Théorie des probabilités : 9 faits à connaître

by

Une brève description de la théorie des probabilités

Dans les articles précédents, la probabilité dont nous avons discuté était à un niveau très basique, la probabilité est un moyen d'exprimer l'information qu'une occurrence d'un événement s'est produite, en mathématiques pures, le concept de probabilité a été décrit sous la forme de théorie des probabilités qui est largement utilisé dans les domaines de la vie réelle ainsi que dans différentes branches de la philosophie, de la science, du jeu, de la finance, des statistiques et des mathématiques, etc. pour déterminer la probabilité d'événements principaux.

    La théorie des probabilités est la branche des mathématiques qui traite de l'expérience aléatoire et de son résultat, les objets de base pour traiter une telle analyse de l'expérience aléatoire sont les événements, les variables aléatoires, les processus stochastiques, les événements non déterministes, etc.

Fournir un exemple lorsque nous jetons une pièce de monnaie ou mourons cet événement bien qu'il soit aléatoire, mais lorsque nous répétons un tel essai plusieurs fois, le résultat d'un tel essai ou événement se traduira par un arrangement statistique particulier que nous pouvons prédire après avoir étudié via la loi des grands nombres ou les théorèmes centraux limites, etc., de même nous pouvons utiliser théorie des probabilités pour l'activité quotidienne des êtres humains, par exemple, un grand ensemble de données peut être analysé par analyse quantitative, pour l'explication des systèmes pour lesquels nous n'avons pas suffisamment d'informations, nous pouvons utiliser la théorie des probabilités, par exemple des systèmes complexes en mécanique statistique, pour des phénomènes physiques à l'échelle atomique en mécanique quantique. 

    Il existe un certain nombre de situations de la vie réelle ainsi que des applications où la situation probabiliste se produit, la théorie des probabilités sera utilisée à condition de connaître le concept et de gérer les résultats et les relations de la théorie des probabilités. Dans la suite, nous obtiendrons une différenciation des situations à l'aide de quelques termes de la théorie des probabilités.     

Probabilité discrète

Théorie des probabilités discrètes est l'étude d'expériences aléatoires dans lesquelles le résultat peut être compté numériquement, donc ici la restriction est que les événements qui se sont produits doivent être un sous-ensemble dénombrable de l'espace échantillon donné. Cela comprend l'expérience de lancer des pièces ou des dés, la marche aléatoire, la sélection de cartes du jeu, des balles dans des sacs, etc.

Probabilité continue

Théorie des probabilités continue est l'étude d'expériences aléatoires dans lesquelles le résultat est dans les intervalles continus, donc ici la restriction est que les événements qui se sont produits doivent être sous la forme d'intervalles continus en tant que sous-ensemble de l'espace d'échantillonnage.

Mesure-probabilité théorique

La théorie de la probabilité théorique de mesure traite de l'un quelconque des résultats aléatoires discrets et continus, et différencie dans quelle situation quelle mesure doit être utilisée. La théorie des probabilités théoriques de mesure traite également des distributions de probabilités qui ne sont ni discrètes ni continues ni du mélange des deux.

     Donc, pour étudier la probabilité, nous devons d'abord savoir quelle est la nature de l'expérience aléatoire, qu'elle soit discrète, continue ou mélange des deux ou ni l'un ni l'autre, en fonction de cela, nous pouvons définir nos stratégies dans quelle direction nous devons suivre. nous discuterons de toute la situation consécutivement une par une.

EXPÉRIENCE

Toute action qui produit un résultat ou un résultat est appelée expérience. Il existe deux types d'expériences.

Expériences déterministes  Expériences non déterministes (ou expériences aléatoires)
Toute expérience dont nous pouvons prédire l'issue à l'avance sous certaines conditions.Toute expérience dont nous ne pouvons pas prédire le résultat ou le résultat à l'avance.
Par exemple, le flux de courant dans un circuit spécifique basé sur la puissance fournie que nous connaissons par certaines lois physiques.Par exemple, lancer une pièce de monnaie impartiale, nous ne savons pas que la tête viendra ou la queue
Nous n'avons pas besoin de la théorie des probabilités pour le résultat de telles expériences.Nous avons besoin de la théorie des probabilités pour le résultat de ces expériences.

La théorie de la probabilité dépend essentiellement du modèle d'un expérience aléatoire, cela implique une expérience dont le résultat est imprévisible avec certitude, avant que l'expérience ne soit exécutée. Les gens pensent normalement que l'expérience peut être récurrente pour toujours dans les mêmes circonstances fondamentalement.   

   Cette présomption est important parce que la théorie des probabilités s'intéresse aux pratiques à long terme au fur et à mesure que l'expérience est recréée. Naturellement, une définition correcte d'une expérience aléatoire nécessite une définition précise des informations spécifiques sur l'expérience qui sont enregistrées, c'est-à-dire une définition précise de ce qui constitue une résultat.

ESPACE D'ÉCHANTILLON

Comme déjà discuté, l'espace d'échantillonnage n'est rien d'autre que l'ensemble ayant tous les résultats possibles d'une expérience non déterministe ou aléatoire. Dans l'analyse mathématique, la variable aléatoire qui est le résultat d'une telle expérience est une fonction à valeur réelle notée X c'est-à-dire X: A ⊆ S → ℝ que nous discuterons en détail plus tard. Ici aussi, nous pouvons catégoriser l'espace d'échantillonnage comme fini ou infinis. Des espaces d'échantillons infinis peuvent être discret or continu.

Espaces d'échantillonnage finis  Espaces d'échantillonnage discrets infinis  
Lancer une pièce ou quoi que ce soit avec deux résultats différents {H, T}Lancer une pièce à plusieurs reprises jusqu'à ce que la première tête montre que le résultat possible peut être {H, TH, TTH, TTTH, …………}
Lancer un dé {1, 2, 3, 4, 5, 6}Jeter un dé à plusieurs reprises jusqu'à ce que 6 viennent
Piocher une carte à partir d'un jeu de 52 cartesPiocher une carte et la remplacer jusqu'à ce que la reine vienne
Choisir un anniversaire d'un an {1, 2, 3, 4,…, 365}.Heure d'arrivée de deux trains consécutifs

EVENT

événement comme nous le savons déjà, c'est un sous-ensemble de l'espace d'échantillonnage de l'expérience aléatoire pour lequel nous discutons de la probabilité. En d'autres termes, nous pouvons dire que tout élément de l'ensemble de puissance de l'espace d'échantillonnage pour un espace d'échantillonnage fini est un événement et que pour l'infini, nous devons exclure certains sous-ensembles.

Événements indépendantsÉvénements dépendants
S'il n'y a aucun effet des événements sur d'autres événementsLa survenue d'un événement affecte d'autres événements
Par exemple, lancer une piècePiocher une carte sans revenir.
Les probabilités des événements ne sont pas non plus affectéesProbabilités des événements affectés
P (A ⋂ B) = P (A) XP (B)P (A ⋂ B) = P (A) XP (B / A)
P (B / A) est la probabilité conditionnelle. de B étant donné A

VARIABLE ALÉATOIRE

La compréhension de Variable aléatoire est très important pour l'étude de la théorie des probabilités. Variable aléatoire  est très utile pour généraliser le concept de probabilité qui donne une propriété mathématique aux questions de probabilités et l'utilisation de la mesure de la probabilité théorique est basée sur une variable aléatoire. La variable aléatoire qui est le résultat d'une expérience aléatoire est une fonction à valeur réelle notée X c'est-à-dire X: A ⊆ S → ℝ

Variable aléatoire discrèteVariable aléatoire continue
Résultat dénombrable d'une expérience aléatoireRésultat de l'expérience aléatoire à portée
Pour un tirage au sort, les événements possibles sont face ou face. donc la variable aléatoire prend les valeurs:
X = 1 si pile et X = 0 si pile		un nombre réel entre zéro et un
Pour lancer un dé X = 1,2,3,4,5,6Pour le temps du voyage X = (3,4)

Une variable aléatoire peut être considérée comme une valeur inconnue qui peut changer à chaque fois qu'elle est inspectée. Ainsi, une variable aléatoire peut être considérée comme une fonction mappant le espace d'échantillon d'un processus aléatoire aux nombres réels.

Distributions de probabilité

La distribution de probabilité est défini comme l'ensemble de la variable aléatoire avec sa probabilité,

donc évidemment en fonction de la nature de la variable aléatoire, nous pouvons catégoriser comme

Distribution de probabilité discrèteDistribution de probabilité continue
Si la variable aléatoire est discrète, la distribution de probabilité est connue sous le nom de distribution de probabilité discrèteSi la variable aléatoire est continue, la distribution de probabilité est connue sous le nom de distribution de probabilité continue
Par exemple, le nombre de queues pour lancer une pièce deux fois peut être distribué car le résultat sera TT, HH, TH, HT
X (nombre de queues) : 0 1 2
P(x) : 1/4 1/2 1/3		Une distribution de probabilité continue diffère d'une distribution de probabilité discrète, donc pour la variable aléatoire X ≤ a sa probabilité P (X ≤ a) peut être considérée comme l'aire sous la courbe (voir l'image ci-dessous)
distribution de probabilité continue
distribution de probabilité continue

      De la même manière, pour traiter la probabilité d'une variable aléatoire dépend de la nature de la variable aléatoire, de sorte que les concepts que nous utilisons dépendront de la nature de la variable aléatoire.

Conclusion:

   Dans cet article, nous discutons principalement du scénario de probabilité, comment nous pouvons traiter la probabilité et certains concepts de manière comparative. Avant de discuter du sujet central, cette discussion est importante pour que les problèmes que nous traitons se situent là où nous les connaissons clairement. Dans les articles consécutifs, nous relions la probabilité à une variable aléatoire et certains termes familiers liés à la théorie des probabilités que nous discuterons, si vous voulez plus de lecture, passez par:

Les grandes lignes de la probabilité et des statistiques de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Pour plus de sujets sur les mathématiques, veuillez consulter cette page.