deux extrémités. Aux deux extrémités, les forces de réaction sont présentes. La formule du moment fléchissant pour une poutre fixe sous différents types de chargement est donnée ci-dessous.

• Moment de flexion sous UDL ou charge uniformément répartie

La formule du moment de flexion de la poutre fixe sous UDL est donnée comme suit :

M = ωL²/ 12

• Moment de flexion sous charge ponctuelle

La formule du moment de flexion de la poutre fixe sous charge ponctuelle est donnée comme suit :

M = ωL/8

• Moment de flexion sous charge trapézoïdale ou UVL ou charge uniformément variable

La formule du moment de flexion d'une poutre fixe sous charge trapézoïdale est donnée comme suit :

M₁ = L²/ 30

Pour l'autre côté,

M₂ = L²/ 20

Formule du moment de flexion pour poutre continue

Le moment de flexion de continu sous différents types de chargement est indiqué ci-dessous-

• Moment de flexion sous UDL

Pour trouver le moment de flexion d'une poutre continue sous une charge uniformément répartie, nous devons trouver les forces de réaction aux extrémités. Après cela, nous devons appliquer des conditions d'équilibre qui sont la somme de toutes les forces horizontales et verticales est nulle ainsi que les moments sont nuls. Pour résoudre UDL, nous multiplions la longueur par la magnitude de UDL. Par exemple, si 2N/m d'UDL sont appliqués jusqu'à 4 m de longueur de pièce, la charge nette agissant sera de 2 × 4 = 8 N au centre, c'est-à-dire à 2 m.

• Moment de flexion sous charge ponctuelle

La procédure est la même que pour UDL. La seule différence est qu'ici, nous connaissons l'amplitude de la force et la distance à laquelle elle agit, nous n'avons donc pas besoin de la convertir en charge ponctuelle comme nous l'avons fait pour UDL.

• Moment de flexion sous UVL ou charge uniformément variable

Pour résoudre UVL, nous devons trouver l'aire du triangle formé par UVL. La surface est l'amplitude de la charge ponctuelle qui agira en raison des UVL. La distance du sommet sera L/3 à laquelle la charge ponctuelle agira. Le reste de la procédure est décrit ci-dessus.

Formule du moment fléchissant pour une poutre rectangulaire

Le moment de flexion de la poutre ne dépend pas de la forme de la poutre. Le moment de flexion changera selon les conditions de chargement et le type de poutre (qu'elle soit continue, en porte-à-faux simplement supportée, etc.).

Seul le moment d'inertie change avec la forme de la section transversale de la poutre. De cette façon, la formule de contrainte de flexion change. La formule de contrainte de flexion pour une section rectangulaire est décrite dans la section ci-dessus.

Formule du moment de flexion pour UDL

UDL ou charge uniformément répartie est le type de charge qui est appliquée à une certaine longueur de la pièce et dont l'amplitude est égale partout où elle est appliquée.

La formule du moment de flexion pour UDL de différentes configurations de poutres est donnée ci-dessous-

• Pour simplement pris en charge faisceau-

La formule du moment de flexion d'une poutre simplement appuyée sous UDL est donnée comme suit :

M = ωL²/8

• Pour poutre en porte-à-faux-

La formule du moment de flexion de la poutre en porte-à-faux sous UDL est donnée comme suit :

M = ωL²/2

Formule du moment fléchissant pour la charge ponctuelle

La charge ponctuelle est le type de charge qui n'agit qu'en un point particulier de la surface de la pièce.

Les formules de moment de flexion pour les charges ponctuelles pour différentes configurations de poutres sont données ci-dessous.

• Pour poutre simplement appuyée: La formule pour le moment fléchissant d'une poutre simplement appuyée sous une charge ponctuelle est donnée comme suit : M = ωL/4

• Pour poutre en porte-à-faux: La formule pour le moment fléchissant de la poutre en porte-à-faux sous charge ponctuelle est donnée par - M = ωL

Pour les autres configurations de poutres, la formule du moment de flexion est décrite dans les sections ci-dessus.

Formule du moment fléchissant pour une charge trapézoïdale

La charge trapézoïdale est un type de charge qui est appliquée à une certaine longueur de la pièce et qui varie linéairement avec la longueur. La charge trapézoïdale est une combinaison d'UDL et d'UVL. Supposons que l'amplitude de l'UDL soit égale à zéro pour faciliter nos calculs.

Le moment de flexion pour différentes configurations de poutre sous charge trapézoïdale est donné ci-dessous-

• Pour poutre simplement appuyée– Le moment fléchissant d'une poutre simplement appuyée sous une charge trapézoïdale est donné par - M = ωL²/ 12

• Pour poutre en porte-à-faux– Le moment de flexion de la poutre en porte-à-faux sous charge trapézoïdale est donné par - M = ωL²/6

Pour les autres configurations de faisceau, la formule est discutée dans la section ci-dessus

Résumé de la formule du moment de flexion

Le tableau ci-dessous présente un bref résumé de formule pour différentes configurations de poutre sous différents types de chargement

Résumé de la formule de contrainte de flexion

Le tableau ci-dessous montre un bref résumé de la formule pour les contraintes de flexion de différentes sections de poutre