La théorie des probabilités est née du concept de prise de risque. il y a aujourd'hui de nombreuses complications qui viennent du jeu de hasard, comme gagner un match de football, jouer aux cartes et lancer une pièce ou lancer un dé.
La théorie des probabilités est utilisée dans de nombreux secteurs différents et la flexibilité de théorie des probabilités fournit des outils pour presque autant de besoins différents. Ici, nous allons discuter de la théorie des probabilités et de quelques échantillons à l'aide de quelques concepts et résultats fondamentaux.
EXPÉRIENCES ALÉATOIRES:
"L'expérience aléatoire est une sorte d'expérimentation où le résultat ne peut être prédit."
ESPACE D'ÉCHANTILLON:
L'ensemble de tous les résultats possibles de l'expérience est appelé l'espace d'échantillonnage, il est généralement désigné par S et tous les résultats de test sont considérés comme un point d'échantillonnage.
Par exemple: Pensez à l'expérience aléatoire de lancer 2 pièces à la fois. Il y a 4 résultats constituant un espace échantillon noté, S = {HH, TT, HT, TH}
SENTIER ET ÉVÉNEMENT:
Chaque sous-ensemble non vide de A de l'espace échantillon S est appelé un événement. Considérez l'expérience de lancer une pièce. Lorsque nous lançons une pièce, nous pouvons trouver une tête (H) ou une queue (T). Ici, lancer une pièce est la piste et obtenir une tête ou une queue est un événement.
ÉVÉNEMENTS COMPOSÉS:
Les événements acquis en combinant deux ou plusieurs événements de base sont appelés événements composés ou événements décomposables.
ÉVÉNEMENTS EXHAUSTIFS:
Le nombre total de résultats réalisables de tout sentier est appelé événements exhaustifs.
Exemple: En jetant un dé, les résultats potentiels sont 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6. Nous avons donc un total de 6 événements en jetant un dé.
SYSTÈME D'ÉVÉNEMENTS MUTUELLEMENT EXCLUSIF ET EXHAUSTIF:
Soit S est l'espace échantillon d'une expérience aléatoire, si X1X2, …..Xn sont les sous-ensembles de S et
(je) Xi Xj =Φ pour i ≠ j et (ii) X1 X2 ……… ∪ Xn =S
Puis cette collection de X1X2 ……… ∪ Xn est censé créer un système d'événements mutuellement exclusif et exhaustif.
Qu'est-ce que l'indépendance?
Lorsque nous sortons une carte dans une poche de cartes bien ajustées et que nous extrayons également une carte du reste du paquet de cartes (contenant 51 cartes), la seconde extraction se bloque sur la première. Mais si, au contraire, on sort la deuxième carte du pack en insérant la première carte tirée (en la remplaçant), le deuxième tirage est dit indépendant de la première.
Mise en situation : Deux pièces sont lancées. Que la première pièce ayant la tête soit l'événement X et le Y la deuxième pièce montrant la queue après le lancer. Deux événements X et Y sont fondamentalement indépendants.
Mise en situation : Deux dés justes sont tirés. Si un nombre impair apparaît sur le premier dé, considérez-le comme un événement X et pour le deuxième nombre pair comme un événement Y.
Les deux événements X et Y sont indépendants l'un de l'autre.
Exemple: une carte est tirée d'un paquet de 52 cartes. Si A = la carte est de cœur, B = la carte est un Roi et A ⋂ B = la carte est le Roi de Cœur, puis les événements A et B sont dépendants
NOMBRE DE CAS FAVORABLE: Le nombre d'affaires qui permettent de juger un événement dans un procès est le nombre total d'événements primaires dont l'aspect de l'un d'eux assure la survenance de l'événement.
Qu'entend-on par probabilité
Si une démonstration arbitraire aboutit à n des résultats incongrus, tout aussi probables et exhaustifs, dont m sont favorables à la survenance d'un événement A, puis la probabilité de se produire A est donné par
Notation de probabilité: P (X) = m / n
Pour deux événements X et Y,
(i) X′ ou X ou XC indique la non-occurrence ou la négation de X.
(ii)X ∪ Y signifie la survenance d'au moins l'un des X et Y.
(iii)X ∩ Y signifie l'occurrence simultanée de X et Y.
(iv) X ′ ∩ Y ′ signifie la non-occurrence de l'un et de l'autre X et Y.
(v) X⊆ Y signifie « l'occurrence de X indique l'occurrence de Y ».
Mise en situation : Un seau contient 6 billes rouges et 7 billes noires. Trouvez la probabilité de dessiner des billes de couleur rouge.
Solution: Total non. des façons possibles d'obtenir 1 bille = 6 + 7
Nombre de façons d'obtenir 1 bille rouge = 6
Probabilité = (Nombre de cas favorables) / (Nombre total de cas exhaustifs) = 6/13
Mise en situation : Sur un paquet de 52 cartes, 1 carte est tirée au sort. Trouvez la probabilité d'obtenir une carte reine.
Solution: Une carte reine peut être choisie de 4 manières.
Nombre total de façons de sélectionner 1 carte reine = 52
Probabilité = Nombre de cas favorables / Nombre total de cas exhaustifs = 4/52 = 1/13
Mise en situation : Trouvez la probabilité de lancer:
(a) obtenir 4, (b) un nombre impair, (c) un nombre pair
avec un dé ordinaire (six faces).
Solution: Le problème est le problème des dés
a) Lorsque vous lancez un dé, il n'y a qu'une seule façon d'obtenir 4.
Probabilité = Nombre de cas favorables / Nombre total de cas exhaustifs = 1/6
b) Le nombre de façons de tomber un nombre impair est 1, 3, 5 = 3
Probabilité = Nombre de cas favorables / Nombre total de cas exhaustifs = 3/6 = 1/2
c) Le nombre de façons de tomber un nombre pair est 2, 4, 6 = 3
Probabilité = Nombre de cas favorables / Nombre total de cas exhaustifs = 3/6 = 1/2
Mise en situation : Quelle est la chance possible de trouver un roi et une reine, lorsque 2 cartes sont tirées d'un paquet de 52 cartes à jouer?
Solution: 2 cartes peuvent être tirées d'un paquet de 52 cartes = 52C2 (52 choix 2) façons
52 C2 =52!/2!(52-2)!=(52*51)/2=1326
1 carte reine peut être choisie parmi 4 cartes reine = 4C1= 4 façons (4 en choisir 1)
1 carte roi peut être prise parmi 4 cartes roi = 4C1= 4 façons (4 en choisir 1)
Cas favorables = 4 × 4 = 16 voies
P (dessin 1 reine et 1 roi carte) = Nombre de cas favorables / Nombre total de cas exhaustifs = 16/1326 = 8/663
Mise en situation : Quelles sont les chances d'obtenir 4, 5 ou 6 au premier lancer et 1, 2, 3 ou 4 au deuxième lancer si les dés sont lancés deux fois.
Solution:
Soit P (A) = probabilité d'obtenir 4, 5 ou 6 au premier lancer = 3/6 = 1/2
et P (B) = probabilité d'obtenir 1, 2, 3 ou 4 au deuxième lancer = 4/6 = 2/3
soit la probabilité des événements alors
Mise en situation : Un livre ayant un nombre total de 100 pages, si l'une des pages est sélectionnée de manière arbitraire. Quelle est la probabilité que la somme de tous les chiffres du numéro de page de la page sélectionnée soit 11.
Solution: Le nombre de façons favorables d'obtenir 11 sera (2, 9), (9, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 7), (7, 4), (5, 6 ), (6, 5)
D'où la probabilité requise = 8/100 = 2/25
Mise en situation : Un seau contient 10 billes blanches, 6 rouges, 4 noires et 7 bleues. 5 billes sont tirées au hasard. Quelle est la probabilité que 2 d'entre eux soient de couleur rouge et XNUMX de couleur noire?
Solution:
Total non. de billes = 10 + 6 + 4 + 7 = 27
5 billes peuvent être tirées de ces 27 billes = 27 choisir 5 façons
= 27C5=27!/
Total non. d'événements exhaustifs = 80730
2 billes rouges peuvent être tirées de 6 billes rouges = 6 façons
= 6C2=6!/
1 billes noires peuvent être retirées de 4 billes noires = 4 choisissez 1 façons = 4C1=4
∴ Nombre de cas favorables = 15 × 4 = 60
D'où la probabilité requise = Nombre de cas favorables Nombre total de cas exhaustifs
Conclusion:
La théorie des probabilités est très intéressant et applicable dans notre vie quotidienne, donc probabilité la théorie et les exemples nous semblent familiers, il s'agit en fait d'une théorie complète qui est utilisée aujourd'hui dans de nombreuses technologies et applications.Cet article n'était qu'un aperçu du concept de probabilité.Les articles consécutifs traiteront du concept de détail et des résultats de Probability , pour plus d'étude, veuillez vous référer au livre ci-dessous:
Réf: Schémas de probabilité et statistiques de Schaum.
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Je suis DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. J'ai terminé mon doctorat. en mathématiques et travaille comme professeur adjoint en mathématiques. Ayant 12 ans d'expérience dans l'enseignement. Avoir de vastes connaissances en Mathématiques Pures, précisément en Algèbre. Avoir l’immense capacité de concevoir et de résoudre des problèmes. Capable de motiver les candidats pour améliorer leurs performances.
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